an
.v
n

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

m
o

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Phạm Nguyễn Tuân1

c
.
c
o

to

1

uy
en

Kiến thức cơ bản

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C1 ) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2 ). Khi đó, nếu
M (x, y) là giao điểm của (C1 ) và (C2 ) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
y = f (x)
⇔

o
h
k

• Dựa vào điều kiện giải tích của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện đại số cho phương
trình vừa biến đổi.

:/

Các kiến thức quan trọng cần nhớ khi giải toán:
• Về các phương trình:

tp

◦ Đối với phương trình bậc hai f (x) = ax2 + bx + c = 0 (a = 0), ta có một số lưu ý
quan trọng sau:

ht

Định lý Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có


 S = x1 + x 2 = − b
a
c


P = x1 x2 =
a



P >0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x0 khi và chỉ khi

m
o

∆>0
.
f (x0 ) = 0

c
.
c
o

◦ Đối phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a = 0): Nếu đã dự đoán được
phương trình có một nghiệm x = x0 , ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ
Horner để phân tích thành nhân tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi tìm cách xử lý.

• Các công thức cần nhớ :

uy
en

◦ Đối với phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a = 0), ta có thể quy về
phương trình bậc hai để giải (và biện luận).

◦ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x1 , y1 ) và B(x2 , y2 ) tùy ý, ta có


k
Trong đó:

1
1
1
abc
S = aha = bhb = chc =
= pr.
2
2
2
4R

a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và p =

a+b+c
2

là nửa chu vi;

:/

ha , hb , hc là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;
R, r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

2

tp


2

2

x − 3x + 2 = 2 − 2x ⇔ x(x − 3x + 2) = 0 ⇔

x = 0 (⇒ y = 2)
x=0

⇔  x = 1 (⇒ y = 0)
x2 − 3x + 2 = 0
x = 2 (⇒ y = −2)

Vậy (C) cắt d tại ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 2), B(1, 0) và C(2, −2).

m
o

Ví dụ 2. Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x+m cắt đồ thị (H) : y =
tại hai điểm phân biệt.

c
.
c
o

x+1
x−1

uy


∆>0
⇔
f (1) = 0

b
g

m2 + 8 > 0
−2=0

/o

Hệ trên luôn đúng với mọi giá trị thực của m. Do vậy, với mọi m ∈ R thì điều kiện của bài
toán luôn được thỏa mãn.
Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng d : y = −x + 3 cắt đồ thị (Cm ) : y = x3 − 3(m + 1)x2 + mx + 3
tại ba điểm phân biệt.

n
o
h
k
tp

:/

Phân tích. Yêu cầu bài toán là d cắt (Cm ) tại ba điểm phân biệt nên rõ ràng ta cần phải
tìm điều kiện sao cho phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị này có ba nghiệm phân
biệt. Ở đây ta có chú ý là hệ số tự do 3 xuất hiện ở trong cả hai phương trình hàm số, điều đó
cho phép ta khử hết hệ số và việc bắt được nhân tử chung x = 0 là hiển nhiên. Vậy lúc này

  m < −1
m < −1
2

∆ = 9(m + 1) − 4(m + 1) > 0
(m + 1)(9m + 5) > 0
5

⇔
⇔
m>− ⇔
5

f (0) = m + 1 = 0
m = −1
9
m>−


9
m = −1

m
o

Vậy, tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = (−∞, −1) ∪ − 95 , +∞ .

x−2
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x−3
có đồ thị (H) và một điểm A(0, m) (m là tham số). Tìm m để


nl

x−2
= 2x + m ⇔
x−3

b
g

/o

Để d cắt (H) cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình f (x) = 0 phải có
hai nghiệm dương phân biệt khác 3. Điều này tương thích với điều kiện:


 (7 − m)2 + 8(3m − 2) > 0
 2


∆ > 0

 m + 10m + 33 > 0



7
−
m


18 − 3(7 − m) − 3m + 2 = 0

(m + 5)2 + 8 > 0



2
⇔ m
c
.
c
o

mx3 − x2 − 2x + 8m = 0 ⇔ (x + 2) [mx2 − (2m + 1)x + 4m] = 0
⇔

x = −2
f (x) = mx2 − (2m + 1)x + 4m = 0

m
o

uy
en

Để (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình f (x) = 0 phải
có hai nghiệm phân biệt có hoành độ âm khác −2. Điều đó tương thích với điều kiện:


m = 0



m
=
0




P
>
0




4 > 0


6m + 1 = 0



f (−2) = 0
4m + 2(2m + 1) + 4m = 0

m = 0



1
1


 −
o
h
k

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = 0,

1
2

.
x+1
x−1

tại hai điểm thuộc

:/

Ví dụ 6. Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt đồ thị (H) : y =
hai nhánh của đồ thị (H).

tp

Phân tích. Bài toán buộc các giao điểm của hai đồ thị phải thuộc hai nhánh của đồ thị (H)
nên ta tự hỏi có gì đặc biệt lúc này? Câu trả lời nằm ở chỗ dáng điệu của đồ thị (H). Thật
vậy, nếu đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A có xA = a và B có xB = b bất kỳ
thuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có một điều đặc biệt đó là a < 1 < b. Số 1 này ở đâu ra? Đó
chính là hoành độ của tiệm cận đứng.

Và như vậy, ta chỉ cần tìm điều kiện tương thích sao cho phương trình hoành độ giao điểm có
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2 là được.


x+1
= mx + 1 ⇔
x−1

m
o

f (x) = mx2 − mx − 2 = 0
x=1

c
.
c
o

Gọi A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) lần lượt là hai giao điểm của d và (H) thì ta có x1 , x2 là các nghiệm
của phương trình f (x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị (H) nên ta phải có
(1)

uy
en

x1 < 1 < x2 .

Cách 1. Đặt t = x − 1, ta có (1) tương đương với t1 < 0 < t2 . Phương trình f (x) = 0 được
biến đổi thành
m(t + 1)2 − m(t + 1) − 2 = 0 ⇔ mt2 + mt − 2 = 0.
(2)






m = 0
m = 0




m>0
∆>0
⇔ m2 + 8m > 0
⇔


 m < −8




(x1 − 1)(x2 − 1) < 0
x1 x2 − (x1 + x2 ) + 1 < 0

2
2


−
−1+1=−
Ví dụ 7. Tìm m để đường thẳng d : y = x + m + 2 cắt đồ thị (Cm ) : y = x3 + 3x2 + mx − 1
tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho BC = 4, biết rằng xA = 1.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

to
an
.v
n

7

Phân tích. Qua các bài toán trên, ta đã biết để giải bài toán này ta cũng sẽ lập phương trình
hoành độ giao điểm. Nhưng ở đây lại có một điểm đặc biệt là từ điều kiện giả thiết cho, ta có
x = 1 là một nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Vậy ta cũng tách được phương
trình hoành độ giao điểm thành (x − 1) · h(x, m) = 0, trong đó h(x, m) là một tam thức bậc
hai. Do đó, để hoàn thành ý câu hỏi “cắt tại ba điểm phân biệt”, ta chỉ cần tìm m để phương
trình h(x, m) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 là được.

m
o

Bây giờ, ta sẽ khai thác ý thứ hai của bài toán, đó là độ dài BC = 4. Ở đây ta sử dụng kiến
thức đã nhắc ở phần 1. Cùng với định lý Viette, kết hợp lại, ta sẽ tìm được m. Kiểm tra giá
trị m này với điều kiện thu được từ ý thứ nhất, ta sẽ có kết luận cho bài toán.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm ):

c


(1)

Với điều kiện này, gọi B(x1 , y1 ), C(x2 , y2 ) là hai giao điểm còn lại của d và (Cm ). Lúc đó ta
có x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình f (x) = 0. Đồng thời, do B, C thuộc d nên
y2 = x2 + m + 2.

nl

y1 = x1 + m + 2,
Từ đây, ta tính được

b
g

BC 2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = 2(x2 − x1 )2 = 2(x1 + x2 )2 − 8x1 x2 .
x1 + x2 = −4
. Do vậy, ta có
x1 x 2 = m + 3

/o

Mặt khác, theo định lý Viette thì

n
o
h
k

BC 2 = 2(−4)2 − 8(m + 3) = 8(1 − m).

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

to
an
.v
n

Phạm Nguyễn Tuân

8

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H):
x+2
= 2x + 3m ⇔
x−2

x + 2 = (2x + 3m)(x − 2)
x=2

f (x) = 2x2 + (3m − 5)x − (6m + 2) = 0
x=2

⇔

m
o

Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
2. Điều đó tương thích với điều kiện:
(3m − 5)2 + 8(6m + 2) > 0

AB 2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = (x2 − x1 )2 + 4(x2 − x1 )2
= 5(x1 − x2 )2 = 5 (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 .
Theo định lý Viette, ta có

b
g

Do đó,
2

nl


 x + x = 5 − 3m
1
2
2

x1 x2 = −(3m + 1)
2

/o

AB = 5

5 − 3m
2

n
o


(b) Một điểm duy nhất.

ht

Phân tích. Đây là dạng toán về sự tương giao giữa đồ thị (Cm ) và trục hoành với đòi hỏi
quen thuộc. Nhưng cái không quen thuộc khác biệt với các ví dụ cùng dạng mà ta đã từng đề
cập đó chính là ở phương trình hoành độ giao điểm, ta không dự đoán được nghiệm để phân
tích nhân tử và làm đơn giản hóa vấn đề. Vậy chúng ta sẽ giải quyết nó như thế nào?

Ở đây, hãy để ý rằng hàm số được cho là hàm bậc ba. Vậy những hiểu biết về dáng điệu đồ
thị hàm bậc ba liệu có giúp ích gì cho ta chăng? Câu trả lời là có đó các bạn ạ!


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

to
an
.v
n

9

Chúng ta có một kết quả rất thú vị như sau:

“Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C). Giả sử hàm số đạt cực tại
x1 và đạt cực tiểu tại x2 . Khi đó, ta có các kết luận quan trọng sau (căn cứ vào dáng điệu của
đồ thị):
• (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi y(x1 ) · y(x2 ) < 0.


x3
x3
− x + m = 0 ⇔ − + x = m.
3
3
3

(1)

Xét hàm số y = f (x) = − x3 + x với mọi x thuộc R. Ta có y = 1 − x2 và

nl





y = 0 ⇔ 1 − x2 = 0 ⇔ 

b
g

x=1

⇒y=

x = −1

2

1
+ 0
2
3

+∞
−
−∞

Từ đây, ta thấy:

tp

(a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm
phân biệt. Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m (chạy vuông
3
góc Oy) cắt đồ thị hàm số y = − x3 + x tại ba điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên, ta có
T = − 32 , 32 là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu.

ht

(b) (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi chỉ khi phương trình (1) có nghiệm
duy nhất. Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m cắt đồ thị
3
hàm số y = − x3 + x tại một điểm duy nhất. Và kết quả từ bảng biến thiên cho thấy
T = −∞, − 32 ∪ 32 , +∞ là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác



2
3

Rõ ràng hàm số đạt cực trị lần lượt tại x = 1 và x = −1. Từ đây, ta thấy:
(a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
y(−1)y(1) < 0 ⇔

2
m−
3

2
m+
3

2
2

c
o

m

Như thế, tập hợp các giá trị m thỏa mãn ý này là T = −∞, − 32 ∪

2
3

2
3

2
,
3

+∞ .

nl

x+3
Ví dụ 10. Cho hàm số y = x−1
có đồ thị (H). Gọi A(x1 , y1 ) và B(x2 , y2 ) là hai điểm nằm
trên (H) sao cho 2x1 − y1 − 3 = 2x2 − y2 − 3 = −m. Tìm m để hai điểm A, B đối xứng với
qua đường thẳng ∆ : x + 2y − 6 = 0.

b

∆. Nhưng để ý một chút, ta thấy d ⊥ ∆ nên ở đây chỉ cần có thêm điều kiện I ∈ ∆ nữa là bài
toán được giải quyết.

Lời giải. Ta có

ht

2x1 − y1 − 3 = 2x2 − y2 − 3 = −m ⇔

2x1 − y1 − 3 = −m
⇔
2x2 − y2 − 3 = −m

y1 = 2x1 + m − 3
y2 = 2x2 + m − 3

Suy ra A, B cùng thuộc đường thẳng d : y = 2x + m − 3. Mà theo giả thiết, A, B cũng thuộc
(H) nên để tồn tại A, B thì d và (H) phải cắt nhau tại hai điểm phân biệt.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

to
an
.v
n

11


.
c
o

Do đó I ∈ ∆ khi và chỉ khi

6−m
m
+2·
− 6 = 0 ⇔ 3m − 18 = 0 ⇔ m = 6.
4
2

b
g
n
o
h
k
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.

u
c
o

nl

xI + 2yI − 6 = 0 ⇔

uy

Ví dụ 11. Cho hàm số y = x4 − (3m + 2)x2 + 3m (m là tham số) có đồ thị (Cm ). Tìm m để
đường thẳng d : y = −1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

:/

Phân tích. Đầu tiên, hãy lưu ý đến yêu cầu bài toán là hoành độ của 4 giao điểm phải thỏa
điều kiện nhỏ hơn 2. Bây giờ, ta hãy để ý tới phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
mà bài toán cho. Quan sát các hệ số 1, −3m − 2, 3m + 1 một chút, ta dễ thấy tổng của chúng
bằng 0 và như thế, ta có thể dễ dàng suy ra nghiệm của phương trình. Việc này sẽ giúp chúng
ta hạn chế được khá nhiều tính toán (do không phải tính biệt thức).

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và đường thẳng d:

tp

x4 − (3m + 2)x2 + 3m = −1 ⇔ x4 − (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 ⇔

x2 = 1
x2 = 3m + 1

ht

Từ đây, ta thấy d cắt (Cm ) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

1

0 < 3m + 1 < 4
−
ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thì ta phân tích được

c
.
c
o

ax3 + bx2 + cx + d = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )
= ax3 − a(x1 + x2 + x3 )x2 + a(x1 x2 + x2 x3 + x2 x3 )x − ax1 x2 x3 .

uy
en

Sự phân tích này kết hợp với tính chất ở trên sẽ giúp chúng ta tìm được giá trị đích thực của
một trong ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, rồi từ đó suy ra lời giải cho bài
toán. Lưu ý rằng các lập luận ở đây mới chỉ là “điều kiện cần” nên sau khi ra được m, các bạn
cần thử lại kết quả xem có thỏa hay không. Nếu thỏa thì ta mới được phép kết luận đáp số.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và trục hoành:

u
c
o

x3 − 3x2 − 9x + m = 0.

(1)

(a) Điều kiện cần. Giả sử (1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , khi đó ta phân tích được
3


:/

Từ (3) và (4), ta suy ra x2 = 1. Thay x2 = 1 vào phương trình (1), ta được m = 11.

(b) Điều kiện đủ. Với m = 11, ta có phương trình (1) trở thành


x=1

tp

√

x3 − 3x2 − 9x + 11 = 0 ⇔ (x − 1)(x2 − 2x − 11) = 0 ⇔  x = 1 + 2 3
√
x=1−2 3

Dễ thấy 3 nghiệm vừa tìm được lập thành một cấp số cộng. Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.

ht

Chú ý. Bài toán này còn có thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: “Tìm m để đồ thị
hàm số y = f (x) chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau.”

Ví dụ 13. Tìm m để đồ thị (Cm ) của hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1 (m là tham số)
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

∆
>
0



 (m + 1) − (2m + 1) > 0
1
S > 0 ⇔ 2(m + 1) > 0
⇔ − < m = 0.
(3)


2


P >0
2m + 1 > 0

uy
en

c
.
c
o

Với điều kiện này, ta tìm được hai nghiệm của phương trình (2) là
√
√

Điều này tương đương với

√
√
√
∆ = 9 m + 1 − ∆ ⇔ 5 ∆ = 4(m + 1)

m=4
⇔ 25m2 = 16(m + 1)2 ⇔ 
4
m=−
9

/o

t2 = 9t1 ⇔ m + 1 +

n
o
h
k

:/

Cả hai số này đều thỏa mãn (3) nên ta đi đến kết luận: Có hai giá trị của m thỏa mãn yêu
cầu đề bài là m = 4 và m = − 94 .

tp

Cách 2. Cách giải này xuất phát từ sự tinh ý trong giải toán, ta quan sát và nhận thấy các


• Với m > 0: Trong trường hợp
√ này, hoành độ của
√ bốn giao điểm có thể được sắp xếp theo
thứ tự tăng dần như sau − 2m + 1, −1, 1, 2m + 1. Và điều kiện để chúng lập thành
một cấp số cộng là

 −√2m + 1 + 1 = 2 · (−1)
√
⇔
2m + 1 = 3 ⇔ m = 4.
 (−1) + √2m + 1 = 2 · 1

m
o

• Với − 21 < m < 0: Trong trường hợp này, hoành độ của các giao điểm được sắp xếp theo
√
√
thứ tự tăng dần theo hướng −1, − 2m + 1, 2m + 1, 1. Điều kiện cần và đủ để chúng
lập thành một cấp số cộng là

√
√
 − 2m + 1 + 1 = 2 · 2m + 1
√
4
⇔ 3 2m + 1 = 1 ⇔ m = − .
√
√

tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O.

b
g

3x+1
x−1

/o

Phân tích. Điều kiện của hai giao điểm là phải đối xứng qua O nên rõ ràng đường thẳng đi
qua chúng, tức d, phải đi qua O. Từ đây ta tìm được n. Mặt khác vì hai giao điểm đối xứng
qua O nên tổng hoành độ của hai điểm phải bằng 0. Với chú ý này, ta sẽ tìm m và bài toán
được giải quyết.

n
o
h
k

:/

Lời giải. Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải đi qua O, tức 3n − 9 = 0. Lúc
này, ta viết được phương trình đường thẳng d dưới dạng
y = mx.

Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d:

tp


2
m > −1
∆ > 0 ⇔ m + 10m + 9 > 0 ⇔
(1)






f (1) = 0
−4=0
m=0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

to
an
.v
n

15

Mặt khác, do A, B đối xứng qua O nên ta có

m+3
= 0 ⇔ m = −3.
m


u
c
o

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm ):

x3 + 3x2 + mx − 3 = x − m ⇔ x3 + 3x2 + (m − 1)x + m − 3 = 0
⇔ (x + 1)(x2 + 2x + m − 3) = 0 ⇔

x = −1
f (x) = x2 + 2x + m − 3 = 0

nl

Từ đây, ta thấy rằng để d cắt (Cm ) tại ba điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 có hai
nghiệm phân biệt x2 , x3 khác −1 (ở đây, ta đặt x1 = −1). Điều này tương thích với điều kiện:

b
g

4−m>0
⇔ m < 4.
m=4

/o

∆ >0
⇔
f (−1) = 0

+

ht

Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m =
là giá trị cần tìm.
2

11
3
11
3

11
.
3
(thỏa (1)). Vậy ta có min T =

11
3

và m =

11
3

Ví dụ 16. Cho hàm số y = x x−1 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ
√
thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 < AB < 2 3.


Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 khác 0. Điều này tương thích với điều kiện:
∆>0
⇔
f (0) = 0

m2 + 8 > 0
−1=0

c
.
c
o

uy
en

Vì hệ trên luôn được thỏa mãn với mọi m nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x1 , y1 )
và B(x2 , y2 ). Lúc này, sử dụng định lý Viette, ta có

 x1 + x2 = m

2
1
x x = −

1 2
2

u

b
g

m2
+ 4.
2

−4

4
f (2) = 0
−4−m=0
m = −4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

to
an
.v
n

17

Khi m thỏa (1), ta dễ thấy A, B có tọa độ lần lượt là A(x1 , x1 + 3) và B(x2 , x2 + 3). Và như
thế, ta tính được
x1 + 2(x1 + 3) − 1
|3x1 + 5|
√
√
d1 = d(A, ∆) =
=
,
12 + 22
5
x2 + 2(x2 + 3) − 1
|3x2 + 5|

en

− 9(m + 6) + 15 · 1 + 25
|9m + 14|
=
.
5
5
Do d1 d2 = 2 (theo giả thiết) nên từ đây ta được

4
m
=
−
9m + 14 = 10

9
|9m + 14| = 10 ⇔
⇔
8
9m + 14 = −10
m=−
3
d1 d2 =

u
c
o

nl


−→ −→
• Góc A tù (tức cos A < 0) khi và chỉ khi AB · AC < 0.

(Nguồn gốc của tính chất này xuất phát từ công thức quen thuộc: cos BAC =

−→ −→
AB·AC
.)
AB·AC

ht

tp

Dựa vào tính chất trên, ta có thể tìm được hướng giải cho bài toán này như sau: Đầu tiên, ta sẽ
tìm điều kiện để d và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt (một dạng toán đã quá quen thuộc).
−→ −−→
Tiếp theo, ta sẽ hoàn tất lời giải bằng cách tìm điều kiện để tích vô hướng OA · OB < 0.
−→
Tích vô hướng này có thể tính được khá dễ dàng thông qua công thức: Nếu AB = (x1 , y1 ) và
−→
AC = (x2 , y2 ) thì ta có
−→ −→
AB · AC = x1 x2 + y1 y2 .

Ở đây, để cho việc tính toán được thuận tiện và hạn chế được các sai sót, chúng ta nên phối
hợp với định lý Viette khi giải.



⇔
f (−2) = 0

m
o

m < −9
m > −1

(1)

Lúc này, giả sử A, B có tọa độ là A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) thì ta có x1 , x2 là hai nghiệm của phương
trình f (x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc d nên y1 = y2 = m. Từ đây, ta tính được

c
.
c
o

uy
en

−→
OA = (x1 , m)
−−→
OB = (x2 , m)
Suy ra

−→ −−→
OA · OB = x1 x2 + m2 .

√
3 5
2

x2 −2x+2
1−x

tại hai

(đvdt) (O là gốc tọa độ).

Phân tích. Bài toán này yêu cầu các giao điểm cùng với một điểm có sẵn tạo thành một tam
giác có diện tích cho trước. Vậy ta cần tìm giá trị m để tồn tại hai điểm A, B và sau đó là
khai thác công thức tính diện tích. Chú ý rằng, nếu kẻ OH ⊥ AB (H ∈ AB) thì ta có

:/

n
o
h
k

S

OAB

=

1
· OH · AB

m < −2
m>2

(1)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

to
an
.v
n

19

Bây giờ, giả sử A, B có tọa độ là A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) thì do A, B ∈ d nên ta có y1 = y2 = m.
Từ đó, ta tính được
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 =

AB =

Mặt khác, theo định lý Viette thì

(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 .

x1 + x2 = −(m − 2)
x1 x2 = −(m − 2)
Như vậy, ta có



|0 − m|
√
= |m|.
1

uy
en

OH = d(O, d) =

m
o

√
1
1
· OH · AB = |m| m2 − 4.
2
2

u
c
o

do vậy ta có

nl

√

2

+ y−

5 2
4

= 85 .

:/

(c) Hãy tìm quỹ tích của trung điểm I.

Phân tích. Bài toán này có yêu cầu liên quan đến tính chất của điểm thuộc đường thẳng và
vị trí tương đối của điểm và đường tròn nên tất nhiên ta cần nhớ đến những kiến thức về các
tính chất này. Chúng ta có các điều kiện sau:

tp

Cho đường thẳng ∆ có phương trình Ax+By+C = 0 và đường tròn (C) : (x−a)2 +(y−b)2 = R2 .
Xét một điểm M (x0 , y0 ) tùy ý trên mặt phẳng, ta có
• M nằm trên ∆ khi và chỉ khi Ax0 + By0 + C = 0.

ht

• M nằm trên (C) khi và chỉ khi (x0 − a)2 + (y0 − b)2 = R2 .

• M nằm trong (C) khi và chỉ khi (x0 − a)2 + (y0 − b)2 < R2 .

• M nằm ngoài (C) khi và chỉ khi (x0 − a)2 + (y0 − b)2 > R2 .

o

Một phương trình mới hoàn toàn không chứa tham số (chỉ chứa hai đối số x, y mà thôi) và
đây chính là quỹ tích cần tìm. Lưu ý rằng nếu tham số m có bất cứ điều kiện nào liên quan
thì ta cũng phải cho h(x) có các điều kiện tương ứng để giới hạn lại quỹ tích (cụ thể hơn, nếu
m nằm trên miền nào thì h(x) phải nằm trên miền đó).

uy
en

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
4x = (x + 2m)(x − 1)
⇔
x=1

2x
1
= x+m⇔
x−1
2

f (x) = x2 + (2m − 5)x − 2m = 0
x=1

u
c
o

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 khác 1. Điều này tương thích với điều kiện:

h
k

:/

Từ đây, ta tìm được tọa độ trung điểm I của AB như sau

x + x2

 xI = 1
2
y
+
y2
x1 + x2
1

 yI =
=
+m
2
4

tp

Mặt khác, theo định lý Viette thì x1 + x2 = 5 − 2m. Như vậy, ta có

5 − 2m

 xI =

15
.
2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

5
xI −
2

2

2

5
+ yI −
4

to
an
.v
n

(b) Ta có I nằm trong (C ) khi và chỉ khi

21

√

4
2
2
1
Vậy quỹ tích trung điểm I của AB là đường thẳng y = − 2 x + 25 .

m
o

Chú ý. Ở bài toán này, ta không tìm cần tìm giới hạn của quỹ tích vì d luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt với mọi m.

c
.
c
o

Ví dụ 21. Tìm m để đường thẳng d : y = mx − 1 cắt đồ thị (Cm ) : y = 2x3 − 3x + m tại ba
điểm phân biệt A(1, yA ), B, C sao cho M (2, 2m − 1) nằm trong đoạn BC và M B = 2M C.

uy
en

Phân tích. Bài toán cho một giả thiết về độ dài M B = 2M C và thứ tự của ba điểm M, B, C
gợi cho ta liên tưởng đến việc chuyển hướng từ biểu thức độ dài sang biểu thức vector để tìm
được mối liên hệ giữa hai hoành độ của hai giao điểm B, C. Từ đây, kết hợp với định lý Viette,
ta sẽ tìm được kết quả của bài toán. Chú ý rằng giả thiết cho xA = 1 có nghĩa là ta luôn có
x = 1 là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

u

∆ >0
⇔
f (1) = 0

(1)

:/

Bây giờ, giả sử B, C có tọa độ là B(x1 , y1 ), C(x2 , y2 ) thì ta có x1 , x2 là hai nghiệm của phương
trình f (x) = 0. Từ đó, sử dụng định lý Viette, ta có
x1 + x2 = −1
x1 x2 = −1 − m

tp

Mặt khác, do M B = 2M C và M nằm trong đoạn BC (theo giả thiết) nên
−−→
−−→
M B = −2M C ⇒ xB − xM = −2(xC − xM ) ⇒ x1 + 2x2 = 3xM = 6.

ht

Kết hợp (2) và (3), ta được hệ phương trình



x
+
x
=



Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Phạm Nguyễn Tuân

to
an
.v
n

22

2x−m
Ví dụ 22. Cho hàm số y = mx+1
có đồ thị (Hm ). Tìm m = 0 để đường thẳng d : y = 2x − 2m
cắt (Hm ) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt lại hai điểm phân
biệt M, N sao cho diện tích tam giác OAB bằng ba lần diện tích tam giác OM N.

Phân tích. Bài toán này có một điểm đặc biệt đó chính là đường thẳng không những cắt đồ
thị mà còn cắt cả hai trục tọa độ để tạo thành hai tam giác thỏa mãn một đẳng thức điều
kiện liên quan đến diện tích. Như vậy, để giải quyết bài toán này, ta cần phải tìm cách tính
diện tích của hai tam giác tạo thành (để có thể thế vào đẳng thức điều kiện mà suy ra giá trị
của m). Khi đó, ta có các lưu ý sau:
• Tam giác OM N vuông. (Chú ý này sẽ giúp ta tính S

OM N

m
o


m

u
c
o

Do m = 0 nên

(1)

nl


 f (x) = 2x2 − 2mx − 1 = 0
(1) ⇔
x = − 1
m
Để d cắt (Hm ) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2 khác − m1 . Tuy nhiên, điều này là hiển nhiên vì tam thức bậc hai f (x) có hai
hệ số a, c trái dấu, đồng thời f − m1 = m22 + 1 > 0.

b
g

/o

Bây giờ, gọi tọa độ của hai giao điểm A, B lần lượt là A(x1 , y1 ) và B(x2 , y2 ) thì ta có x1 , x2
là hai nghiệm của phương trình f (x) = 0. Đồng thời, do A, B thuộc d nên

n

1
2

=

5 [(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ].

√
5m2 + 10.

Tới đây, kẻ OH ⊥ AB (H ∈ d) thì ta có
OH = d(O, d) =

|2 · 0 − 0 − 2m|
22 + (−1)2

|2m|
= √ .
5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

S

OAB

=


1
· OM · ON = · |xM | · |yN | = · |m| · |2m| = m2 .
2
2
2

Đến đây, sử dụng giả thiết S

OAB

= 3S

OM N ,

ta thu được

c
.
c
o

√
1
1
|m| m2 + 2 = 3m2 ⇔ m2 + 2 = 9m2 ⇔ m2 = ⇔ m = ± .
2
2
Vậy, có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m =

1

g

y = mx +

m+1
.
2

/o

Từ đây, ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) như sau


m+1


 2mx2 + 2mx + m − 1 = 0


x
+
1
=
(2x
+
1)
mx
+
x+1
m+1



2m x2 + x +
=
2m x +
=
4
2
2
2 ⇔
2
2
⇔
⇔
1



1
1
x = −
x = −



x=−
2
2
2



2m
−
+
=

2 2
2

(1)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

to
an
.v
n

Phạm Nguyễn Tuân

24

Với điều kiện này, phương trình (1) có thể được viết lại thành
√

m 1
1 √
x=
−


√
B −

Từ đây, ta tính được
√
2
m 1
OA + OB =
−
+
2m
2
4m2 + 2m + 1
=
.
2m
2

4m2 +2m+1
2m

c
.
c
o

√

m 1

m 1 1 √
− , − m .
2m
2 2

với m > 0. Ta có g (m) =

4m2 −1
2m2

và

u
c
o

g (m) = 0 ⇔ 4m2 − 1 = 0 ⇔ m =

1
(do m > 0).
2

Bảng biến thiên của g(m) trên miền (0, +∞) có dạng như sau

nl

m 0

−
g(m) +∞

x−2
Ví dụ 24. Cho hàm số y = x+1
có đồ thị (H). Biết rằng đường thẳng d : y = x − 2 cắt (H)
tại hai điểm A, B, tìm m để đường thẳng (d1 ) : y = x + 3m cắt (H) tại hai điểm C, D sao cho
tứ giác ABCD là hình bình hành.

tp

Phân tích. Bài toán yêu cầu các giao điểm lập thành một hình bình hành.Vậy ta cần nhớ lại
−→ −−→
một tính chất quen thuộc sau: “Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC.”
−→ −−→
Dựa vào tính chất này, có thể thấy rằng ta chỉ cần tìm cách tính AB, DC rồi tìm điều kiện
−→ −−→
để AB = DC là được. Đây là một công việc khá đơn giản, tuy nhiên, cần lưu ý rằng sau khi
tìm ra m xong, ta phải so sánh lại với điều kiện tồn tại các điểm C, D để loại đi những giá trị
không thỏa. Có như vậy thì bài toán mới được giải quyết trọn vẹn.

ht

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H):
x−2
=x−2⇔
x+1

(x − 2)x = 0
⇔
x = −1

x = 0 (⇒ y = −2)


f (x) = x2 + 3mx + 3m + 2 = 0
x = −1

Để d1 cắt (H) tại hai điểm C, D thì phương trình f (x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác
−1. Điều này tương thích với điều kiện:

√
2−2 3
m
0
9m2 − 12m − 8 > 0
3√

⇔
⇔
(1)
f (−1) = 0
1 − 3m + 3m + 2 = 0
2+2 3
m>
3

uy
en

c
.
c
o

o
h
k

x1 + x2 = −3m
x1 x2 = 3m + 2

:/

Thay vào đẳng thức ở trên, ta được
2



m=2

2

(−3m) − 4(3m + 2) = 4 ⇔ 9m − 12m − 12 = 0 ⇔ 

m=−

2
3

tp

Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1), tuy nhiên, với m = − 32 thì ta có C, D trùng với hai điểm
A, B nên giá trị này không phù hợp yêu cầu bài toán. Vậy ta có m = 2 là giá trị cần tìm.