ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỒN KIÊN TRUNG
BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT
LOẠI II
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN, 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỒN KIÊN TRUNG
BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT LOẠI II
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. NGUYỄN XN TẤN
Thái Ngun - Năm 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cam đoan
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả nêu trong
luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình
nào khác.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Tác giả
Đồn Kiên Trung
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn
Xn Tấn. Trước tiên, Tơi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Nguyễn Xn Tấn,
người đã đặt bài tốn và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên

2.2.2 Một số bài tốn tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . 29
KẾT LUẬN 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO 42
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn
Lý thuyết cân bằng được hình thành từ những ý tưởng trong kinh tế,
lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ
20. Sau đó có rất nhiều cơng trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các nghành khoa học kỹ thuật cũng như thực
tế như: Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi
dựa trên các khái niệm và kết quả tốn học, Koopmam (1947) đã đưa ra lý
thuyết lưu thơng hàng hóa. Lý thuyết cân bằng là bộ phận quan trọng của
lý thuyết tối ưu. Sau những cơng trình của H.W.Kuhn và A.W.Tucker về
các điều kiện cần và đủ cho một véc tơ thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm
hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực sự là một nghành tốn học độc lập và có nhiều
ứng dụng trong thực tế. Các bài tốn cơ bản trong lý thuyết tối ưu véc tơ
bao gồm: Bài tốn tối ưu, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn bù, bài tốn
bất đẳng thức biến phân, bài tốn điểm n ngựa,
Trong kinh tế, bài tốn điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các cơng
trình của Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà tốn học sử dụng để
xây dựng những mơ hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) trong
[6] và Browder-Minty (1978) trong [4] đã phát biểu và chứng minh sự tồn
tại nghiệm của bài tốn điểm cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động.
Năm 1991, Blum và Oettli [3] đã phát biểu bài tốn cân bằng một cách tổng
qt và tìm cách liên kết bài tốn của Ky Fan và Browder-Minty với nhau
thành dạng chung cho cả hai. Bài tốn được phát biểu ngắn gọn là: Tìm
¯x ∈ D sao cho f(¯x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ D, trong đó D là tập cho trước của
khơng gian, f : D × D → R là hàm số thực thỏa mãn f(x, x) ≥ 0. Đây là
1

2.2.6 chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài tốn bao hàm thức tựa biến phân lý
tưởng loại II. Sử dụng định lý 2.1.1 và 2.1.2 và tính chất của ánh xạ giả
đơn điệu, giả đơn điệu mạnh ta chứng minh được các bài tốn tựa cân bằng
yếu, tựa cân bằng Pareto và tựa tối ưu véc tơ đơn trị có nghiệm, điều này
thể hiện trong các hệ quả 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong thực tế, nhiều bài tốn liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của
tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm
số, về tốn tử hay về ánh xạ khơng còn phù hợp. Do đó việc mở rộng ánh
xạ đa trị là tất yếu để phù hợp với nhu cầu thực tại của các vấn đề nảy sinh
từ tự nhiên cuộc sống. Vì vậy mà mơn giải tích đa trị đã được hình thành
và trở thành cơng cụ đắc lực để nghiên cứu các bài tốn liên quan đến ánh
xạ đa trị. Chúng ta sẽ dành chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ
bản về mơn giải tích đa trị này. Các kiến thức đó rất quan trọng trong việc
nghiên cứu các bài tốn ở chương sau.
1.1 Nón và các khái niệm liên quan
Trong khơng gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với
nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này khơng có được
trong các khơng gian tơ pơ tuyến tính khác. Muốn mở rộng bài tốn nhận
giá trị thực sang bài tốn nhận giá trị véc tơ và đa trị người ta đưa vào
các khái niệm mới, đồng thời có thể xây dựng các khái niệm tương tự của
số thực, số phức trong khơng gian tơ pơ tuyến tính. Một phương pháp hữu
hiệu để xây dựng các khái niệm đó là đưa nón vào khơng gian tơ pơ tuyến
tính mà chúng ta sẽ nghiên cứu ngay sau đây.
Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là khơng gian tuyến tính và C là tập con trong
Y . C được gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0.

Orthant dương trong R
n
. Nếu lấy C = {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|
x
1
≥ 0} thì C là nón lồi, đóng nhưng khơng nhọn. Vì l(C) = {x =
(0, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
} = {0}.
iii). Cho L
p
[0, 1], 0 < p < 1 là khơng gian các hàm trên đoạn [0,1 ].
L
p
[0, 1] = {x,

1
0

Khi ta có một nón trên khơng gian tuyến tính nghĩa là ta xây dựng trên
đó một quan hệ thứ tự và từ quan hệ thứ tự đó ta có thể định nghĩa được
các điểm hữu hiệu của tập hợp như sau:
Định nghĩa 1.1.4. Cho Y là khơng gian tơpơ tuyến tính với thứ tự được
sinh bởi nón lồi C và A là tập con của Y . Ta nói rằng
i). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu
y − x ∈ C với mọi y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối
với nón C được kí hiệu là IMin(A | C).
ii). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với
nón C, nếu khơng tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C). Tập các điểm hữu
hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là P Min(A | C) hoặc
đơn giản là Min(A | C).
iii). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (Khi intC = ∅ và C = Y ) của A đối
với nón C, nếu x ∈ Min(A | ({0} ∪ intC)). Tức là x là điểm hữu hiệu
Pareto đối với nón C
0
= {0} ∪ intC. Tập các điểm hữu hiệu yếu của A
đối với nón C kí hiệu là W Min(A | C) hoặc WMinA.
iv). Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu
tồn tại nón lồi

C khác tồn khơng gian và chứa C \ l(C) trong phần
trong của nó để x ∈ PMin(A/

C).
Tập các điểm Hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu là
P rMin(A | C).
Từ định nghĩa trên ta ln có IMinA ⊂ P rMinA ⊆ MinA ⊆ W MinA.
1.2 Ánh xạ đa trị
Cho X là một tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2

Khi đó F là ánh xạ đa trị.
Cho F : X → 2
Y
, ánh xạ đa trị F
−1
: Y → 2
X
xác định bởi
F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F(x)},
được gọi là ánh xạ ngược của F. Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ
đa trị ln tồn tại ánh xạ ngược. Nếu tập F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}
mở, thì F được gọi là có nghịch ảnh mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị ta cũng có phép tốn sau đối với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.2.3. Cho X, Y, Z, W, là các tập hợp bất kỳ. F
1
, F
2
: X →
2
Y
, F : X → 2
Y
, G : Y → 2
Y
là các ánh xạ đa trị.
a). Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F

G ◦ F (x) = ∪
x∈X
G(F (x)).
Tích decarde của F : X → Y và G : W → Z là ánh xạ đa trị G × F :
X × W → 2
Y ×Z
cho bởi cơng thức:
(G × F )(x, y) = G(x) × F(y).
b). Khi Y là khơng gian tơpơ tuyến tính. Tổng đại số của hai ánh xạ F
1
, F
2
và phép nhân của một số với ánh xạ F
1
là các ánh xạ đa trị từ X vào
Y được xác định bởi:
(F
1
+ F
2
)(x, y) = F
1
(x) + F
2
(x);
(λF
1
)(x) = λF
1
(x).

Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập
mở V bất kỳ và điểm x có thể xảy ra hai trường hợp, hoặc f(x) ⊆ V ,
hoặcf(x) ∩ V = ∅. Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục
sang cho ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hồn
tồn khác nhau: Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Ta
nhắc lại định nghĩa của Berge.
Định nghĩa 1.3.1. ([2]). Cho F : X → 2
Y
là ánh xạ đa trị từ khơng gian
tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y .
a). F được gọi là nửa liên tục trên tại ¯x ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ Y
thỏa mãn F (¯x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈
U.
b). F được gọi là nửa liên tục dưới tại ¯x ∈ domF nếu với mọi V mở,
F (¯x)∩V = ∅, đều tồn tại tập mở U ⊃ ¯x sao cho F (x)∩V = ∅, ∀x ∈ U.
c). F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và
nửa liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục
tại mọi điểm x ∈ X.
Ví dụ 1.3.2. Cho ánh xạ
f =









{1}, nếu x > 1;

α
) thì y ∈ F (x). Nếu F (x) là tập
đóng với mọi x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa
liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.3.4. ([16]). Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa
liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu F là ánh
xạ đóng và Y compact, thì F là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.3.5. a). Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. F là nửa liên tục
dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳ dãy
x
β
∈ D, x
β
→ x tồn tại dãy {y
β
}
β∈Λ
, y
β
∈ F (x
β
) sao cho y
β
→ y trong
đó Λ là tập các chỉ số.

(y
i
), i = 1, , n là tập mở, ta suy ra tồn tại lân cận U(x) của x sao
cho U(x) ⊆ F
−1
(y
i
) với mọi i = 1, , n. Điều này dẫn đến y
i
∈ F (z) với
z ∈ U(x) và mọi i = 1, , n. Do đó y =

n
i=1
α
i
y
i
∈ (coF )(z) với z ∈ U(x)
do đó U(x) ⊆ (coF )
−1
(y). Vậy (coF )
−1
(y) là tập mở.✷
Mệnh đề 1.3.6. ([12]). Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa
liên tục dưới.
Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.3.6 khơng đúng
Ví dụ 1.3.7. Cho F : R → 2
R
xác định bởi F (x) = (−∞, −x]. Ta có

(y) là tập mở. Do đó F là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Ta nhắc lại, hàm vơ hướng f : X → R gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới)
tại ¯x nếu với bất kỳ  > 0 đều tồn tại lân cận U  ¯x sao cho f(x) ≤ f(¯x)+
(hoặc f(x) ≥ f(¯x) − ). Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh
xạ đa trị trong khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương với nón C.
Cho X, Y là hai khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương, D, K là tập
con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào
Y . Ta có định nghĩa sau (xem trong [15]).
Định nghĩa 1.3.8. 1). F là C − liên tục trên(hoặc C − liên tục dưới) tại
x
0
∈ D nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U
của x
0
sao cho:
F (x) ⊂ F (x
0
) + V + C;
hoặc F (x
0
) ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ domF ;
2). F là C − liên tục tại x
0
nếu F vừa là C − liên tục trên vừa là C −
liên tục dưới tại x
0
. F là C − liên tục trên, C − liên tục dưới, hoặc
C − liên tục trên D nếu nó là C − liên tục trên, C − liên tục dưới, hoặc
C − liên tục tại mọi x thuộc D.
3). Trường hợp C = {0}, ta nói F liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói

, x
0
, z
0
) ∈ domF với F (y
0
, x
0
, z
0
) + C(y
0
, x
0
)
đóng, thì với bất kỳ dãy (y
β
, x
β
, z
β
) → (y
0
, x
0
, z
0
), t
β
∈ F (y

β
, z
β
) →
(y
0
, x
0
, z
0
), t
β
∈ F (y
β
, x
β
, z
β
)+C(y
β
, x
β
), t
β
→ t
0
kéo theo t
0
∈ F (y
0

0
, x
0
, z
0
), t
0
∈ F (y
0
, x
0
, z
0
)+C(y
0
, x
0
),
tồn tại dãy {t
β
}, t
β
∈ F (y
β
, x
β
, z
β
), sao cho có dãy con {t
β

β
, x
β
, z
β
)
→ (y
0
, x
0
, z
0
), t
0
∈ F (y
0
, x
0
, z
0
) + C(y
0
, x
0
), tồn tại dãy {t
β
}, t
β
∈
F (y

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.3.11. i). F được gọi là C − hemi liên tục trên nếu với mọi
x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅ với mọi
α ∈ (0, 1) kéo theo F (y) ∩ C(y) = ∅.
ii). F được gọi là C − hemi liên tục dưới nếu với mọi x, y ∈ D thỏa mãn
F (αx + (1 − α)y)  −intC(αx + (1 − α)y) với mọi α ∈ (0, 1) kéo theo
F (y)  −intC(y).
iii). F được gọi là hemi liên tục trên (dưới), nếu với mọi x, y ∈ D, ánh xạ
f : [0, 1] → 2
Y
định nghĩa bởi f(α) = F (αx + (1 − α)y) là nửa liên tục
trên (tương ứng, nửa liên tục dưới).
Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là C-hemi liên tục
trên và được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
Mệnh đề 1.3.12. Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng khác
rỗng. Nếu với bất kỳ x ∈ D, hoặc F (x), hoặc C(x) là tập compact, thì F là
C-hemi liên tục trên.
Chứng minh. Với x, y ∈ D cố định, định nghĩa các ánh xạ f, c : [0, 1] →
2
Y
bởi f(α) = F (αx + (1 − α)y) và c(α) = C(αx + (1 − α)y), α ∈ [0, 1].
Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0.
Với V là lân cận bất kỳ của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong đoạn
[0,1 ] sao cho:
F ((αx + (1 − α)y) ⊆ F (y) + V ;
C(αx + (1 − α)y) ⊆ C(y) + V, với mọi α ∈ U.
Do đó, nếu F ((αx+(1−α)y)∩C(αx+(1−α)y) = ∅ với mọi α ∈ (0, 1), thì
(F (y)+V )∩(C(y)+V ) = ∅. Điều này dẫn đến F(y)∩(C(y)+2V ) = ∅. Giả
sử F (y) là tập compact ta sẽ chứng minh F(y) ∩ C(y) = ∅. Thật vậy, giả sử
V

hội tụ đến
a ∈ F(y) khi β hội tụ đến 0. Vì vậy b
β
cũng hội tụ đến a. Mặt khác, C(y)
đóng nên a ∈ C(y). Ta suy ra a ∈ F(y) ∩ C(y) hay F (y) ∩ C(y) = ∅. Nếu
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng có F (y) ∩ C(y) = ∅. Vậy F là
C-hemi liên tục trên. 
1.4 Tính lồi của ánh xạ đa trị
Trong mục này chúng ta trình bày tính lồi, lõm, giống như tựa lồi của
ánh xạ đa trị. Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong
trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm
tra các định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau. Trước hết ta nhắc lại khái
niệm hàm lồi của hàm véc tơ.
Cho X, Y là hai khơng gian tơpơ tuyến tính, D ⊂ X là tập lồi và C là
nón lồi trong Y . Hàm véc tơ f : D → Y được gọi là C-lồi trên D nếu với
mọi x
1
, x
2
∈ D, α ∈ [0, 1] ta ln có
f(αx
1
+ (1 − α)x
2
) ∈ αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − C.

1
, x
2
∈
D, α ∈ [0, 1], hoặc
F (x
1
) ⊆ F (αx
1
+ (1 − α)x
2
) + C,
hoặc F (x
2
) ⊆ F (αx
1
+ (1 − α)x
2
) + C.
ii). F được gọi là C-giống như tựa lồi dưới trên D nếu với bất kỳ x
1
, x
2
∈
D, α ∈ [0, 1], hoặc
F (αx
1
+ (1 − α)x
2
) ⊆ F (x

bất động Browder. Năm 1961, Ky Fan [6] đã mở rộng bổ đề KKM cổ điển
trong khơng gian véc tơ tơpơ hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị.
Năm 1968, Browder [4] đã chứng minh kết quả của Ky Fan theo một dạng
khác đó là định lý điểm bất động và ngày nay người ta thường gọi định lý
đó là định lý điểm bất động Fan-Browder.
Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các định lý Ky Fan,
Fan-Browder, bổ đề KKM và chúng được xem như là cơng cụ hữu hiệu để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài tốn tối ưu. Trong phần này
chỉ giới thiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong khơng gian tơpơ
tuyến tính lồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở chương
sau.
Định lý 1.5.1. ([4], Browder, 1968) Cho X là một khơng gian véc tơ tơpơ,
K ⊂ X là một tập con lồi, khác rỗng, compact. F : K → 2
K
là ánh xạ đa
trị thỏa mãn các điều kiện:
a). Với mọi x ∈ K, F(x) là tập lồi;
b). Với mọi y ∈ K, F
−1
(y) là tập mở trong K.
Thì tồn tại điểm ¯x ∈ K sao cho ¯x ∈ F (¯x).
Định lý sau là một dạng khác của định lý Fan-Browder.
Định lý 1.5.2. Cho X là một khơng gian véc tơ tơpơ, K ⊂ X là một tập
con lồi, khác rỗng, compact. F : K → 2
K
là ánh xạ đa trị thỏa mãn các
điều kiện:
a). Với mọi x ∈ K, x /∈ F (x) và F (x) là tập lồi;
b). Với mọi y ∈ K, F
−1

, , t
n
} ⊂ D và x ∈ co{t
1
, , t
n
},
tồn tại chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho 0 ∈ F (y, x, t
j
) với mọi y ∈ Q(x, t
j
).
Định nghĩa 1.5.4. Cho X, Y, Z là các khơng gian tơpơ, D ⊆ X, K ⊆
Z, E ⊆ W . F : K × D × E → 2
X
, Q : D × E → 2
K
là các ánh xạ đa trị. F
được gọi là Q-KKM suy rộng nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t
1
, , t
n
} ⊂ E
tồn tại tập hữu hạn {x
1
, , x
n
} ⊆ D sao cho với bất kỳ x ∈ co{x
i
1

x∈D
F (x) = ∅.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 2
Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại
hai
Xét bài tốn tối ưu về kinh tế sau: Tập đồn kinh tế chun sản xuất
hàng tiêu dùng hoạt động theo mơ hình cơng ty mẹ, cơng ty con. Xét cơng
ty con A có tập phương án sản xuất D. Với mỗi phương án sản xuất x ∈ D,
cơng ty con A có tập chỉ đạo là S
1
(x), cơng ty mẹ có tập chỉ đạo S
2
(x).
Mục tiêu sản xuất được biểu diễn qua ánh xạ F . Trong q trình sản xuất
cơng ty con phải chịu các loại thuế Q. Mục đích của A là tìm một phương
án sản xuất ¯x của chỉ đạo S
1
(¯x) phù hợp với các tiêu chí của lãnh đạo cơng
ty mẹ S
2
(¯x) sao cho sau khi trừ các loại thuế Q sản xuất vẫn có lãi và ln
ổn định. Tức là đạt được mục tiêu đề ra. Bài tốn này thường gặp rất nhiều
trong thực tế, ta có thể biểu diễn qua mơ hình tốn học như sau:
Cho X, Y và Z là các khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương Hausdorff,
D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Giả sử S : D × K → 2
D
, T :
D × K → 2
K

II
.
Trong đó, S, T, P
1
, P
2
và Q là các ánh xạ ràng buộc, F là ánh xạ mục tiêu,
nó có thể là đẳng thức, bất đẳng thức đối với ánh xạ đơn trị hoặc hợp hay
giao của các ánh xạ đa trị, hoặc là một quan hệ trong khơng gian nao đó.
Trong chương này ta chỉ xét bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II.
Bài tốn này bao gồm các bài tốn quen biết trong lý thuyết tối ưu sau.
1). Bài tốn tựa cân bằng. Giả sử D, K, P
i
, i = 1, 2, Q xác định như trên.
Cho R
+
là tập các số thực khơng âm, hàm thực Φ : K × D × D → R
thỏa mãn Φ(y, x, x) = 0 với mọi y ∈ K, x ∈ D.
Bài tốn: Tìm ¯x ∈ D sao cho ¯x ∈ P
1
(¯x) và
φ(y, ¯x, t) ≥ 0 với mọi t ∈ P
2
(¯x), và y ∈ Q(¯x, t),
đã được nghiên cứu bởi rất nhiều tác giả, xem trong [3],[5], [10], [13] và
nó cũng mở rộng bài tốn cân bằng đã biết của Blum và Oettli trong
[3] . Nếu định nghĩa ánh xạ F bởi F (y, x, t) = φ(y, x, t) − R
+
, thì bài
tốn được đưa về: tìm ¯x ∈ D sao cho

báo khác: Tìm ¯x ∈ D sao cho ¯x ∈ P
1
(¯x) và
G(y, ¯x, t) ⊆ H(y, ¯x, ¯x) + C(y, ¯x), với mọi t ∈ P
2
(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Định nghĩa các ánh xạ M : K × D → 2
X
; F : K × D × D → 2
X
bởi
M(y, x) = {t ∈ D \ G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x)}, (y, x) ∈ K × D;
F (y, x, t) = t − M(y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D.
Khi đó bài tốn trên được đưa về (GQEP)
II
.
4). Tựa quan hệ biến phân tổng qt loại 2. Giả sử D, K, P
i
, i = 1, 2, Q xác định như trên. Đặt R(y, x, t)
là quan hệ ba ngơi giữa y ∈ K, x ∈ D, t ∈ D. Bài tốn: tìm ¯x ∈ D sao
cho ¯x ∈ P
1
(¯x) và quan hệ R(y, ¯x, t) xảy ra với mọi t ∈ P
2
(¯x) và y ∈
Q(¯x, t), đã nghiên cứu trong [12]
Nếu ta định nghĩa các ánh xạ M : K × D → 2
X
; F : K × D × D →
2