UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
DẠY HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ VI – ÉT GIẢI
BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ
ĐỂ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL y = ax2(a ≠ 0) VÀ ĐƯỜNG
THẲNG y = mx + n THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
MÔN TOÁN 9

Năm học 2014 - 2015
-1-


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Dạy học sinh lớp 9 vận dụng định lí Vi – ét giải bài toán tìm
giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy bộ môn toán 9
3. Tác giả:
Họ và tên: ĐINH THỊ LUYÊN

Nam (nữ)

Nữ

Ngày tháng năm sinh: 05/07/1979
Trình độ chuyên môn: Đại học Toán
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên - Tổ trưởng tổ Khoa học tự nhiên
Điện thoại: 0946 278 818

giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước.
Thực tế với đa số các em học sinh lớp 9, sau khi các em được giải các bài
toán vận dụng hệ thức Vi-ét và tìm hiểu về dạng đồ thị hàm số y = ax 2(a ≠ 0);
y = m x + n thì dạng bài tập này vẫn là một khó khăn thách thức lớn bởi đa số
các em chưa biết vận dụng kiến thức nào để giải bài toán, chưa định hướng
cách giải bài toán dạng này, chưa biết viết gì để giải bài toán, chưa thấy mối
liên hệ giữa số nghiệm của phương trình bậc hai- phương trình hoành độ giao
điểm -chính là số giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = mx + n với parabol y
= ax2(a ≠ 0),...
Trên cơ sở khảo sát thực trạng giải bài tập vận dụng định lí Vi – ét giải
bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước của học sinh lớp 9,
tôi tiến hành chuyên đề với mục đích tháo gỡ khó khăn trên giúp các em hình
thành phương pháp chung và cách trình bày giải các bài toán vận dụng định lí
Vi – ét giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y =

ax2(a

≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước phù hợp

với đặc điểm của từng điều kiện và góp phần thực hiện các chức năng củng cố
kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy và tạo hứng thú học tập bộ môn,
rèn luyện cho HS hình thành kĩ năng vận dụng các kiến thức vào giải bài tập
toán một cách chủ động, để các em có thể làm được dạng bài toán này trong
các bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT (nếu có). Mặt khác, tiếp tục củng cố

cho trước nên các em dù có chăm chỉ tìm tòi đọc sách cũng khó tìm được kiến
thức cho mình để làm bài tập dạng này.
2. Cơ sở lý luận và thực trạng của vấn đề
Dạy giải bài tập toán là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của
dạy học môn toán. Giải bài tập toán giúp học sinh củng cố kiến thức lý thuyết
đã học, rèn luyện kĩ năng vận dụng lý thuyết, rèn luyện tính chính xác trong
tính toán, trong lập luận (lời giải phải đầy đủ, các phép tính phải đúng, lập luận
phải có căn cứ); phát triển tư duy và rèn luyện các thao tác trí tuệ; tạo hứng thú
học tập, hứng thú lao động trí tuệ, lao động sáng tạo. Đồng thời giải bài tập
toán là phương tiện giúp giáo viên kiểm tra học sinh cũng như học sinh tự kiểm
tra mình về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
Trong nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 9 tôi thấy phần hệ thức Vi-ét
và các ứng dụng của nó được dùng để giải các dạng bài toán trong sách giáo
khoa như: tính tổng và tích hai nghiệm của một phương trình bậc hai; tìm hai
số biết tổng và tích của chúng; nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai;
phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử. Sau đó đến các bài toán vạn
dụng định lý Vi-ét trong sách bài tập như biết một nghiệm tìm nghiệm kia; lập
phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó; xác định tham số để phương
trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm hệ thức giữa các
-5-


nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số; tiếp đến
tham khảo các dạng bài tập tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của
phương trình, xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai và giải các hệ
phương trình bậc cao. Tuy các em học sinh nắm bắt được phương pháp và
được rèn kĩ năng giải các dạng bài tập nói trên nhưng khi tôi cho làm bài toán
liên quan đến sự tương giao giữa parabol và đường thẳng cụ thể là bài toán:
Tìm giá trị của tham số m để parabol y = x2 đường thẳng y = (2 – m)x + m 2


10
31,25

Yếu, kém
SL
%
15
46,87

Kết quả đó đều do các em không biết được số giao điểm của parabol và
đường thẳng là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, chưa được tìm
hiểu phương pháp giải phù hợp và định hướng trình bày nội dung bài giải cần
vận dụng định lí Vi-ét trong bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao
giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều
kiện cho trước như thế nào?
Từ những nguyên nhân trên và thực tế thu được tôi thấy cần thiết phải
giảng dạy dạng bài tập này cho các em học sinh vì vậy tôi mạnh dạn lựa chọn
một số bài tập dạng này, thiết lập thêm bài tập và hướng dẫn các em hình thành
được phương pháp cũng như cách trình bày bài giải dạng bài tập toán yêu cầu
-6-


vận dụng hệ thức Vi-ét tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y

= ax2(a

≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước giúp



thẳng y = mx + n ta làm như sau:
-7-


Bước 1. Giải phương trình ax2 = mx + n
Bước 2. Với mỗi nghiệm vừa tìm được, thay vào phương trình y = ax 2 hoặc y =
mx + n ta tìm được tung độ tương ứng
GV: Điều kiện để parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n cắt
nhau là gì?
HS: Phương trình ax2 = mx + n có nghiệm
GV: Từ khẳng định trên em có nhận xét gì về số nghiệm phương trình ax2 = mx
+ n với số giao điểm của parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n?
HS: Nếu phương trình ax2 = mx + n có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng
cắt parabol tại hai điểm
Nếu phương trình ax2 = mx + n có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc với
parabol
Nếu phương trình ax2 = mx + n vô nghiệm thì đường thẳng không cắt parabol
GV: (Chốt) Phương trình ax2 = mx + n có nghiệm là hoành độ giao điểm của
parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n nên người ta gọi phương
trình đó là Phương trình hoành độ giao điểm và khi giải bài toán liên quan
đến giao điểm của parabol và đường thẳng ta phải xét đến số nghiệm của
phương trình hoành độ giao điểm này.
Căn cứ vào quy tắc và nhận xét trên nói trên tôi hướng dẫn học sinh giải
một số bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét tìm giá trị của tham số để giao điểm của
parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho
trước. Cụ thể như sau:
3. 2 Hướng dẫn giải một số bài tập

3. 2. 1 Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 và

2

⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 20
2

GV: Lập chương trình cần thực hiện để giải bài toán?
HS:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức ∆ và chứng tỏ ∆ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- Biến đổi x1 − x2 = 20 xuất hiện tổng và tích hai nghiệm
-9-


- Thay tổng và tích vào đẳng thức trên và giải phương trình tìm m
* Trình bày lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
-x2 = mx – m – 2
⇔ x2 + mx – m – 2 = 0 (*)
∆ = m2 – 4(– m – 2)

= m2 + 4m + 8
= (m + 2)2 + 4 > 0 với mọi m
Do ∆ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m.
Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm của (P) và (d) ⇒ x1; x2 là hai
nghiệm của phương trình (*)

 x1 + x2 = − m


* Một số bài tập tương tự:
Bài 1.Đề thi tuyển sinh lớp 10THPT năm học 2002-2003. T.Hải Dương)
Cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng y = -x + m – 3 cắt nhau tại hai
2

điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm ấy. Tìm m để
x12 + x22 + 4 = x12 x22

Bài 2. Cho parabol (P): y =

1 2
x
2

a) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx – m + 3 luôn cắt parabol (P) tại hai
điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m.
b) Tìm giá trị của m để xA2 + xB2 − x A xB = −3

Bài 3. Cho parabol (P): y = 2x2 và (d): y = 4(m +2)x – 2m2 – 1
a) Xác định giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm giá trị của m để xA2 + xB2 =

15
2

Bài 4. Cho parabol (P): y = -x2 và (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; -1) và

HS: Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
GV: Để chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta cần làm gì?
HS: Chứng minh ∆ > 0 hoặc ∆ ’ > 0 với mọi giá trị của m
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9?
HS: (lúng túng)...
GV: Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) thì
y1 ; y2 được hiểu thế nào?
HS: y1 ; y2 là tung độ các giao điểm thì các hoành độ x 1, x2 tương ứng là hai
nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
GV: y1 ; y2 tính như thế nào theo các hoành độ x1, x2 ?
2
2
HS: y1 = x1 ; y2 = x2 hoặc y1 = 2mx1 – 2m + 3; y2 = 2mx2 – 2m + 3

GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9?
HS: tính các tung độ y1, y2 theo các hoành độ tương ứng rồi thay vào bất
phương trình y1 + y2 < 9, biến đổi là xuất hiện tổng và tích hai nghiệm là các
hoành độ x1, x2; Viết hệ thức Vi-ét thay vào bất phương trình đó tìm m
GV: Lập chương trình thực hiện cần thực hiện để giải bài toán?
HS: Nêu trình tự:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức ∆ ’ và chứng tỏ ∆ ’ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- 12 -


- Tính các tung độ tương ứng y 1 , y2 theo hoành độ giao điểm x 1, x2 thay vào y1
+ y2 < 9 và biến đổi làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm

2
2
2
Theo đề bài y1 + y2 < 9 , mà y1 = x1 ; y2 = x2 ⇒ x1 + x2 < 9

⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 < 9
2

(2)

(2m)2 – 2(2m –3 ) < 9

Thay (1) vào (2) ta được:

⇔ 4m2 – 4m + 6 < 9
⇔ 4m2 – 4m – 3 < 0
⇔ (2m – 1)2 – 22 < 0
⇔ (2m – 3)(2m + 1) < 0
 2m + 1 > 0 vì 2m – 3 < 2m + 1
⇔
 2m − 3 < 0
⇔−
1
2

1
3


1 2
x và
2

đường thẳng (d): y = 2x – m + 1
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1; y1) và
(x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho biết gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng (d): y = 2x – m + 1
2

Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1; y1) và
(x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Tìm cách giải
GV: Từ yêu cẩu đề bài ta phải tìm m thỏa mãn những điều kiện nào?
- 14 -


HS: Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và đẳng thức
x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
GV: để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì m thỏa mãn điều kiện
nào?
HS: đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi thì m thỏa
mãn điều kiện ∆ > 0 hoặc ∆ ’ > 0
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để x1x2(y1 + y2) + 48 = 0

nghiệm của phương trình (*)
 x1 + x2 = 4
(1)
 x1 x2 = 2m − 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có 

Theo đề bài x1x2(y1 + y2) + 48 = 0 mà y1 = 2x1 – m + 1; – m + 1; y2 = 2x2 – m+
1 ⇒ y1 + y2 = 2(x1+ x2) – 2m + 2

(2)

Thay (1) (2) vào x1x2(y1 + y2) + 48 = 0 ta được:
(2m – 2)(2.4 – 2m + 2) + 48 = 0
⇔ (2m – 2)(10 – 2m) + 48 = 0
⇔ 20m – 4m2 - 20 + 4m + 48 = 0
⇔ m2 – 6m – 7 = 0
⇔ m1= -1; m2 = 7

Kết hợp điều kiện trên ta có m = 1 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân
biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: lập luận có căn cứ, hợp logic
- Tìm thêm bài toán mới: Để giải dạng bài toán trên, ta phải tìm m để tọa độ các
giao điểm thỏa mãn một đẳng thức cho trước. Vì vậy thay đẳng thức đã cho
trước bởi các đẳng chứa các tọa độ khác nhau ta có thêm bài toán mới.

* Một số bài tập tương tự:
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y =


2
x – 2. Tìm m để (d) cắt
m

(P) tại hai điểm phân biệt sao cho AB = 4 10
Sau khi giải ba bài tập trên, tôi yêu cầu học sinh khái quát phương pháp
chung để giải bài toán để tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol

y = ax2(a

≠ 0)

và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước, sau

đó thống nhất thực hiện các bước sau:
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm rồi chứng minh hoặc tìm m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt;
Bước 2. Viết hệ thức Vi-ét;
Bước 3. Biến đổi điều kiện đã cho có chứa tổng, tích hai nghiệm và kết hợp
hệ thức Vi-ét tìm tham số m;
Bước 4. Kiểm tra lại m có thỏa mãn điều kiện không rồi kết luận
4. Kết quả đạt được và bài học kinh nghiệm
4.1 Kết quả đạt được
Trong giảng dạy học sinh lớp 9, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra về
dạng bài tập này trước (sau khi các em học hết cách giải các dạng bài tập vận
dụng hệ thức Vi-ét trong SGK, SBT) để khêu gợi trí tò mò cũng như ham muốn
giải toán của các em song kết quả các em làm được bài rất thấp, thậm chí bỏ
không làm bài. Sau bài kiểm tra đó tôi tiến hành dạy chuyên đề này trong một
buổi học ôn tập tại trường và tôi dành thời gian cho các em xem lại phương
pháp giải và tự làm các bài tập tương tự ở nhà và buổi học sau tiến hành cho


2
8

6,25
25

5
12

15,63
37,5

10
10

31,25
31,25

15
2

46,87
6,25

So sánh kết quả trên cho thấy việc nắm bắt phương pháp giải tổng quát
với dạng bài toán vận dụng định lý Vi-ét tìm giá trị của tham số để sự tương
giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều
kiện cho trước các em có kỹ năng nhận đúng dạng, sử dụng đúng phương pháp
và thực hiện tốt các bước giải một cách chính xác linh hoạt hơn cho kết quả làm

rộng hơn để các em được tự mình rèn luyện kĩ năng giải bài tập
- Trong thực tế là học sinh ít khi khai thác kiến thức đã học hay tự tìm tòi kiến
thức, giải các bài tập mà không có sự yêu cầu và định hướng của giáo viên, vì
vậy môi giáo viên dạy toán cần thường xuyên bồi dưỡng cho học sinh khả năng
tự học, tự khai thác kiến thức cơ bản, phát triển bài toán thành bài toán mới
nhằm thúc đẩy khả năng phát triển tư duy sáng tạo.
- Các giáo viên dạy toán lớp 9 chỉ tiến hành giảng dạy chuyên đề này sau khi
học sinh lớp 9 học xong cách giải các bài toán ứng dụng hệ thức Vi-ét hoặc
trong thời gian ôn thi vào lớp 10 THPT.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trên đây là nội dung tôi đã đưa vào giảng dạy dạng bài toán vận dụng
định lí Vi-et tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠
- 19 -


0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước. Bản thân tôi
thấy đây là nội dung thiết thực đối với các em học sinh lớp 9 trong học tập cũng
như ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10THPT đặc biệt là học sinh khá, giỏi góp phần
cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng tính toán, lập luận và phát triển tư duy sáng tạo,
hứng thú học tập bộ môn,…
Khi giảng dạy bài toán vận dụng định lí Vi-et tìm giá trị của tham số tìm
giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a ≠ 0) và đường

thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước tôi đã hướng dẫn học sinh xây
dựng chương trình giải một cách hệ thống hình thành phương pháp giải tổng
quát cho phù hợp và cũng đã sắp xếp các yêu cầu từ điều kiện hoành độ tới
tung độ của giao điểm rồi tới tọa độ giao điểm của chúng (từ đơn giản đến phức
tạp) giúp học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt phương pháp chung cho

Trang
1
2
4

Thông tin chung về sáng kiến
Tóm tắt sáng kiến
Mô tả sáng kiến
- 21 -


1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
2. Cơ sở lí luận và thực trạng của vấn đề
3. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
3.1 Hướng dẫn lý thuyết về tìm tọa độ giao điểm của parabol y

= ax2(a

≠ 0)

và y = mx + n và định hướng mối liên hệ số

giao điểm với số nghiệm của phương trình hoành độ giao

4
4
6

6