SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: VAI TRÒ CỦA ĐƯỜNG CAO TRONG VIỆC
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
<Phần: Quan hệ vuông góc>
Họ và tên tác giả:Lê Đình Thịnh
Chức vụ :Giáo viên
Đơn vị: Trường THPT Nông cống II
SKKN thuộc môn:ToánNăm học 2012-2013
A.MỞ ĐẦU
1
I.Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất ngại học môn hình
học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu đường lối, thiếu
phương pháp giải quyết. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học
này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến
thức. Qua một thời gian giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số
kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất
lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên.
Dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc, tính thể tích khối đa diện trong những
năm gần đây xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học, cao đẳng. Đây là một dạng
khó đối với học sinh mặc dù bài toán về hình học không gian không thuộc vào
câu khó trong đề thi.
Việc tính khoảng cách, tính góc, tính thể tích khối đa diện có nhiều
phương pháp giải, một phương pháp điển hình là là sử dụng công thức tính.

Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P)
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q)
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H ⇒ MH ⊥ mp(P) ⇒ d(M;(P)) = MH
2. Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau
TH1: a và b vuông góc với nhau
Chọn điểm M nằm trên a, kẻ MH ⊥ b ⇒ mp(a,H) ⊥ b
Kẻ HK ⊥ a ⇒ d(a,b) = HK
TH2: a và b bất kỳ
+ Dựng mp(α) chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,(α)) = d(M,(α)), trong đó
M là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a.
3. Tỉ lệ khoảng cách:
Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P). Gọi I = AH ∩ (P) khi đó ta có:
=
4. Cách xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình chóp:
+ Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu
của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mặt
phẳng đó và đáy.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy
một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu
của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
(trường hợp hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy nằm trong đa giác đáy)
II.Một số dạng toán cụ thể:
1. Dạng toán mà đề bài đã cho sẵn đường cao.
a. Cơ sở lý thuyết.
Một số bài toán về tính thể tích khối đa diện đã có sẵn đường cao, tuy nhiên
cần xác định rõ đường cao đó. Một số dấu hiệu đề bài cho đường cao thường gặp:
- Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. Có thể cho vuông góc

IK BC⊥
(K BC)∈
đồng thời
BC SI⊥
(vì
( )
SI ABCD⊥
)
bên góc giữa (SBC) và (ABCD) là
·
0
SKI 60 .=
2
ABCD
(AB CD).AD (2a a).2a
S 3a .
2 2
+ +
= = =
Ta có,
ABI CDI
1 1
S S .CD.ID AB.AI
2 2
+ = + =
( ) ( )
2
1 AD 1 2a 3a
. . AB CD . . 2a a
2 2 2 2 2

Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh
AB 3a, BC 2a
= =
.
Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm
của tam giác BCD, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0.
Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Giải:
Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD
( )
SH ABCD⇒ ⊥
.Kẻ HM//AB,
M BC∈
5
S
A
B
K
C
I
D
Vì
( )
BC SH
BC SMH
BC HM
⊥

HK SM,K SM⊥ ∈
.Vì
( )
BC SMH⊥ ⇒
HKBC ⊥
( )
HK SBC⇒ ⊥ ⇒
( )
( )
,d H SBC HK=
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 4
3HK HM HS a
= + =
3
2
a
HK⇒ =
Vì
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
3 3
3 , 3
, 2

AM
= ⇒ d(B;(SCD)) =
= = = = ⇒ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = .
2. Dạng toán cần phải dựng đường cao.
a. Cơ sở lý thuyết.
Trong nhiều bài toán tính thể tích khối đa diện đường cao không dễ thấy
đòi hỏi cần kẻ thêm hình để xác định đường cao. Điểm mấu chốt trong việc
dựng đường cao là việc xác định chân đường cao, có một số hướng như sau:
Với hình chóp:
- Hình chóp có 3 cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau thì chân đường cao là chân đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.
- Hình chóp có 3 mặt bên cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường
cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy (nếu nằm ở miền trong của đáy ).
- Hình chóp có đỉnh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với đáy thì chân
đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó và đáy.
Với hình lăng trụ:
Với hình lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một
hình chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên.
b. Ví dụ minh họa.
- Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
Giải:
7
S.ABCD là hình chóp đều nên
SO ⊥ (ABCD). Qua O kẻ OI
vuông góc với AB
⇒ (SOI) ⊥ (SAB). Kẻ OH ⊥
SI ⇒ OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O;
(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a, OI = .

⇒ HK ⊥ (SAC)
⇒ d(H;(SAC)) = HK
Ta có ∆CHI∽∆CAB(g-g)
⇒ HI = =
= + = ⇒ HK =
⇒ d(H;(SAC)) =
Mà = = 4 ⇒ d(B;(SAC)) =
Ví dụ 6.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a
=
,
3AC a=
, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng
tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng
(A’BC).
Giải:
Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có:
·
0
2 2
2 , ; ' 60
3 3
a
BC a AG AI A AG= = = =
0
2 3

(2)
'
BC GI
BC GH
BC A G
⊥

⇒ ⊥

⊥

. Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC)
Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’. Từ đó:
9
N
I
C'
B'
M
A
B
C
A'
G
K
H
[ ', ( ' )] [ , ( ' )] 3 [ , ( ' )] 3d B A BC d A A BC d G A BC GH= = =
2 2 2 2
2 3 3
3. .

⇒ d(B;(SAH)) = BK
Mà = + =
⇒ d(B;(SAH)) = BK =
= = ⇒ d(E;(SAH)) =
Ví dụ 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM.
Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng DM và SC.
10
Giải:
Ta có: ∆CDN = ∆DAM ⇒ CN ⊥ DM; mặt khác SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ (SCN)
⇒ DM ⊥ SC.
Kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM
⇒ d(HK, DM) = HK
Ta có S = S - S - S =
Mặt khác S = CH.DM
⇒ CH = =
= + =
⇒ HK = ⇒ d(DM, SC) =
Ví dụ 9 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và SN theo a.
Giải:
Vì (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC)
AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒
·
SBA

2
2
2
3 28 7
2 6 36 3
a a a a
CH CH
 
 
= + = ⇒ =
 ÷
 ÷
 
 
2 7
2
3
a
SC HC= =
; SH = CH.tan60
0
=
21
3
a
2 3
.
1 7 7
3 4 12
S ABC

   
( )
42 3 3 42 42
,
12 2 2 12 8
a a a
HI d BC SA HI⇒ = ⇒ = = =
Ví dụ 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB=BC=a, cạnh bên A’A=a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng B’C và AM theo a.
Giải:
Ta có: AM = AB + BM =
⇒ AM =
Qua C kẻ đường thẳng ∆
song song với AM, gọi (α)
là mặt phẳng chứa B’C và ∆
⇒ AM∥(α) ⇒ d(AM,B’C)
= d(M,(α)) = d(B,(α))
Kẻ BI ⊥ ∆ tại I ⇒ (B’BI) ⊥
(α), kẻ BK ⊥ B’I tại K ⇒
BK ⊥ (α) ⇒ d(B,(α)) = BK
Ta có:
·
·
sin = sinBCI BMA
= = ⇒ BI = BC.
·
sin BCI
=
⇒ = + = ⇒ HK =

1
AC'
3
=

( )
a 3
2
3
=
.
2 2
a 6
1 1
OH OA' OA AA'
3 3 6
= = + =
Ta có,
2 2
2
2 2 2
a 3 a 6
a
AH OH OA .
3 6 2
   
+ = + = =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

=
; xét
C'AH∆
có JK // A’H áp dụng định lý Talets ta có
CK C'J 1
CH AC' 4
= =
. Mặt khác theo (2)
1
AH AC'
3
=
nên
2
HC' AC'
3
=
vậy
a 3
1
CK AC' .
6 6
= =
( )
a 3 a 3 a 3
HK AC' AH C'K a 3 .
3 6 2
 
= − + = − + =
 ÷

 ÷
 

2
a 3
.
8
=

Thể tích khối chóp O.MNP là
2
3
MNP
a 3 a 3
1 1 a
V HK.S .
3 3 2 8 16
= = =
Nhận xét: Việc xác định và tính độ đường cao từ O xuống (MNP) khá phức tạp.
Mặt khác do (A’BD) // (MNP) nên nghĩ đến hướng xét khoảng cách từ một điểm
khác trên (A’BD đến (MNP). Trong quá trình phân tích ta chọn được điểm H.
Ví dụ 13.
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O,c¹nh a,gãc
·
60
o
BAD =
,
14
J

CH =
2
2 2 2
24 2 6
9 3
a a
SH SC CH SH= = =
Diện tích hình thoi ABCD:
2
1 3
.
2 2
ABCD
a
S AC BD= =
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
2 3
1 1 2 6 3 2
. . .
3 3 3 2 3
ABCD
a a a
V SH S= = =
Kẻ
,HK SD K SD
(1) Ta có
( )
(2)
CD SH
CD SDH CD HK

OC a
d O SCD HK
d H SCD HC
= = = =
Vậy ,
( )
6
;( )
6
a
d O SCD =
III.BI TP NGH
Bi tp 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v
D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) v (SAD) cựng vuụng gúc vi
15
mặt đáy. Gọi G là trọng tâm ∆BCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a.
Bài tập 2.Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh
huyền bằng 3a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc
mp(ABC), SB= . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến
mp(SAC) theo a.
Bài tập 3.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a,
·
ABC
=30 và thể
tích lăng trụ bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a.
Bài tập 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB
đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.
Bài tập 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

BC AA ' 2a 3;= =
tính
thể tích khối lăng trụ trên theo a.
Bài tập 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B và
B’; hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên
tạo với đáy góc 30
0
, biết rằng
AC AB 3 a 3.= =
Tính thể tích khối chóp C’ABC
theo a.
C- KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ ĐỀ XUẤT KIẾN NGHỊ
1-Kết quả đạt được
16
Với cách định hướng xác định các yếu tố quan trọng của bài toán hình học
không gian, chủ yếu là đường cao và chân đường cao của hình đó, tôi đã tiến
hành dạy ở lớp 11A6 năm học trước và l2A6 năm nay. Qua khảo sát thực tế học
tập, tôi thấy các em rất tự tin, không còn tâm lí e ngại khi gặp các bài toán về
hình học không gian như các em học sinh khóa trước, tinh thần, thái độ học tập
của các em tốt hơn.
2- Kết luận
Trong việc tính khoảng cách, tính góc, tính thể tích khối đa diện thì đường
cao, chân đường cao là các yếu tố rất quan trọng.Chú trọng vấn đề này, ta có thể
giúp học sinh phân tích, vẽ hình, sử dụng triệt để giả thiết bài toán, giúp định
hướng giải quyết bài toán tốt hơn.Tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra
những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo
gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong
muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không
gian nói riêng.
Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việc

Địên thoại: 0988625156
II. TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên SKKN:Vai trò của đường cao trong việc giải toán hình học không gian.
III. NỘI DUNG CAM KẾT
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã áp dụng thành công trong
giảng dạy tại trường THPT Nông Cống 2.Trong trường hợp có xảy ra tranh chấp
về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm
này mà tôi là người vi phạm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn
vị, lãnh đạo sở GD&ĐT. Sáng kiến kinh nghiệm này tôi cũng đã phổ biến cho
đồng nghiệp nên nếu có bạn đọc học tập, nghiên cứu, sử dụng, áp dụng sáng
kiến này tôi cũng không khiếu nại hay đòi hỏi quyền sở hữu.
Người viết
Lê Đình Thịnh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19
[ ]
1
. Giải toán hình học 11:Trần Thành Minh, (2006), NXBGD.
[ ]
2
. Phương pháp giải toán hình không gian 11:Nguyễn Văn Dự, Trần Quang
Nghĩa, Nguyễn Anh Trường, (2002), NXB Đà Nẵng.
[ ]
3
. Phân loại và phương pháp giải toán hình không gian lớp 11:Trần Văn
Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Văn Đức , (2001), NXB ĐHQGTPHCM.
[4] .Các bài giảng luyện thi môn toán : Phan Đức Chính, (1999) NXBGD.
[5]. Hình học 11 nâng cao, NxbGD-2010.
[6]. Bài tập Hình học 11 nâng cao, NxbGD-2010.
[7].WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra thử của các trường THPT