1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
ĐINH TIẾN HOÀNG
BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012
,
0, , trong đó K là tập
cho trước, : × là hàm số thực thỏa mãn (, ) 0. Đây là dạng
suy rộng trực tiếp của bài toán cổ điển trong lý thuyết tối ưu véctơ.
Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị
từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữa hạn chiều khác mà thứ
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên tự được đưa ra bởi nón Orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số
chiều vô hạn với nón bất kì. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và
phát triển bởi bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định
nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ
đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị
sang đa trị. Chính vì lẽ đó, bài toán điểm cân bằng được nhiều nhà nghiên cứu
đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây. Với những lý do trên mà chúng
tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân bằng tổng
quát loại II và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đối với ánh xạ đa trị, bài toán điểm cân bằng đã được xây dựng một
cách tổng quát do Blum và Oettli đặt ra. Có rất nhiều sự mở rộng của bài toán
cân bằng đối với ánh xạ đa trị, tuy nhiên kết quả đạt được của nhiều tác giả
cho đến nay vẫn chưa thực sự tổng quát cho các bài toán liên quan đến ánh xạ
đa trị như trường hợp của đơn trị.
Để tìm nghiệm của bài toán tối ưu, thông thường người ta thường đưa ra
các thuật toán về quy hoạch như: quy hoạch lồi, quy hoạch Lipshitz hay
phương pháp Newton xây dựng dãy hội tụ về nghiệm. Chính vì vậy sự tồn tại
Chương 3: Ứng dụng của bài toán tựa cân bằng vào trong bài toán tựa cân
bằng vô hướng và bài toán tối ưu loại II.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của
tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm số, về
toán tử hay về ánh xạ không còn thích hợp nữa. Việc mở rộng ánh xạ đa trị là
tất yếu do nhu cầu thực tại của các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên và cuộc sống.
Chính vì vậy mà môn giải tích đa trị được hình thành và trở thành công cụ đắc
lực để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Ta dành trọn cả
chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ bản của môn giải thích đa trị này.
Các kiến thức này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán ở chương
sau.
1.1. Một số không gian thƣờng dùng
1.1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn là cặp
,
.
, trong đó X
=
.
.
1.1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian tuyến tính trên trường =
,
. Hàm
số
. , .
: × được gọi là tích vô hướng trên X nếu:
(i)
,
=
,
,
+
,
, , , ;
(iii)
,
=
,
, ;
(iv)
,
0;
,
= 0 = 0.
Không gian X được trang bị tích vô hướng gọi là khôn gian tiền Hilbert.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.1.3. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phƣơng Haussdorff
Định nghĩa 1.4. Cho tập hợp X, gọi là các tập con của X. Khi đó X được
gọi là không gian tôpô nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) , ;
(ii) Với
, thì
;
(iii) Với
1
,
2
thì
1
2
.
Một không gian tuyến tính thực hay phức có thể đồng thời trang bị một
cấu trúc tôpô và một cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử và phép nhân một
số với một phần tử). Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính, vừa tôpô.
Vấn đề đáng chú ý là hai cấu trúc đó có quan hệ với nhau như thế nào để
không gian nảy sinh ra nhiều tính chất mới. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.5. Ta nói rằng một tôpô phù hợp với cấu trúc đại số trong
không gian X, nếu các phép tính đại số trong X liên tục trong tôpô , tức là
nếu:
thì
.
Không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô tương thích với cấu trúc đại
số được gọi là không gian tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.6. Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không gian lồi địa
phương nếu mọi phần tử của X có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi, hay
tương đương phần tử 0 có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi.
Định nghĩa 1.7. Không gian tôpô
,
được gọi là không gian Haussdorff
nếu với mỗi , , bao giờ cũng tồn tại lân cận
của và
của
thỏa mãn
= .
1.2. Nón và các khái niệm liên quan
Trong không gian các số thực, hai phần tử bất kì đều so sánh được với
nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này không có được
trong các không gian khác. Muốn mở rộng các bài toán nhận giá trị thực sang
các bài toán nhận các giá trị vectơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm
(iii) Nón C gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
(iv) Nón C gọi là nón đúng nếu + \() .
Dễ thấy rằng nếu C là nón đóng thì C là nón đúng.
Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ như sau: , , nếu
. Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản .
Kí hiệu nếu \
và nếu .
Ta thấy quan hệ trên là một quan hệ thức tự, nếu C là nón lồi thì quan hệ
thứ tự trên là tuyến tính và là quan hệ thứ tự từng phần trên Y. Hơn nữa, nếu C
là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối xứng, nghĩa là nếu và
thì = .
Dưới đây là một số ví dụ về nón.
Ví dụ 1.2.1. 1. Tập {0} và Y là nón trong không gian Y. Ta gọi chúng là các
nón tầm thường.
2. Cho
là không gian Euclid n chiều, tập
=
+
=
=
1
0
thì C là nón lồi, đóng nhưng
không nhọn. Vì
=
=
0,
2
, ,
0
.
3. Cho là không gian dãy các dãy số thực. =
0,1
,
1
0
< ∞, là độ đo ơ.
Tôpô trên không gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các tập có
dạng
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0,1
,
Định nghĩa 1.2.3. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y. được
gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu =
nếu =
, 0
.
Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi , 0 đều
tồn tại duy nhất , = , thì B được gọi là cơ sở của nón C. Hơn nữa,
nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập = () gọi là nón đa diện.
Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính nghĩa là ta xây dựng
trên đó một quan hệ thứ tự và từ quan hệ đó ta có thể tìm được các điểm hữu
hiệu của tập hợp. Ta có khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.4. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh
bởi nón lồi C và A là tập con của Y. Ta nói rằng:
(i) Điểm là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu
, y .
Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là
IMin(A\C) hay IMinA.
(ii) Điểm là điểm hữu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập A đối với nón
C nếu ể \(). Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối
với nón C được kí hiệu là PMin(A\C) hoặc đơn giản hơn MinA.
(iii) Điểm là điểm hữu hiệu yếu (khi và ) của tập A
Từ định nghĩa trên ta luôn có .
1.3. Ánh xạ đa trị
1.3.1. Các định nghĩa
Cho X là tập hợp bất kì. Ký hiệu 2
là tập gồm các tập con của X.
Định nghĩa 1.3.1.1. Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2
được gọi là ánh xạ đa trị từ
X vào Y, kí hiệu : 2
(Đôi khi người ta sử dụng kí hiệu : 2
vì
vậy để thống nhất trong luận văn này sử dụng kí hiệu đã trình bày trước).
Như vậy mỗi ,
là một tập con của Y, không loại trừ khả năng
với một số phần tử x nào đó F(x) là tập rỗng. Nếu thì ta kí hiệu
=
()
;
=
()
.
Ví dụ 1.3.1.2. Cho a, b là các số thực, : 2
được xác định bởi
=
;
, ế 0;
, ế = 0;
khi đó F là ánh xạ đa trị.
Cho : 2
} mở thì F được gọi là có nghịch ảnh
mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị, ta cũng có các phép toán sau đối với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.1.3. Cho X, Y, Z, W là các tập hợp bất kì.
1
,
2
: 2
,
: 2
, : 2
là các ánh xạ đa trị.
a) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ
1
,
2
và ánh xạ bù của F là các ánh xạ đa
trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi
1
2
;
= \
.
Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ : 2
cho bởi công thức
=
1
+
2
=
1
+
2
;
1
=
1
.
Trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính, ta có phép toán sau:
0
.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi
đóng của F là:
=
,
,
1
= {,
}
mở trong X.
Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập mở
V bất kì và điểm x có thể xảy ra ba trường hợp, hoặc là
hoặc
, hoặc
= . Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị
liên tục sang ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn
toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Theo
Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này được B.Bouligand và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên c) F được gọi là liên tục tại nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và nửa
liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm
.
Ví dụ. Cho ánh xạ =
1
, ế > 1;
2, ; 2
, ế = 1;
1
, ế < 1.
Ta xét tính liên tục của hàm số tại = 1. Gọi V là tập mở bất kì trong R.
Giả sử
1
=
2; 2
ịnh nghĩa 1.3.2.2. Cho X, Y là các không gian tôpô, : 2
là ánh xạ đa
trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong × .
Nếu
là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact.
Từ định nghĩa trên ta thấy F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kì dãy
, {
},
,
,
,
, trong đó tập
các chỉ số.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở thì ánh xạ coF cũng có nghịch ảnh mở.
Chứng minh: b) Giả sử và
1
.
Khi đó
1
, = 1,2, , . Từ
1
, = 1,2, , là tập mở, ta
suy ra tồn tại lân cận U(x) của x sao cho
1
, = 1,2, , .
Điều này dẫn đến
1
. Vậy
1
là tập mở.
Mệnh đề 1.3.2.5. ([6]) Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên
tục dưới.
Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của mệnh đề 1.3.2.5 không đúng.
Ví dụ 1.3.2.6. Cho : 2
xác ịnh bởi
=
;
. Ta có
}.
Đặt = inf
:
. Ta sẽ chứng minh
;
1
.
Thật vậy, lấy bất kì
,
dẫn đến < . Theo cách xác định của
b, ta suy ra tồn tại những điểm sao cho < . Vì vậy
;
tại nếu với bất kì > 0 đều tồn tại lân cận sao cho
+
hoặc
. Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh
xạ đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi địa phương với nón C.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. D, K là tập
con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Ta
b) F là C - liên tục tại
0
nếu F vừa là C - liên tục trên vừa là C – liên tục
dưới tại
0
. F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục trên D nếu
nó là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục tại mọi x thuộc D;
c) Trường hợp = {0} ta nói liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói {0} -
liên tục trên ({0} - liên tục dưới).
Trong các kết quả của chương sau, ta chỉ sử dụng khái niệm C - liên tục
trên (dưới) với C là một ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một
nón).
Định nghĩa 1.3.2.8. Cho : × × 2
, : × 2
là ánh xạ nón.
F gọi là một C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại
, ,
nếu
với bất kì lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của
, ,
sao cho:
.
Các khái niệm C - liên tục tại một điểm hay trên miền D cũng được định
nghĩa tương tự như trường hợp C là nón hằng.
Nhận xét: Nếu F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C-liên tục trên và C - liên tục
dưới là một và lúc đó F được gọi là C - liên tục.
Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C-liên tụctrên (dưới)
Mệnh đề 1.3.2.9. Cho : × × 2
, : × 2
là các ánh xạ đa
trị.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a) Nếu C là liên tục trên với giá trị là nón lồi khác rỗng, F là C-liên tục trên
tại
0
,
0
,
0
ớ
0
,
,
,
+
,
,
0
kéo theo
0
0
,
,
,
+
,
,
0
é
0
0
, thì
với bất kì dãy
,
,
0
,
0
,
0
,
0
0
,
0
,
,
0
0
,
0
à
0
+
0
+
0
,
0
,
0
0
,
0
,
0
+
0
,
0
, tồn tại dãy
,
,
,
0
.
Chứng minh: a) Giả sử F là C-liên tục trên tại
0
,
0
,
0
và
,
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
+
0
,
0
. Khi đó tồn tại lân cận lồi đóng
0
của gốc
trong Y sao cho
0
+
0
0
,
0
0
+
0
,
0
+
0
2
= .
Từ
0
ta có với lân cận V bất kì của 0 trong Y ta tìm được
1
0 sao
cho
0
2
,
0
,
0
,
0
+
0
,
0
+
0
4
,
, ,
.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
và
,
,
+
,
0
,
0
,
0
+
0
,
0
+
4
,
3
. Vì vậy,
0
0
,
0
,
0
+
0
,
0
.
Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với bất kì dãy
,
,
0
kéo theo
0
0
,
0
,
0
+
0
,
0
. Ta giả sử F không là C-liên tục trên tại
,
,
0
,
0
,
0
+
+
0
,
0
.
Chọn
là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử,
0
, do
,
,
+
, tồn tại
0
0
sao cho
0
,
0
. Điều này dẫn đến
0
+
0
,
0
,
0
+ +
0
,
0
,
0
,
0
0
,
0
,
0
. Khi đó với bất kì lân cận V của
gốc trong Y tồn tại lân cận U của
0
,
0
,
0
sao cho
0
0
,
0
,
0
, ta suy ra tồn tại
0
0 sao cho
,
,
,
0
. Điều này dẫn đến
0
,
0
0
,
0
,
0
nên ta có thể viết
0
=
+
, trong đó,
,
,
là tập compact, ta có thể chọn
,
0. Điều này kéo
theo
=
+
0
0
0
0
,
0
,
0
,
0
0
,
0
,
0
tồn tại
,
là tập compact và với bất kì dãy
,
,
0
,
0
,
,
,
và có dãy con
sao cho
0
0
,
0
. Ta giả sử
F không là C - liên tục dưới tại
0
0
,
0
,
0
,
,
+
0
,
0
.
Chọn
0
,
0
,
0
là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
0
0
,
0
,
0
, do đó
0
0
. Từ đây suy ra tồn tại dãy
sao cho
,
,
và có dãy con
thỏa mãn
0
+
2
,
0
+
2
và
0
+
2
0
,
0
,
1
.
0
,
0
,
0
và ta có mâu thuẫn.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cho , : 2
là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón. Sau
đây ta trình bày khái niệm C-hemi liên tục trên (dưới).
Định nghĩa 1.3.2.10. a) F được gọi là C-hemi liên tục trên nếu , thoả
mãn
+
1
+
+
1
,
0; 1
kéo theo
;
c) F được gọi là C-hemi liên tục trên (dưới) nếu
,
ánh xạ
:
0; 1
2
=
+
1
và
=
+
1
,
0; 1
.
Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0. Với V
là lân cận bất kì của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong [0;1] sao cho
+
+
1
,
0; 1
thì
+
+
= . Điều này dẫn đến
+
2
,
=
+
,
trong đó
,
. Ta có thể chọn
cũng hội tụ đến . Mặt khác, C(y) đóng nên (). Ta suy ra
hay
. Nếu C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng
có
. Vậy F là C -hemi liên tục trên.
1.3.3. Tính lồi của ánh xạ đa trị
Trong mục này chúng ta chính bày tính lồi, lõm, tựa giống như lồi của
+
1
2
.
f được gọi là C – lõm nếu –f là C – lồi trên D. Trong trường hợp = , =
+
, định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f lồi (lõm) theo nghĩa thông
thường.
Định nghĩa 1.3.3.1. Cho ánh xạ : 2
, là nón lồi trong .
a)
F
ược gọi là C – lồi trên ( hoặc C – lồi dưới) nếu
+
1
,
với mọi , và [0; 1].
b)
F
ược gọi là C – lõm trên ( hoặc C – lõm dưới) nếu
+
1
+
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên với mọi , và [0; 1].
Chú ý. a) Nếu =
0
thì {0} – lồi trên và {0} – lõm trên của F đồng nhất
với nhau và F được gọi là dưới tuyến tính.
b) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì C – lồi trên và C – lồi dưới (C –
lõm trên và C – lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C – lồi ( hoặc C – lõm).
Trong thực tế không phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là lồi hoặc
lõm. Ngoài các khái niệm trên ta còn sử dụng các khái niệm sau đây:
Định nghĩa 1.3.3.2. Cho F là ánh xạ đa trị từ vào 2
, là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C.
(i) F được gọi là C – tựa giống như lồi trên trên D nếu với bất kì
1
,
2
,
0; 1
ta luôn có:
+ .
(ii) F được gọi là C – tựa giống như lồi dưới trên D nếu với bất kì
1
,
2
,
0; 1
ta luôn có
1
+
1
2
1
;
hoặc
2
, ,
dẫn ến
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
,
2
, ,
=1
.
ịnh nghĩa 1.3.4.2. Cho : × × 2
2
, ,
sao cho 0
, ,
,
,
.
Định nghĩa 1.3.4.3. Cho : × × 2
, : × 2
là các ánh xạ
đa trị. F được gọi là Q – KKM tổng quát nếu với bất kì tập hữu hạn
1
,
2
, ,
2
, ,
sao cho
0
, ,
,
,
.
Định nghĩa 1.3.4.4. Cho R là quan hệ hai ngôi trên × . Chúng ta nói rằng,
R là đóng nếu với bất kì dãy suy rộng
,
,
,
2
, ,
có
1
,
2
, ,
sao cho
, ,
xảy ra
,
.
1.4. Điểm bất động của ánh xạ đa trị.
Năm 1912, Brouwer đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh
rỗng trong X, ánh xạ : 2
.
F gọi là compact nếu imF được chứa trong một tập compact của Y.
F được gọi là acyclic nếu nó là nửa liên tục trên và có giá trị compact acyclic
khác rỗng, nghĩa là F nửa liên tục trên và mỗi ,
là tập compact
acyclic khác rỗng.
Một không gian tôpô được gọi là acyclic nếu tất cả các nhóm đồng điều
Cech rút gọn của nó trên trường hữu tỉ đều triệt tiêu. Vì vậy các không gian co
rút được đều là acyclic, các tập lồi, các tập hình sao là các tập acyclic.
K được gọi là một tập chấp nhận được nếu mọi tập con compact B của K,
mọi lân cận V của gốc trong X đều tồn tại ánh xạ liên tục : sao cho
, và
được chứa trong không gian con hữu hạn
chiều của X. Dễ thấy rằng, một tập compact là một tập chấp nhận được.
Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động của KyFan.
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
.
Định lý sau là một dạng khác của định lý Fan – Browder.
Định lý 1.4.4. Cho X là một không gian véctơ tôpô, là một tập con lồi,
khác rỗng, compact. : 2
là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
a) ,
à
à ậ ồ;
b) ,
1
là tập mở trong K;
Khi đó tồn tại điểm
= .
Một ánh xạ : 2
Định nghĩa 1.4.5. Cho X, Z là các không gian tôpô , , : × ×
2
, : × 2
là các ánh xạ đa trị. F được gọi là Q – KKM nếu
với bất kì tập hữu hạn
1
,
2
, ,
và
1
,
2
, ,
tồn tại chỉ
số
1, 2, . . . ,
sao cho 0
tồn tại tập
hữu hạn
1
,
2
, ,
sao cho với bất kì
1
,
2
, ,
tồn tại
,
là tập compact thì
.
Copyright: Tài liệu đại học ©