BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRƯƠNG THỊ HƯỜNG
BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
LOẠI I VÀ LOẠI II
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2012

2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRƯƠNG THỊ HƯỜNG
BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
LOẠI I VÀ LOẠI II
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
Hà Nội, 2012
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại
học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
luận văn này.

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
BẢNG KÍ HIỆU
F : X → Y ánh xạ đa trị từ Xvào Y
dom F miền định nghĩa của ánh xạ F
epi F trên đồ thị của F
Gr F đồ thị của F
R tập các số thực
R
n
không gian Euclid n - chiều
X
∗
không gian đối ngẫu của X
A ⊂ B A là tập con của B
A  B A không là tập con của B
A ∩ B A giao B
A ∪ B A hợp B
A\B hiệu của hai tập hợp A và B
A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B
clA bao đóng tôpô củaA
intA phần trong tôpô của A
(GQEP)
I
bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I
(GQEP)
II
bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa,
tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ
đa trị. Từ đó, người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ
đơn trị sang đa trị.
Đối với ánh xạ đơn trị, bài toán điểm cân bằng đã được xây dựng
một cách tổng quát do Blum và Oettli đặt ra. Có rất nhiều sự mở rộng
của bài toán cân bằng đối với hàm véctơ và ánh xạ đa trị. Tuy nhiên các
kết quả đạt được cho đến nay vẫn chưa cho ta được cái nhìn thống nhất
giữa các bài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đa trị như trường hợp của
đơn trị. Chính vì điều đó, trong những năm gần đây bài toán điểm cân
bằng đang được nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm.
Với những lý do nêu trên và sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân
Tấn, tôi đã chọn đề tài "Bài toán cân bằng tổng quát loại I và loại II"
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra các mô hình bài toán tựa cân bằng tổng quát và nghiên cứu
sự tồn tại nghiệm của chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và loại II, sự
tồn tại nghiệm của chúng và ứng dụng .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng loại I và
loại II và một số bài toán liên quan với bài toán cân bằng trong lý thuyết
7
tối ưu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán đặt ra ta sử
dụng các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và bổ đề Fan
- KKM.
6. Những đóng góp mới của đề tài

n
, có thể xác định
khoảng cách giữa hai điểm x = (x
0
, , x
n
) và y = (y
0
, , y
n
) là
d (x, y) =




n

i=1
(x
i
− y
i
)
2
.
Ta thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác
nhau để có những không gian metric khác nhau.
Trong không gian metric, ta có thể đưa ra khái niệm dãy hội tụ như
sau:

, sự hội tụ của dãy x
n
= (x
n
1
, , x
n
k
) tới
x = (x
1
, , x
k
) có nghĩa là
k

i=1
(x
n
i
− x
i
)
2
→ 0 (n → ∞),
điều này tương đương với x
n
i
→ x
i

r;
Tập S

(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán
kính r.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric (M, d). Ta gọi là lân cân của
điểm x ∈ M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r nào đấy.
Nhờ định nghĩa này ta có thể phân loại các điểm trong không gian
metric như sau:
Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M, điểm x ∈ M:
Điểm x gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x
bao hàm trong tập A;
Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x
không chứa điểm nào của tập A;
Điểm x gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x đều
chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A. Tập
tất cả các điểm biên của tập A ký hiệu là ∂A;
Điểm x gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A, nếu mọi lân
cận của điểm x đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác x. Tập tất cả
các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là A

;
Điểm x gọi là điểm cô lập của tập A, nếu x ∈ A và x không là điểm
giới hạn của tập A.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M:
Tập A gọi là tập mở trong không gian (M, d), nếu mọi điểm thuộc
A đều là điểm trong của A;
Tập A gọi là tập đóng trong không gian (M, d), nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A.
11

Định lý 1.1.4. Trong không gian metric (M, d), họ tất cả các tập mở
trong M lập thành một tôpô trên M.
Định nghĩa 1.1.8. Họ T tất cả các tập mở trong không gian metric
(M, d) gọi là tôpô sinh bởi metric d.
12
Định lý 1.1.5. Trong không gian metric (M, d), tôpô T sinh bởi metric
d là tôpô có cơ sở lân cận đến được.
Định nghĩa 1.1.9. Cho không gian metric (M, d), dãy {x
n
} được gọi
là dãy cở bản nếu lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0, tức là với ∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗
sao
cho ∀n, m ≥ N thì d(x
n
, x
m
) < ε.
Dễ thấy mọi dãy (x
n
) ⊂ M hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.10. Không gian metric (M, d) gọi là không gian đầy
đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.11. Tập M khác rỗng được gọi là không gian tuyến

[a,b]
(không gian các hàm bị chặn trên đoạn
[a, b]) với chuẩn x = max
a≤t≤b
|x(t)| .
Ta thấy rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric
với d(x, y) = x − y.
Định nghĩa 1.1.13. Cho M là không gian tuyến tính trên trường số
thực R. Hàm ., . : M × M → R được gọi là tích vô hướng trên M nếu:
(i) y, x = x, y, ∀x, y ∈ M;
(ii) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ M;
(iii) λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R;
(iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = θ, ∀x ∈ M.
Ta có một số tính chất đơn giản sau:
(i) (∀x ∈ M) θ, x = 0.
Thật vậy, θ, x = 0.x, x = 0. x, x = 0.
(ii) (∀x, y ∈ M) (∀λ ∈ R) x, λy = λ x, y.
Thật vậy, x, λy = λy, x = λ y, x = λ x, y.
(iii) (∀x, y, z ∈ M) x, y + z = x, y + x, z.
Thật vậy, x, y + z = y + z, x = y, x + z, x = x, y + x, z.
Định nghĩa 1.1.14. Không gian M được trang bị một tích vô hướng
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
14
Ví dụ:
Không gian R
n
với tích vô hướng x, y =
n


= α. Suy ra
lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = x + y hay (x
n
+ y
n
) → (x + y) khi n → ∞
lim
n→∞
α
n
x
n
= αx hay α
n
x
n
→ αx khi n → ∞
Nếu (M, ρ) là metric đầy đủ thì (M, .) được gọi là không gian
Banach.
Suy ra, ta định nghĩa với x ∈ M đặt x =

x, x thì dễ dàng
chứng minh được (M, .) là không gian định chuẩn. Vậy, không gian
tiền Hilbert là một không gian định chuẩn, do đó cũng là không gian

|
2
. (1.1)
Từ công thức x = d(x, 0) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1)
cho một chuẩn trên R
k
. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là
15
R
k
. Dễ dàng thấy R
k
là không gian Banach.
(ii) Với mọi x = (x
n
) ∈ R
k
, mọi y = (y
n
) ∈ R
k
ta đặt:
x, y =
k

n=1
x
n
y
n

tôpô tuyến tính lồi địa phương.
Nếu M không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương mà x, y ∈ M, x = y,
U
x
∩ U
y
= ∅, ( U
x
, U
y
lần lượt là lân cận của x, y ) thì M được gọi là
không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
Ví dụ:
Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô tuyến
tính lồi địa phương Hausdorff.
16
1.2 Nón
Trong không gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được
với nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này không
có được trong một số không gian khác. Muốn mở rộng các bài toán nhận
giá trị thực sang các bài toán nhận giá trị véctơ và đa trị người ta đưa
vào các khái niệm mới đồng thời có thể xây dựng những khái niệm tương
tự với số thực, số phức trong không gian tôpô tuyến tính. Một phương
pháp hữu hiệu để xây dựng những khái niệm đó là trang bị một nón
trong không gian tôpô tuyến tính.Ta có khái niệm sau.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con
trong Y . C gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu
tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0.
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y , ký hiệu
clC, intC, coC là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C, l(C) =

n
.
Nếu lấy C = {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
| x
1
≥ 0} thì C là nón lồi,
đóng nhưng không nhọn. Vì l(C) = {x = (0, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
} = {0}.
Định nghĩa 1.2.2. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự
được sinh bởi nón lồi C và A là tập con của Y . Ta nói rằng
(i) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với
nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A.
(ii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của
A đối với nón C, nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C). Tập các
điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là Min(A|C).
(iii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu (khi intC = ∅ và
C = Y ) của A đối với nón C, nếu x ∈ Min(A|({0} ∪ intC)). Tức là x là
điểm hữu hiệu Pareto đối với nón C

F (x) =



(a, b) nếu x = 0
{a} nếu x = 0
khi đó F ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.2. Cho F : X → 2
Y
, ánh xạ F
−1
: Y → 2
X
xác định
bởi F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F(x)} được gọi là ánh xạ ngược của F .
Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ
ngược. Nếu tập F
−1
(y) mở với mọi y ∈ Y , thì F được gọi là có nghịch
ảnh mở.
Ngoài các phép toán hợp, tích Descarter, ánh xạ bù và tổng đối với ánh
xạ đa trị được định nghĩa tương tự ánh xạ đơn trị ta có các phép toán
sau.
Định nghĩa 1.3.3. Cho F
1
, F
2
: X → Y , ánh xạ giao của F

Trong phần này ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục
dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị.
19
Định nghĩa 1.4.1. Cho F : X → 2
Y
là một ánh xạ đa trị từ không
gian tôpô X vào không gian tôpô Y .
a) Ánh xạ F gọi là nửa liên tục trên tại điểm x
0
∈ domF nếu với
mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x
0
) ⊂ V , tồn tại lân cận mở U của x
0
sao cho F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U;
b) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x
0
∈ domF nếu
với mọi tập mở V thoả mãn V ∩ F (x
0
) = ∅, đều tồn tại lân cận U của
x
0
sao cho V ∩ F (x) = ∅ với mọi x ∈ U;
c) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó vừa liên tục trên
vừa liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại
mọi điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.4.2. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2
Y
là

→ y, trong đó ∧ là tập các chỉ số.
b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở, thì ánh xạ coF cũng có nghịch
ảnh mở.
Chứng minh. b) Giả sử y ∈ D và x ∈ (coF )
−1
(y), thì y ∈ co(F(x)),
y =

n
i=1
α
i
y
i
với 0 ≤ α
i
≤ 1,

n
i=1
α
i
= 1, y
i
∈ F (x). Khi đó x ∈
20
F
−1
(y
i

Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.4.3 không đúng.
Ví dụ:
Cho F : R → 2
R
xác định bởi F (x) = (−∞, −x]. Ta có
F
−1
(y) = {x : y ∈ (−∞, −x]} = {x : y ≤ −x} = (−∞, −y] không là tập
mở.
Gọi V là tập mở bất kỳ trong R, khi đó

y∈V
F
−1
(y) = {x : F (x) ∩ V = ∅}.
Đặt b = inf{υ : υ ∈ V }. Ta sẽ chứng minh (−∞, −b) ⊆

y∈V
F
−1
(y).
Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ (−∞, −b) dẫn đến b < −x. Theo cách xác
định của b, ta suy ra tồn tại những điểm y ∈ V sao cho b < y ≤ −x. Vì
vậy x ∈ (−∞, −y] ⊆

y∈V
F
−1
(y). Do đó (−∞, −b) ⊆


là ánh
xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một nón). F được gọi là
C- liên tục trên (hoặc C- liên tục dưới) tại (y, x, z) ∈ domF nếu với bất
kỳ lân cận V của O trong Y đều tồn tại lân cận U của (y, x, z) sao cho :
F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V + C(y, x),
( tương ứng , F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V − C(y, x)),
với mọi (y, x, z) ∈ U ∩ domF .
Trường hợp C = {0}, ta nói F liên tục trên ( liên tục dưới ) thay
vì nói {0}- liên tục trên ( {0}- liên tục dưới ). Nếu F là ánh xạ đơn trị
thì khái niệm C- liên tục trên và C- liên tục dưới là một và lúc đó F được
gọi là C- liên tục.
Cho F, C : D → 2
Y
là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón.
Sau đây ta trình bày khái niệm C-hemi liên tục trên (dưới) và khái niệm
hemi liên tục trên (dưới).
Định nghĩa 1.4.4. a) F được gọi là C-hemi liên tục trên nếu với
mọi x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅, với
mọi α ∈ (0, 1), thì F (y) ∩ C(y) = ∅.
b) F được gọi là C-hemi liên tục dưới nếu với mọi x, y ∈ D thỏa
mãn F (αx + (1 − α)y)  −intC(αx + (1 − α)y), với mọi α ∈ (0, 1), thì
F (y)  −intC(y).
c) F được gọi là hemi liên tục trên (dưới) nếu với mọi x, y ∈ D, ánh
xạ f : [0, 1] → 2
Y
định nghĩa bởi f(α) = F (αx + (1 − α)y) là nửa liên
tục trên (tương ứng, nửa liên tục dưới).
22
Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là C-hemi
liên tục trên và dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán

β
∈ C(y) và v
β
∈ V
β
. Ta có thể chọn V
β
sao cho
∩
β
V
β
= {0}. Giả sử v
β
hội tụ đến 0 khi β hội tụ đến 0. Từ a
β
∈ F(y)
và F (y) là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
rằng a
β
hội tụ đến a ∈ F (y) khi β hội tụ đến 0. Vì vậy, b
β
cũng hội tụ
đến a. Mặt khác, C(y) đóng nên a ∈ C(y). Ta suy ra a ∈ F (y) ∩ C(y)
hay F (y) ∩ C(y) = ∅. Nếu C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng
có F (y) ∩ C(y) = ∅. Vậy F là C-hemi liên tục trên.
