Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Bài giảng số 5. GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hai đồ thị hàm số




:
C y f x
 và




' : .
C y g x

Hai đồ thị


C
và




 
y f x
y g x
 





.
Như vậy hoành độ giao điểm của


C
và


'
C
là nghiệm của phương trình






1
f x g x
Số nghiệm của phương trình

của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1
(1)
1
x
m
x




Lời giải:
a. Hàm số
1
1
x
y
x



có tập xác định


\ 1 .
D R
Giới hạn:
1 1

và


1; .


Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên: Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần


b. Đồ thị hàm số
1
1
x
y
x



được vẽ từ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x



theo quy tắc giữ nguyên phần đồ thị của
hàm số
1
1
x
y
x



ứng với

m
 
phương trình (1) có 1 nghiệm.
 Với
1 1:
m
  
phương trình (1) vô nghiệm.

x

 

1

 

'
y



y

1

 


m
C
cắt trục hoành tại
ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân.
Lời giải:
Điều kiện cần: Giả sử


m
C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một
cấp số nhân. Khi đó phương trình:





3 2
3 1 3 4 8 0
x m x m x
     
(2)
có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,

1 2 3
8
x x x
 
.
Vì
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một cấp số nhân nên
2 3
2 1 3 2 2
8 2.
x x x x x
    

Thay
2
x

vào phương trình




3 2
3 1 3 4 8 0
x m x m x
     
ta được

2



x
y
x
có đồ thị


C
. Chứng minh đường thẳng


:
d y x m
  
luôn cắt đồ
thị


C
tại hai điểm phân biệt
,
A B
. Tìm
m
để đoạn
AB
có độ dài ngắn nhất.

Do phương trình


1
có
2
1 0
m
   
và
    
2
2 4 2 1 2 3 0,
m m m
         
nên đường
thẳng


d
luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
,
A B
.
Ta có
   
2 2
2 2
; 2 12
A A B B A B A B

2
x x
C y
x
 


tại hai điểm phân biệt thuộc
cùng một nhánh của đồ thị


.
C

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng


d
và đồ thị


C
là nghiệm của phương trình
       
2
2
1
1 1 2 1 1 0 4
2

4
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa mãn


  


 
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
' 1 0 1 0
2
2
2 2 0 2 4 0
m m m m
x x
x x
x x x x x x
      
  

 
 
  
  





Vậy với
0
m

thì


d
cắt


C
tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.
Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng
( 3)
y m x
 
cắt đồ thị hàm số
2
1
x
y
x




( 3)
y m x
 
cắt đồ thị hàm số
2
1
x
y
x



tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một
điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình


5
có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1.
Nếu m = 0, thì phương trình có nghiệm x = 2. Vậy m = 0 không thỏa mãn
Nếu
0
m

, ta có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình


1
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
1 2






Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

TH2: Phương trình


1
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
1 2
1
x x
 

  
   
 
2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
3 2 4 1
0 4 1 0

   




Vậy
0
m

thỏa mãn bài toán.

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số
3 2
.
y x mx x m
   
. Tìm
m
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
lập thành cấp số cộng. Đáp số:


0; 3
m
 

Bài 2: Cho hàm số
3 2
3 2

 

   

    


b. Với điều kiện câu a, hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.
Đáp số:
: 2, 2 25.
x y
    

Bài 3: Cho hàm số
3 2
6 9 .
y x x x
   Tìm m để đường thẳng :
d y mx

(C) tại ba điểm phân biệt
, , .
O A B
Chứng minh rằng khi m thay đổi, trung điểm I của AB luôn nằm trên một đường thẳng song song
với trục Oy.
Bài 4: Cho hàm số
3
1
3
3


3 2 2 2
2 1 4 1 2 1 .
m
y x m x m m x m C        Tìm
m
để


m
C

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn
3.
Đáp số:
3 17 3 17
2 17
m
m

   


 



Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học
   
Đáp số:
1.
m


Bài 7: Cho đường cong


3 2
3 3 3 2 .
m
y x mx x m C
    
Tìm
m
để


m
C
cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
sao cho
2 2 2
1 2 3
15.

m
để đường thẳng
1
y
 
cắt


m
C

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số:
1
1
3
0.
m
m



  













4 2
3 2 3 .
m
y x m x m C
   
Tìm
m
để đường thẳng
1
y
 
cắt


m
C

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số:
1
1; 0.
3
m m
   

Bài 12: Cho hàm số
3



Tìm
m
để đường thẳng


: 2
d y x m
 
cắt đồ thị hàm số tại hai điểm
phân biệt
,
A B
sao cho
5.
AB  Đáp số:
10; 2
m m
  

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Bài 14: Cho hàm số
2 4
.

MN 
Đáp số:
3 41
3;
16
k k
 
  
Bài 15: Cho hàm số
2
.
1
mx x m
y
x
 


Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm
đó có hoành độ dương. Đáp số:
1
0.
2
m
  

Bài 16: Tìm
m
để đường thẳng




: 2
d y x m
 
cắt đồ thị hàm số
 
3
: 3
1
C y x
x
   

tại hai
điểm phân biệt
,
A B
sao cho
AB
có độ dài ngắn nhất. Đáp số:
0.
m
