I - PHẦN MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng.
Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học
sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh
vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực
và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ
của người công dân.
Ở trường trung học cơ sở, trong dạy học Toán: cùng với việc
hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các
định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và
là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở
trường phổ thông. Đối với học sinh trung học cơ sở, có thể coi việc
giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Do đó việc
hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán
là rất cần thiết và không thể thiếu được.
1
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường trung
học cơ sở tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế
dạy học tôi thấy: trong chương trình Toán trung học cơ sở "Các bài
toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" rất đa dạng, phong phú và
thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc
học này nhất là các em trong đội tuyển. Ở trung học cơ sở học sinh
chưa có các công cụ giải toán cao cấp để giải các bài toán này. Chính
vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở trung học cơ sở không theo quy tắc
hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học phải có một cách suy
nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một
cách logic có hệ thống.
2) Mục đích của đề tài:
Trên thực tế giảng dạy đội tuyển Toán 9 những năm qua tôi nhận

năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ
khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất,
tốt nhất.
5
1.1) Lý thuyết cơ bản về dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất :
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc
miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S mà ta có: P(x
0
, y
0
, z
0
) ≥ P(x, y, , z) hoặc P(x
0
, y
0
, z
0
) ≤ P(x,
y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x
0

, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực tiểu
tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc Pmin tại (x
0
, y
0
, z
0
) .
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các
cực trị của
P trên miền S.
1.2. Nguyên tắc chung tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là
vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
6
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

⇒
A ≥ 2 ∀x
Do đó A = 2 ⇔ x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
1.3 Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất
đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
8
* a ≥ 0, tổng quát: a ≥ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* – a ≤ 0, tổng quát: – a ≤ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* ≥ 0 (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* – ≤ a ≤ . (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* + ≥ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0)
* – ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a≥ b≥ 0 hoặc a ≤ b≤ 0)
* a + ≥ 2 ,∀a >0 và a + ≤ – 2 , ∀ a <0
* ≥ ≥ ab ; ∀a,b (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
* a ≥ b, ab >0
⇒
≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
2)Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy đội tuyển toán 9
ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy cách học của đa số học sinh trong
đội tuyển nắm kiến thức rất thụ động mang nhiều tính sách vở.
9
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều
hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh

A(x) = x– 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)
≥
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ
ra trường hợp xảy ra đẳng thức
11
Lời giải: A(x) = x – 4x + 1
= x – 2.2x + 1
= (x – 2.2x + 4) – 3
= (x – 2) – 3
Với ∀x: (x – 2) ≥ 0 nên ta có:
A(x) = (x – 2) – 3 ≥ –3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng –3 khi x =2
Đáp số: A(x) nhỏ nhất = – 3 với x =2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = – 5x– 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến
đổi đưa B(x) về dạng B(x)
≤
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến
khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
Lời giải: B(x) = – 5x – 4x + 1
= –5(x + x) +1
12
= –5 [ x + 2. x + ()

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x+ x + 1)
Hướng dẫn giải:
(?) Ta nhận thấy A = (x + x + 1) ≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của
A có phải bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải
bằng 0 vì: x+ x +1 ≠ 0
14
Do đó Amin  (x+ x +1) min
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất
của A?
Trả lời: Ta có x+ x +1 = x + 2x. + – + 1
= (x+ ) + ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của x + x + 1 bằng với x = –
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng () = với x = –
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x – 6x + 10x – 6x + 9
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: - Hãy viết biểu thức dưới dạng A(x) + B(x) ≥ 0
- Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải: x – 6x + 10x – 6x + 9 = x – 2.x.3x + (3x) + x – 2x.3
+3
= (x – 3x) + (x –3) ≥ 0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
15
x – 3x = 0 x = 0 x = 0
 x – 3 = 0  x = 3  x =
3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

A = x – 2 + x –5 = 2x – 7
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị
nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
17
Đáp số: A = 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một
tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Từ đó tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải: A = += +
Ta có: + ≥ ≥ 3
≥ 0
A = 3   (x – 2)(5 – x) ≥ 0
≥ 0
 2 ≤ x ≤ 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
DẠNG 4: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN
THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của M =
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất a ≥ b, ab >0
⇒
≤ hoặc theo quy tắc so
sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
18
Lời giải:
Xét M = = =
Ta thấy (2x – 1) ≥ 0 nên (2x – 1) + 4 ≥ 4
Do đó: ≤
Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng khi 2x – 1 = 0 => x =

Do đó A = – + = 1 – +
Đặt y = khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 – y + y
Ta có: A = 1 – y + y = y – 2.y. + ( ) +
= (y– ) + ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi và chỉ khi:
y – = 0 ⇒ y= hay =

⇔
x + 1 = 2

⇔
x = 1
Đáp số: A nhỏ nhất = khi x = 1
Cách 2:
Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu
thức không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
A = = =
A =
A = +
21
A = + [] ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x – 1=0 ⇒ x =1
Đáp số: A nhỏ nhất = khi x =1
DẠNG 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH
ĐƯA VỀ DẠNG ≥ 0 (HOẶC ≤ 0)
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M(x) = (Với
x ∈ R)
Hướng dẫn giải:

tôi nhận thấy đã 10 hs chiếm tỉ lệ 66,7% đã năm chắc chuyên đề tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (biết phân dạng và tìm ra phương
pháp phù hợp), 5 em chiếm tỉ lệ 33,4 % biết thực hiện nhưng còn
chậm (Bước đầu đã biết định hướng được dạng và phương pháp
nhưng còn thụ động và chậm, đang cần sự gợi ý) .
KẾT QUẢ CỤ THỂ
Số HS
điểm 9 - 10 điểm 7 - 8 điểm 5 - 6 điểm dưới 5
SL % SL % Sl % SL %
15 03 20 % 7 46,7% 5 33,4% 0 0 %
24
25