Ba Huy

1
    
 
I. Tóm tắt lí thuyết
Cho hai đồ thị (C): y = f(x) và (C’): y = g(x). Xét phương trình
hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*). Khi đó, ta có kết luận quan trọng
sau đây: Số nghiệm của phương trình (*) (lĩnh vực giải tích) đúng
bằng số điểm chung giữa (C) và (C’) (lĩnh vực hình học).
Trong thực hành giải toán, hai lĩnh vực này thường bổ sung cho
nhau. Cụ thể: để giải quyết lĩnh vực giải tích, ta sử dụng công cụ hình
học; còn để giải quyết lĩnh vực hình học, ta sử dụng công cụ giải tích.
II. Bài tập
Phần I. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị
Phương pháp giải
- B1. Viết phương trình hoành độ giao điểm.
- B2. Dựa vào giả thiết để đặt điều kiện cho pt hđgđ.
- B3. Giải điều kiện ở B2.
Bài 1. Cho (C): y = x
3
– 3x + 2. Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và
có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2. Cho (C): y = x
3
– 3x
2
+ 4. Cmr mọi đường thẳng qua I(1;2) có
hệ số góc k (k > -3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng
thời I là trung điểm của AB.
Bài 3. Cho (C



. Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
S3
OAB

.
Bài 6. Cho hàm số (C):
32
3y x mx mx  
và đường thẳng d: y = x
+ 2. Tìm m để (C) cắt đường thẳng d:
a. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
b. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 2x – 12 cắt trục
hoành tại 3 điểm cách đều nhau.
Bài 8. Cho (C
m
): y = x
4
+ 2mx
2
– 2m – 1 . Tìm m để (C
m
) cắt trục

, x
3
thỏa x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
< 4.
Ba Huy

3
Phần II. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Bài 11. Cho (C): y = x
3
– 6x
2
+ 9x. Biện luận số nghiệm của pt: x
3
–
6x
2
+ 9x + m = 0.
Bài 12. Cho (C):
32
13
5

3
– 3x + 2 = mx – 3m + 20  x
3
– (3 + m)x + 3m – 18 = 0
 (x – 3)(x
2
+ 3x – m + 6) = 0 
2
3
( ) 3x 6 0 (*)
x
f x x m



    


 d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  pt(*) có 2 nghiệm phân biệt
khác 3
15
9 4( 6) 0
4
(3) 9 9 6 0
25
m
m
fm
m


2  y = kx – k + 2.
 Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)
x
3
– 3x
2
+ 4 = kx – k + 2 (1)  x
3
– 3x
2
– kx + k + 2 = 0
 (x – 1)(x
2
– 2x – 2 – k) = 0
2
1
2x 2 0 (2)
x
xk




   


 Xét f(x) = x
2
– 2x – 2 – k với k > -3, có:
f(1) = - 3 – k  0

( ) 2 4 .2 2 4
2
2 2 2
AB
I
AB
I
x x x x
x
y y k x x k k k
y

  
     
   

Vậy I là trung điểm AB.
Bài 3. Cho (C
m
): y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m. Tìm m để (C
m
) cắt đường
thẳng d: y = -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài giải
 Phương trình hoành độ giao điểm: x
4

3
1
3 1 1 0
3
0
3 1 4 1
m
m
m
mm
m
mm






  


     
  
  

  






2
1 2 2(2 1) x 2 1
1
x 2 1
1
2x 1
2
x mx m x m m
x
mm
x

       


   






2
( ) 2 (5 1) 2 2 0 (*)
1
2
f x mx m x m
x


x x x x    

22
00
(5 1) 8 (2 2) 0 9 6 1 0
2 2 1 1 5 1 4 4 1 5
. 0 0
2 2 2 4 4
mm
m m m m m
m m m m m
m m m




          


     

   


0
1
0
3
0
m

( , )
5
m
d O d

Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):
2
( ) 2 (4 ) 1 0
2x 1
2x
1
1
f x x m x m
m
x
x

     

   





Điều kiện để A, B tồn tại là tam thức f(x) có 2 nghiệm phân biệt
khác -1
Ba Huy

7

– x
1
)
2
+ 4(x
2
– x
1
)
2
= 5[(x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
x
2
]
2
2
4 1 5
5 4 ( 8)
2 2 4
mm
m



a. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
b. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):
x
3
– 3mx
2
– mx = x + 2  f(x) = x
3
– 3mx
2
– (m + 1)x – 2 = 0 (1)
a. Theo giả thiết suy ra B là trung điểm của AC.
Gọi x
B
= x
0
thì x
A
= x
0
– a, x
C
= x
0
+ a (a  0) (Chú ý: x
A
, x
B


       


Lấy (1) + (3) và chú ý (2), ta được
3 2 2 2
0 0 0 0
22
00
2 6a 6 6 2( 1) 4 0
6a 6 0 ( 0)
x x mx ma m x
x ma x m do a
      
     

Thay vào (2) ta được
3 2 2
2 2 0 ( 1)(2 2) 0 1m m m m m m m           

Thử lại với m = -1, pt(1) trở thành
x
3
+ 3x
2
– 2 = 0  (x + 1)(x
2
+ 2x – 2) = 0
1
1 3 1 3, 1, 1 3

1
, x
B
= x
2
, x
C
= x
3
thì 2x
2
= x
1
+ x
3
. Do x
A
, x
B
, x
C
là các
nghiệm của (1) nên:
f(x) = (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)


9
Đồng nhất thức (1) và (2) ta được
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3 (*)
1 (**)
2 (***)
x x x m
x x x x x x m
x x x
  


    





(*)  3x
2
= 3m  x
2
= m.
Thay vào (1), giải tìm được m = -1.
b. Gọi 3 hoành độ lập thành CSN theo thứ tự là x
1
, x

2
+ x
3
)x
2
+ (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
)x – x
1
x
2
x
3
. (2)
Đồng nhất thức (1) và (2) ta được
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3 (*)
1 (**)

2
2
= - m – 1  x
2
(x
1
+ x
2
+ x
3
) = - m – 1
3
3
1
3 2 1
3 2 1
m m m      


Thử lại, thay giá trị m vào (1) tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
1
3 2 1
m 


Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3mx

(C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm pb  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
 (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t
1
< t
2

2
' 2 1 0 1
1
2 0 0 1
2
2 1 0 1
2
m m m
m m m
m
m



      


         


  



  


   

  
  



1
2
11
2
15
9 10 1 0
15
99
tm
tt
tm
   


    

   



. (1) trở thành f(t) = t
2
– 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2)
 (t – 1)(t – 2m – 1) = 0
1
21
t
tm







Để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 thì pt
(2) phải có 2 nghiệm t
1
, t
2
thỏa mãn:
12
12
0 9 (*)
0 9 (**)
tt
tt
  

+ x
3
2
< 4.
Ba Huy

12
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C
m
) và Ox:
x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m = 0 (1)  (x – 1)(x
2
– x – m) = 0
2
1
( ) 0 (2)
x
f x x x m




   






Kí hiệu x
1
= 1 thì x
2
, x
3
là các nghiệm của (2). Suy ra
x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
< 4  x
2
2
+ x
3
2
< 3  (x
2
+ x
3
)

6x
2
+ 9x + m = 0.
Bài giải
Ta có x
3
– 6x
2
+ 9x + m = 0  x
3
– 6x
2
+ 9x = - m (*)
(*) chính là pt hoành độ giao điểm giữa đồ thị (C) và đường thẳng
d: y = -m.
Căn cứ vào đồ thị ta thấy:

Ba Huy

13
+)
00
44
mm
mm
  



   

3
– 6x = -m 
32
13
4 2 4
m
xx



32
13
55
4 2 4
m
xx

    
(*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm giữa
đồ thị (C) và đường thẳng d:
5
4
m
y


.
Căn cứ vào đồ thị, suy ra phương trình đã
cho có 3 nghiệm phân biệt khi:

3
–3m
2
= 0  – x
3
+3x
2
= - m
3
+ 3m
2

Đây là phương trình hoành độ giao điểm
giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = - m
3
+
3m
2
. Căn cứ vào đồ thị suy ra giá trị m cần
tìm là: 0 < -m
3
+ 3m
2
< 4

13
0
2
m
m