Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 5
Chơng 1
Số phức
Đ1. Trờng số phức

Kí hiệu = 3 ì 3 = { (x, y) : x, y 3 }. Trên tập định nghĩa phép toán cộng và phép
toán nhân nh sau
(x, y), (x, y)
(x, y) + (x, y) = (x + x, y + y)
(x, y) ì (x, y) = (xx - yy, xy

+ xy) (1.1.1)

Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) và (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1)

Định lý (, +, ì ) là một trờng số.
Chứng minh
Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1)
Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không là (0, 0)
(x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y)
Mọi phần tử có phần tử đối là -(x, y) = (-x, -y)
(x, y) , (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị là (1, 0)
(x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y)
Mọi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo là (x, y)
-1
= (

*
với
*
= - { (0, 0) }
z - z = z + (- z),
'
z
z
= z
ì
(z)
-1
và z
0
= 1, z
1
= z và z
n
= z
n-1

ì
z (1.1.2)

Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0)
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

Đ2. Dạng đại số của số phức

Với mọi số phức z = (x, y) phân tích
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
Đồng nhất đơn vị thực (1, 0) 1 và đơn vị ảo (0, 1) i, ta có
z = x + iy (1.2.1)
Dạng viết (1.2.1) gọi là dạng đại số của số phức. Số thực x = Rez gọi là phần thực, số
thực y = Imz gọi là phần ảo và số phức
z
= x - iy gọi là liên hợp phức của số phức z.
Kết hợp các công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy ra dạng đại số của các phép toán số phức.

(x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y)
(x + iy) ì (x + iy) = (xx - yy) + i(xy + xy)

yix
iyx

+

+
=
22
yx
yyxx

+

= (1 + 2i) ì (1 + 2i) = -3 + 5i, z
3
= z
2
ì z = (-3 + 5i) ì (1 + 2i) = -13 - i

Từ định nghĩa suy ra
z
= z z 3
z
= - z z i3
z
= z
z +
z
= 2Rez z -
z
= 2iImz z
z
= Re
2
z + Im
2
z (1.2.3)

Ngoài ra liên hợp phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý

(n, z, z)

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

'
z
z
+
=
z
+
'
z

2.
'
zz
=
z
'
z

n
z
=
n
)z(
3.
1
z

=
1
)z(

zz

=
z
1
z

= 1
1
z

= (
z
)
-1

Suy ra z/z

=
1
)z(z


=
z
1
z




z
= z(z)
-1
=
2
|
'
z
|
1
z
'
z
(1.2.4)
Ngoài ra module của số phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý
(n, z, z) ì ì
1. | z | 0 | z | = 0 z = 0
2. | z z | = | z || z | | z
n
| = | z |
n
3. | z
-1
| = | z |
-1

z
z

| = 1

| z
-1
| = 1 / | z |
Suy ra | z / z | = | z (z)
-1
| = | z | | (z)
-1
|
4. Ta có z
z

+
z
z = 2Re(z
z

) | z
z

= | z || z|
Suy ra | z + z
2
= (z + z)(
'
z
z
+
) = z

w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a

Trang 8 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Với mọi số phức z = x + iy
*
tồn tại duy nhất số thực (-, ] sao cho
cos =
|
z
|
x
và sin

=
|
z
|
y
(1.3.1)
Tập số thực Argz = + k2, k 9 gọi là argument, số thực argz = gọi là argument
chính của số phức z. Chúng ta qui ớc Arg(0) = 0.
Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy ra
x = rcos và y = rsin
Thay vào công thức (1.2.1) nhận đợc
z = r(cos + isin) (1.3.2)
Dạng viết (1.3.2) gọi là dạng lợng giác của số phức.

Từ định nghĩa suy ra
argz = arg(-z) = - , arg
z
= - và arg(-
z

-1
)

Ví dụ Cho z = 1 + i và z = 1 +
3
i
Ta có zz = [
2
(cos
4

+ isin
4

)][2(cos
6

+ isin
6

)] = 2 2 (cos
12
5
+ isin
12
5
)
z
100
= ( 2 )

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C

.
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 9
Theo các kết quả ở trên chúng ta có định lý sau đây.

Định lý (n, , ) ì 3 ì 3
1. e
i

0 e
i

= 1 = k2
i
e
= e
-i


2. e
i(

+

)
= e
i

e
i

i

+ e
-i

) sin

=
i
2
1
(e
i

- e
-i

) (1.3.6)
Công thức (1.3.5) gọi là công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi là công thức Euler.

Ví dụ Tính tổng C =

=

n
0k
kcos
và S =

=



+



+
và S =
1cos
sinnsin)1nsin(
2
1






+ Số phức w gọi là căn bậc n của số phức z và kí hiệu là w =
n
z
nếu z = w
n

Nếu z = 0 thì w = 0
Xét trờng hợp z = re
i


n

+ m
n
2

n

+ k
n
2
[2]
Từ đó suy ra định lý sau đây.

Định lý
Căn bậc n của số phức khác không có đúng n giá trị khác nhau
w
k
=
n
r
[cos (
n

+ k
n
2
) + isin(
n

d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e

4

) có các căn bậc 3 sau đây
w
0
=
6
2 (cos
12

+ isin
12

), w
1
=
6
2 (cos
12
9
+ isin
12
9
), w
2
=
6
2 (cos
12
17

k
= (
1
)
k
3.


=

1n
0k
k
= 0

Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j =
3
2
i
e

=
1
. Suy ra
2
= j
2
= j và 1 + j + j
2
= 0

v
(z).
Kí hiệu P là mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ
: P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2)
là một song ánh gọi là
biểu diễn hình học
của số phức. Điểm M gọi là
ảnh
của số phức z
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của điểm M và kí hiệu là M(z).
Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M
1
(-
z
), M
2
(-z) và M
3
(
z
).
Nếu z = x 3 thì điểm M(z) (Ox), còn nếu z = iy thì điểm
M(z) (Oy). Do vậy mặt phẳng (Oxy) còn gọi là mặt phẳng
phức, trục (Ox) là trục thực và trục (Oy) là trục ảo. Sau này
chúng ta sẽ đồng nhất mỗi số phức với một vectơ hay một điểm
trong mặt phẳng và ngợc lại.

Định lý

M
2

M
3

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11
Suy ra từ các công thức (1.4.1) và (1.4.2)

Hệ quả 1 Trong mặt phẳng cho các điểm A(a), B(b), C(c) và D(d)
1.
AB
(b - a), AB = | b - a |, (i,
AB

)). Chứng minh
rằng đờng thẳng (MN) là phân giác của góc (
PA
,
PB
).
Ta có (
i
,
AP
) = arg(
2
1
(z +
z
1
) - 1) = arg
z2
)1z(
2


(
i
,
BP
) = arg(
2
1
(z +

i
,
MN
)

Hệ quả 2
Với các kí hiệu nh trên
1. Hai đờng thẳng (AB) // (CD) arg
a
b
cd


= 0 []
a
b
cd


3
2. Hai đờng thẳng (AB) (CD) arg
a
b
cd


=
2

[]



= k 3 -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1)




=
=
)1y(k1x
kxy
x =
1
k
k1
2
+

, y =
1
k
)1k(k
2
+

với k 3 ánh xạ : P P, M N gọi là một phép biến hình
A

w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

AM
(k > 0) gọi là phép vi tự tâm A, hệ số k
Phép biến hình M N sao cho (
AM
,
AN
) = gọi là phép quay tâm A, góc
Tích của phép tĩnh tiến, phép vi tự và phép quay gọi là phép đồng dạng.

Định lý Cho phép biến hình : M N
1. Phép biến hình là phép tĩnh tiến z = z + b với b
2. Phép biến hình là phép vi tự z = a + k(z - a) với k 3
+
, a
3. Phép biến hình là phép quay z = a + e
i

(z - a) với 3, a
4. Phép biến hình là phép đồng dạng z = az + b với a, b
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa các phép biến hình và toạ vi phức.

Ví dụ Cho A(a), B(b) và C(c). Tìm điều kiện cần và đủ để ABC là tam giác đều
ABC là tam giác đều thuận (a - b) =
3
i
e

(c - b)
(a - b) = - j

n
+ iy
n
(1.5.1)
gọi là dy số phức và kí hiệu là (z
n
)
n

.
Dy số thực (x
n
)
n

gọi là phần thực, dy số thực (y
n
)
n

là phần ảo, dy số thực dơng
(| z
n
|)
n

là module, dy số phức (
n
z
)

n
- a
|
<


Dy số phức (z
n
)
n

gọi là
dần ra vô hạn
và kí hiệu là
+n
lim z
n
=

nếu


M > 0,

N



:


C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 13
Định lý Cho dy số phức (z
n
= x
n
+ iy
n
)
n

và a = + i
+n
lim z
n
= a


+n
lim x
n



|
z
n
- a
|
<



n > N


|
x
n
-


|
<

và
|
y
n

=







> 0,

N



:

n > N


|
x
n
-


|
<

/2 và
|


Hệ quả
1.
+n
lim z
n
= a


+n
lim
n
z =
a



+
n
lim
|
z
n

|
=
|
a
|


n
lim z
n

+
n
lim z
n
và
+
n
lim (z
n
/ z
n
) =
+
n
lim z
n
/
+
n
lim z
n

3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn dy số thực


Cho dy số phức (z

x
gọi là
phần thực
, chuỗi số thực

+
=0n
n
y
là
phần ảo
, chuỗi số thực
dơng

+
=0n
n
|z|
là
module
, chuỗi số phức

+
=0n
n
z
là
liên hợp phức
của chuỗi số phức.
Kí hiệu S

z
= 1 + z + + z
n
+ (
|
z
|
< 1)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Trang 14 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Ta có S
n
= 1 + z + + z
n
=

0n
nnn
iyxz
và S = + i

+
=0n
n
z
= S

+
=0n
n
x
= và

+
=0n
n
y
= (1.5.4)
Chứng minh

Suy ra từ các định nghĩa và công thức (1.5.2)
Hệ quả


z
gọi là
hội tụ tuyệt đối
nếu chuỗi module

+
=0n
n
|z|
hội tụ. Rõ ràng
chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ. Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung là không
đúng. Ngoài ra, có thể chứng minh rằng chỉ khi chuỗi số phức hội tụ tuyệt đối thì tổng
vô hạn (1.5.3) mới có các tính chất giao hoán, kết hợp, tơng tự nh tổng hữu hạn.

Đ6. Hàm trị phức

Cho khoảng I 3, ánh xạ
f : I , t f(t) = u(t) + iv(t) (1.6.1)
gọi là
hàm trị phức
.
Hàm u(t) = Ref(t) gọi là
phần thực
, hàm v(t) = Imf(t) là
phần ảo
, hàm | f(t) | là
module

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.