1 | P a g e

Luyện tập: Đại số 12 – Bài toán tương giao
của đồ thị hai hàm số
Tóm tắt kiến thức về bài toán tương giao 2 | P a g e

Bài tập ví dụ
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
22
1
m
xx
x
  


Hướng dẫn


 Đồ thị: 3 | P a g e

2) Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2


x
m
xx
theo tham số m
Ta có
 
22
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
        

Do đó số nghiệm của phương trình
bằng số giao điểm của
 
 


o Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x 
qua Ox. Dựa vào đồ thị ta có:
o
2m:
Phương trình vụ nghiệm;
o
2m:
Phương trình có 2 nghiệm kộp;
o
20m:  
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
o
0m:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2. Cho hàm số
3x 4
y
x2




1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2
đường tiệm cận .



nên đ-ờng thẳng y = 3 là tiêm cận ngang của đồ thị hàm
số
x 2 x 2
Lim y ;Lim y



. Do đó đ-ờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Ta có : y =

2
2
2x


< 0 ,
xDHàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

;2
và
Đồ thị
Giao điểm với trục tung : (0 ;2)
Giao điểm với trục hoành : ( 4/3 ; 0)
ĐTHS nhận giao điểm I(2 ;3) của hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng


1
( 1; 1) và M
2
(4; 6)
3) Xét ph-ơng trình : sin
6
x + cos
6
x = m ( sin
4
x + cos
4
x ) (2)
22
31
1 sin 2x m 1 sin 2x
42




(1)
Đặt t = sin
2
2x . Với
2
x 0;
3




Để (2) có 2 nghiệm thuộc đoạn
2
0;
3




thì

33
t ;1 t ;1
24








D-a vào đồ thị (C) ta có : y(1)< 2m y(3/4)
7
1 2m
5


Vậy các giá trị cần tìm của m là :
17

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 D=R/
 
1

 y
'
2
1
( 1)x


> 0 ,
xD

h/số đồng biến trên D và không có cực trị
Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1
Tâm đối xứng I(1;1)
 BBT

 Đồ thị 7 | P a g e

2) Phương trình hoành độ giao điểm của d
()C
là:

2

x x m
) ; B(
;
BB
x x m
);với
A
x
;
B
x
là các
nghiệm của p/t (1)

 
2
22
22
2( ) 2 ( ) 4 .
2 4( 2) 2 ( 2) 4 8
A B A B A B
AB x x x x x x
m m m

    


      



m = 0, f(x) = 0
Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác 0 và y’(x
1
).y’(x
2
) = -1
Hay
22
1 1 2 2
9 4 0, (0) 0
(3 6 )(3 6 ) 1.
m f m
x x m x x m
   


     

2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9
9
,0
,0
4

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn

8 | P a g e

1) Với m=0, ta có: y=x
3
-3x+1
 TXĐ D=R
 y’=3x
2
-3; y’=0

1
1
x
x






lim
x
y

 

 Bảng biến thiên



Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì ta phải có:

9 | P a g e

'
2 2 2
'0
.0
( 1)( 3)( 2 1) 0
0 1 0
10
0
( 1) 0
(0) 0
y
CD CT
CD
CT
mR
ff
m m m m
xm
m
x
m
f



2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
42
8 os 9 os 0c x c x m  
với
[0; ]x


.
Hướng dẫn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
 Tập xác định:
D 

 Sự biến thiên:
Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
 
    
32
' 32x 18x = 2x 16x 9y   

0
'0
3
4

2) Xét phương trình
42
8 os 9 os 0c x c x m  
với
[0; ]x


(1)
Đặt
osxtc
, phương trình (1) trở thành:
42
8 9 0(2)t t m  

Vì
[0; ]x


nên
[ 1;1]t
, giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của
phương trình (1) và (2) bằng nhau.
Ta có:
42
(2) 8 9 1 1 (3)t t m    

Gọi (C
1
):
42

m
: Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
o
01m
: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
o
0m 
: Phương trình đã cho có 1 nghiệm.
o m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 7. Cho hàm số
32
2( 1) 9 2y x m x x m     
(1)
1) Với
4m 
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2)
Tìm m
()m
để hàm số (1) đạt cực trị tại
12
,xx
thoả mãn
12
2.xx

Hướng dẫn
1)
32
4 6 9 2m y x x x     

' 3 12 9; ' 0
3 (3) 2
xy
y x x y
xy
  

    

   
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-

;1) và (3;+

)

12 | P a g e

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Hàm số đạt cực đại tại x=1 =>y
cđ
=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=3=>y
ct
=-2
 Đồ thị
Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=2;x=2

      





Theo viét
1 2 1 2
4( 1)
;3
3
m
x x x x

  
.
Khi đó

 
2
1 2 1 2 1 2
2
2 4 4
16( 1)
12 4
9
x x x x x x
m
     


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2)
Tìm m
()m
để đường thẳng
y x m
cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
4AB 

Hướng dẫn
1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
21
1
x
y
x




 Tập xác định:
\{1}D 

 Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số. Tiệm cận của đồ thị hàm số.
1
2
21
lim lim lim 2





     


 Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng
 Lập bảng biến thiên
2
1
'0
( 1)
y x D
x

   

, y’ không xác định <=> x=1
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Hàm số không có cực trị. 14 | P a g e

 Đồ thị
Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2
Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1
đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng

2) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương

1 2 1 2
3 ; 1x x m x x m    
. Vì
, ( )A B d
nên
1 1 2 2
;y x m y x m   

 
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2( ) 2 4 2( 2 5)AB x x x x x x m m

       


2 2 2
1
4 16 2( 2 5) 16 2 3 0
3
m
AB AB m m m m
m


           




xx
x
x
y x x x
xx
y
 


       
 

Lập bảng biến thiên
2
1 ( 1) 4
' 3 3; ' 0
1 (1) 0
xy
y x y
xy
    

   

  
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-


m
    

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị (C):
3
32y x x  
và đường thẳng
d:
1
y
m

. d cùng phương với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ là
1
m
.
có 3 nghiệm phân biệt <=> d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
từ đồ thị hàm số =>
1
0
0
0
11
04
41
1
1
4
0
;0


Bài 10. Cho hàm số y = x
3
- (m+1)x
2
+ (m - 1)x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1
2) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để
các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
Hướng dẫn
1)
1)1()1(
23
 xmxmxy17 | P a g e

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
m = 1 hàm số có dạng
12
23
 xxy

 TXĐ: D = R
 Sự biến thiên:
Giới hạn:

x

và






;
3
4

Hàm số nghịch biến trờn khoảng






3
4
;0

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CĐ
= y
(0)
= 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x =
3
4


Giao với trục Oy (0, 1)
Giao với trục Ox (1, 0);


















0,
2
51
;0,
2
51

Nhận điểm uốn


0)1)(1(
2
2
mxx
x
mxxx

CMinh
0m
phng trỡnh (2) lun cú hai nghim phõn bit khỏc 1

phng trỡnh (1) cú ba nghim phõn bit


0m
th hm s ú cho lun ct trc Ox ti 3 im phõn bit l: A(1, 0); B(x
1
,
0); C(x
2
, 0) vi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh (2)
Ta cú
)1()1(23'
2
mxmxy


12



x
x
y
có đồ thị là (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Hng dn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
TXĐ: D = R\{-2}
Chiều biến thiên
Giới hạn:




22
lim;lim;2limlim
xx
xx
yyyy

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2
Dx
x
y








)1(021)4(
2
2
12
2
mxmx
x
mx
x
x

Do (1) có
mmmvam 0321)2).(4()2(01
22
nên đ-ờng thẳng d
luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y
A
= m x
A
; y
B
= m x


21 | P a g e 22 | P a g e