Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )
( )
; ;
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v
AC v
Nhận xét:
+) Khi
0
. 0
0
=
→ =
=
u
u v
v
+) Khi
(
)
0
; 0
↑↑ → =
u v u v
ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
(
)
; .
CI AC
Hướng dẫn giải:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )
2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a
2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
a a
AB BC a
( )
( )
( )
2
0
2
1
2
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC
T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )
( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2
Đồng thời,
( )
2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )
( )
2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
b) Tính góc
(
)
; .
SM BC
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2
= +
+ =
←→
= +
= −
. 0
. 0
. 0
=
=
=
SA SB
SA SC
SB SC
Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
a
SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB
Thay vào (1) ta
đượ
c
( )
( )
2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
a;b .
T
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ
đồ
( )
( )
a//a
a;b a ;b
b//b
′
′ ′
→ =
′
Nh
o
a; b 0 .
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )
( )
a // a
a,b a ,b
b // b
′
′ ′
→ =
′
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )
o
SD;BC 30 .
=
b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,
( )
( )
o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA
→ = =
−
o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB
→ = =
−
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
= + = + =
ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
8
IOB arccos SC;BD .
130
→ = =
V
ậ
y
( )
8
SC;BD arccos .
130
=
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )
( )
o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =
V
ậ
y
( )
o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:
Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
a)
( )
( )
Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó
o
2a 3
SA 3
= + = + =
Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
= + = + =
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)
,
SC AB
, từ đó suy ra góc
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó
= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2
=
→ = ⇔ ⊥
=
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:
Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét
(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
Mà
( )
( )
ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.
a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ
i
CD
.
b) G
ọ
i
M
Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0
⊥ =
⇔ → = ⇔ ⊥
⊥
=
b)
( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
MI là
đườ
ng trung bình nên MI = a/2.
T
ừ
đ
ó
( )
( )
2 2 2
BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ
= =
−
Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng
a 3
BJ BM
2
= =
Do
đ
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b,AA c.
a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ
n nh
ớ
m
ộ
t s
ố
tính ch
đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).
Các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o b
ở
i các kích th
ướ
c c
o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =
Tính
( )
AC,B C
′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB
′ ′ ′ ′
→ = =
−
Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB
′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =
′
−
Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ
→ + + + =
+ =
Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
G
ọ
i O
′
là tâm c
ủ
a
đ
áy A
′
B
′
C
O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ
đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc t
ơ
a, b, c.
Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l
Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC.BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
d) Ch
0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
′ ′
+ + = + +
Mà
( )
( )
o
o 2 2
o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC.
BN.CC BN.CC .cos0 ax
= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t
đ
áy là
trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB, bi
ế
t
3.
SH a= G
ọ
i I là trung
đ
i
ộ
c AB v
ớ
i AH = 2HB, bi
ế
t SH = 2a. Tính góc gi
ữ
a
a) SB và CD
b) SB và AC
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm
H thuộc cạnh AB với
1
.
2
AH HB
= Biết
2 ; 3; 2.
AB a AD a SH a= = = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; HC)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB =
a;
2.
BC a=
Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và
JN.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
; 3.
AB a AD a= = Hình chiếu vuông góc
của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
3
a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
; 2.
4
AH AB SH a= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; AC)
a
a)
(SA; CD)
b)
(SC; BD)
c)
(SB; AD)
d)
(SA; BD)
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh S xu
ố
ng
(ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB. Bi
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC)
là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho
1
.
3
AH AB
= Bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác SAB b
ằ
ng
m H thu
ộ
c AC sao cho CH = 3AH;
3.
SH a
=
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SC; AB)
b)
(SA; BD)
Đ
/s:
( ) ( )
66 10
) cos ; ) cos ;
22 50
a SC AB b SA BD= =
Bài 9.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình ch
ữ
nh
ậ
t, AB = a; AD = 2a. Hình chi
ế
u vuông góc c
) ; 86 ) cos ;
19
a SA BD b SC BM≈ =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
3
2 ; ; 3 .
2
= = =
a
AB a BC AD a
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là trung
đ
i
t ph
ẳ
ng (SBD)
b)
t
ừ
B
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAH)
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi v
ớ
i
2 ; 2 2.
= =AC a BD a Gọi H là trọng tâm
tam giác ABD, biêt rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc
giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ C đến mặt phẳng (SHD)
b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 60
t góc gi
ữ
a SC và (ABCD) b
ằ
ng 45
0
. Tính
kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
D
đế
n (SHC).
b)
t
ừ
trung
đ
i
ể
m M c
ủ
a SA
đế
n (SHD)
H
ướ
(
)
(
)
1 1 1
;
DD HC DD SHC DD d D SHC
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
Sử dụng tính toán qua công cụ diện tích ta dễ dàng có
( ) ( )
1 1
2 .3 18 18
2 . . ; . ;
93 97 97
3
HDC
a a a a
S DD HC DC d H DC D D d D SHC
a
= = ⇒ = = ⇒ =
b) Do M là trung điểm của SA nên
( ) ( )
1
; ;
2
d M SHD d A SHD
=
+) K
ẻ
; .
85
a
d M SHD
=Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
Dạng 2. Khoảng cách từ H tới mặt phẳng (P), với H là chân đường cao
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O, cạnh
2.
a
Biết SA = 2a và SA ⊥
(ABCD). Tính khoảng cách
a) từ A đến (SBC).
b) từ A đến (SCD).
c) từ A đến (SBD).
d) Gọi M là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM).
e) Gọi I là trung điểm của SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI).
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
2 ; 3 .
= = =
AB BC a AD a
d d
v
ớ
i K là trung
đ
i
ể
m HC.
Ta c
ũ
ng tính
đượ
c
4
; ,
3
= =
a
CH a CL v
ớ
i L là giao
đ
i
ể
m kéo dài c
ủ
a HK và AB.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho hình chóp tam giác
ể
m c
ủ
a AB, BC. Tính kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n (SMN).
06. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH – P2
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2 ; 3.
= =AB a AD a Biết tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) từ A đến (SBC).
b) từ A đến (SCD).
c) từ A đến (SBD).
d) Gọi M là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB =
b. Tính khoảng cách
a) từ S đến (ABCD).
b) từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB.
có đồ thị là (C’), tập xác định
là D
2
. Khi đó số nghiệm của phương trình
( ) ( )
=
f x g x
với
(
)
1 2
∈ ∩
x D D
chính là số giao điểm của hai đồ
thị đã cho.
Phương trình
( ) ( )
=
f x g x
hay
( ) ( ) 0 ( ) 0
− = ⇔ =
f x g x h x được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: [ĐVH].
Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây :
a)
( )
3
3 2
1 2
= + +
= − +
y x x
y m x m
Hướng dẫn giải:
a)
( )
3
3 2
2
= − −
= −
y x x
y m x
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2.
Từ đó ta có điều kiện tương ứng
( )
0
1 1 0 0
0
0.
0
2
1 2
2
′
∆ <
− − < ⇔ <
′
∆ =
⇔ ⇔ <
=
→
9
2 0
9
′
∆ =
→ =
= − ≠
′
∆ >
>
⇔ → =
=
=
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
đề
u khác 2
( )
0
0
2 0
9
′
∆ >
>
⇔ ⇔
≠
≠
i hai
đ
i
ể
m khi m = 0 ho
ặ
c m = 9.
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi m > 0 và m
≠
9.
b)
2 1
2
2
+
2 2 2 2 1 0 0, 1 .
2
+
= + ⇔ + + + − = ⇔ =
+
x
x m x m x m h x
x
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2.
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x =
−
2.
Ta có
( )
2
2
4 4 8 2 1 0
0
6 2 6 6 2 6
0
12 12 0
6 2 6 6 2 6.
6 2 6
2
2
6
2
+
= − = −
=
− = −
o
m m m
m
m m
m
m
vn
b
m
x
m
a
ệ
m
là x =
−
2.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( )
( )
2
2
12 12 0
6 2 6
0
6 2 6
2
6
2
4
2
2
6 2 6
0
12 12 0
6 2 6
⇔
> +
∆ >
− + >
⇔ →
< −
=
− + + − =
2
6 2 6
0
12 12 0
6 2 6
6 2 6
2 0
8 2 2 2 1 0
6 2 6
3 0
> +
∆ >
− + > > +
⇔ ⇔ →
< −
≠
− + + − ≠
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
6 2 6.
= ±m
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
6 2 6
6 2 6
i
ể
m:
(
)
(
)
(
)
4 2 2 4 2
1 1 2 1 2 0 0, 1 .
+ + = − + ⇔ + + − = ⇔ =x x m x m x mx m h x
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
ủ
a hai
đồ
th
ị
là 4.
Đặ
t
(
)
(
)
(
)
2 2
, 0 1 2 0, 2
= ≥ → = + + − =t x t h t t mt m
Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi (1) vô nghi
ệ
m,
đ
i
ề
0
8 4 0
4 2 5
4 2 5.
0
0
0
2
2
∆ =
+ − =
= − ±
⇔ ⇔ → = − +
−
−
= <
>
<
m m
m
m
< − −
∆ > + −
+ < ⇔ − < ⇔ > →− + < <
− >
>
<
m
m
m m
t t m m m
m
t t
m
H
ợ
p ba kh
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) có m
ộ
t nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó ch
ỉ
x
ả
y ra khi nghi
ệ
m
đ
⇔ ⇔ → = − −
−
−
= >
<
>
m m
m
m
b
m
t
m
a
+ (2) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u khi
1 2
1
0 1 2 0 .
2
< ⇔ − < ⇔ >
ể
m là
4 2 5
1
2
= − −
>
m
m
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0.
Điều đó xẩy ra khi
( )
1 2
1
0 0
1 2 0
.
2
0
0
0
=
để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 3
đ
i
ể
m.
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m khi (1) có b
y ra khi
2
1 2
1 2
4 2 5
4 2 5
0 8 4 0
0 0 0 4 2 5.
1 2 0 1
0
2
> − +
> − −
∆ > + − >
+ > ⇔ − > ⇔ < → < − −
− >
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
1
.
2
=
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
4 2 5.
< − −m
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
a)
3 2
3
3 4
= + +
= +
y x x x
y x
b)
3
1
2 3
+
=
−
−
= +
x m
y
x
y mx
theo tham số m.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
a)
( )
3
3
3
3
= − +
= −
x
y x
x
y x m
Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
a)
4
2
2
1
3
2 2
1
= − + +
= +
x
y x
y mx
b)
(
)
4 2
2
2 3 1
2
Xét các hàm số
3 2
( )
= = + + +
y f x ax bx cx d
có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n
Ta có phương trình hoành độ giao điểm :
3 2 3 2
0 ( ) 0
+ + + = + ⇔ + + + = ⇔ =
ax bx cx d mx n Ax Bx Cx D h x
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
TH1 : Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm x = x
0
Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) chính là số nghiệm của phương trình h(x) = 0.
Thông thường trong bài thi Đại học thì thường sẽ nhẩm được nghiệm của phương trình. Các nghiệm thường gặp là ±1;
±2; ±3; ±m; ±2m… Kĩ thuật nhẩm nghiệm ở đây là cô lập tham số m, cho hệ số chứa m bằng 0. Nếu ta nhẩm được một
nghiệm x = x
o
thì ta có
( )
( )
2
( )
( ) 0 Ax 0
( ) 0
=
y th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình, chia theo l
ượ
c
đồ
Hoorne ta
đượ
c
( )
(
)
2
( ) 1 1 0.
= + − + − =
h x x x x m
Ta xét một số trường hợp thường gặp:
TH
1
: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi
0
( ) 0
∆ >
≠
∆ >
=
g
o
g
o
g x
g x
TH
3
: (d) cắt (C) tại 1 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt.
Phương trình h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép chính là x
o
. Điều
đó tương đương với
0
0
2
∆ <
C
Đ
.y
CT
cực trị.
Thí dụ:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
2
3
3 3
1
2 1 0 1 1 0
1 0
1
2 1 0 2 1 1
2 1
= −
= + − + − = ⇔ + − + − = ⇔
= − + − =
− −
= + + + + = ⇔ + = − − ⇔ = =
+
x
ệ
t.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):
3 2 2
6 9 6 2 4 ( 2)( 4 1 ) 0
− + − = − − ⇔ − − + − =
x x x mx m x x x m
2
2
( ) 4 1 0
=
⇔
= − + − =
x
g x x x m
(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2
( )
0
3.
2 0
∆ >
⇔ ⇔ > −
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
(1) và tr
ụ
ử
chung là tham s
ố
m ph
ả
i tri
ệ
t triêu nhau,
ở
đ
ây ta tách ra
đượ
c m
ộ
t nhân t
ử
có ch
ứ
a m là m(–x
2
+ x). Cho –x
2
+ x = 0 ta
đượ
c x = 0 ho
ặ
c x = 1
Thay vào ph
ươ
+ 4 > 0
∀
m và g(1) = m
≠
0 (theo gi
ả
thiêt), khi
đ
ó g(x) = 0 luôn có hai nghi
ệ
m
phân bi
ệ
t và khác 1.
Ví dụ 3: [ĐVH].
Cho hàm s
ố
y = x
3
– 3x + 2, có
đồ
th
ị
là (C)
G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng th
ẳ
ng qua A(3 ; 20) và có h
ệ
s
ố
góc là k nên d có ph
ươ
ng trình d : y = k(x – 3) + 20
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m: x
3
– 3x + 2 = k(x – 3) + 20
⇔
x
3
– (k + 3)x + 3k – 18 = 0, (*)
//
Để
nh
ẩ
m nghi
ệ
* 3 3 6 0
( ) 3 6 0
x
x x x k
g x x x k
− =
⇔ − + − + = ⇔
= − − + =
Để
(*) có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t thì ph
ươ
ng trình g(x) = 0 ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và khác 3
Đ
i
ề
u
k
k
g
k
k
V
ậ
y v
ớ
i
15
4
6
>
≠
k
k
thì
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t
ng th
ẳ
ng
(
)
= − − −
: 2 1 4 1
d y m x m
c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
t (C) t
ạ
i
đ
úng 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m kép khác x = 2 ho
ặ
c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
trong
đ
ó có m
ộ
t nghi
ệ
m là x = 2.
Ta có các
đ
− ≠ ≠
⇔ ⇔
=
+ >
∆ >
− + =
=
m
b
m
a
m
m
m
TH2: Phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm
Nếu h(x) = 0 không nhẩm được nghiệm thì ta sử dụng phương pháp cô lập tham số, phân tích h(x) = 0 thành dạng
(
)
(
)
(
)
, 0
h x m g x k m
= ⇔ = , trong
đ
ó
đ
ó g(x) là hàm s
ố
ch
ỉ
ch
ứ
a x, còn k(m) là hàm ch
ỉ
ch
ứ
a m (hay còn g
ọ
i là hàm
h
ằ
ng v
y g x
y k m
Ta lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x).
Khi đó, (1) có 3 nghiệm phân biệt khi g
CT
< k(m) < g
CĐ
Khi đó, (1) có 1 nghiệm khi k(m) < g
CT
hoặc k(m) > g
CĐ
Ví dụ 1: [ĐVH].
Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
– 9x + m. Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox : x
3
– 3x
2
– 9x + m = 0,
(1)
Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị. Để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì (1) phải có 3 nghiệm
phân biệt. (1) ⇔ x
3
– 3x
2
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−∞ −1 3 +∞
g’
+ 0 − 0 +
g
5 +∞
−∞ −27
T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y,
(2)
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi –27 < –m < 5 ⇔ –5 < m < 27.
i
ể
m phân bi
ệ
t thì (C
m
) ph
ả
i có 2
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.
⇒
y′ = 0 có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2 2 2 2
3 3 0 0
⇔ − = ⇔ = ⇒ ≠
x m x m m
V
ậ
ệ
t
⇔
y
CĐ
= 0 ho
ặ
c y
CT
= 0
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ta có
3
3
( ) 0 2 2 0 0
( ) 0 2 2 0 0; 1
− = ⇔ + = ⇔ =
= ⇔ − + = ⇔ = = ±
y m m m m
y m m m m m
Đố
i chi
ế
u v
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại duy nhất một điểm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9mx. Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số đã cho tại
a) 1 điểm.
b) 3 điểm phân biệt.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2, có đồ thị là (C).
Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ góc là k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
phân biệt.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
– 3x – 2, có đồ thị là (C).
Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ x
A
= 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k. Xác định k
để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = –x
3
+ 3x
2
+ 1, có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = m(x – 1) + 3. Tìm m để
(C) và (d) cắt nhau tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 1 điểm.
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4.
+ + <
x x x
Bài 8:
[ĐVH].
Tìm m
để
các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
3
2
= + +
y x mx
có đồ thị (C
m
)
Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Đ/s:
3
> −
m
Bài 10:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
2 3( 1) 6 2
= − + + −
y x m x mx có
đồ
th
ị
(C
m
)
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
3 2
= − +
y x m x m
có
đồ
th
ị
(C
m
).
Tìm m
để
đồ
th
ị
(C
m
) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i
):
(2 1) 4 1
= − − −
y m x m cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
Đ/s:
1 5
;
2 8
= = −
m m
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Loại 1: Các bài toán về hoành độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 2
= + − − +
y x m x mx
và đường thẳng
: 5 1.
= −
d y x
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ
1 2 3
3 ( 1) 1
= − + − + +
y x mx m x m và đường thẳng
: 2 1.
= − −
d y x m
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Ví dụ 4*: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
= − + − − −
y x mx m x m
Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)
Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4.
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho
2 2 2
8
A B C
x x x
+ + =
.
Đ
/s.
1
m
=
. G
ợ
i ý.
Đ
oán nghi
ệ
m
x m
=
Bài 3:
[ĐVH].
Cho hàm s
x x x
th
ỏ
a mãn
2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + ≤
Bài 4:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
y = x
3
– 6x
2
+ mx.
04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Copyright: Tài liệu đại học ©