Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 1 -
Giới hạn hàm số

I. Lý thuyết
1. ðịnh nghĩa:
1.1. Gi
ới hạn hàm số: Cho khoảng
K
chứa ñiểm
0
x
. Ta nói rằng hàm số
f(x)
xác ñịnh trên
K
(có
th
ể trừ ñiểm
0
x
) có giới hạn là
L
khi x dần tới
0
x
nếu với dãy số
n
(x )
bất kì,
n 0

( ; )
x b
.Số
L
gọi là giới hạn bên phải của hàm số
( )
y f x
=

khi
x
dần tới
0
x
nếu với mọi dãy
0
( ) :
n n
x x x b
< <
mà
0
n
x x
→ thì ta có:
( )
n
f x L
→ . Kí
hi

0
( ) :
n n
x a x x
< <
mà
0
n
x x
→ thì ta có:
( )
n
f x L
→ . Kí
hi
ệu:
0
lim ( )
x x
f x L
−
→
=
.
Chú ý:
0
0
0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x

n
x
→ +∞
thì
( )
n
f x L
→ . Kí hiệu:
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
.
* Ta nói hàm s
ố
( )
y f x
=
xác ñịnh trên
( ; )
b
−∞
có giới hạn là
L
khi
x
→ −∞
nếu với mọi dãy số
( ) :

nếu với mọi dãy số
0
( ) :
n n
x x x
→
thì
( )
n
f x
→ +∞
. Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞
.
* T
ương tự ta cũng có ñịnh nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta c
ũng có ñịnh nghĩa như trên khi ta thay
0
x
bởi
−∞
hoặc
+∞
.

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 2 -
Cho ba hàm số
( ), ( ), ( )
f x g x h x
xác ñịnh trên
K
chứa ñiểm
0
x
(có thể các hàm ñó không xác ñịnh
t
ại
0
x
). Nếu
( ) ( ) ( )
g x f x h x x K
≤ ≤ ∀ ∈
và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x h x L
→ →
= =
thì
0
lim ( )
x x
f x L

0 0
lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)
( )
x x x x
k
f x k
f x
→ →
= +∞ −∞ ⇔ = ≠

*
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
→ →
= =
, từ ñây suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
→ →
= =

giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít.

CÁC D
ẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP

D
ạng 1: Tìm
0
lim ( )
x x
f x
→
biết
( )
f x
xác ñịnh tại
0
x
.
Phương pháp:
* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng
0
( )
f x

* Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi ñó ta sử dụng ñiều kiện ñể hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải).

Ví d
ụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau:

3
0
ln ( 2) 1
3) lim
3 1
x
x x
A
x
→
+ − +
=
+

Giải:
1) Ta có:
2
1
1
1 1 1 1 1
lim
1 1 1 2
x
x x
A
x
→
− + − +
= = =
+ +

ln ( 2) 1
lim ln 2 1
3 1
x
x x
A
x
→
+ − +
= = +
+
.

Ví d
ụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới
hạn ñó?
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 3 -
1)
2
2
12 2
khi 1
( )
2
3 2 khi 1
x x
x
f x
x

x x x


+ + ≥


=


− + + <



khi
0
x
→
.
Giải:
1) Ta có:
1 1
lim ( ) lim (3 2) 5
x x
f x x
+ +
→ →
= + =
.
2
2

f x x x
+ +
→ →
= + + =
.
2
0 0 0 0
lim ( ) lim ( 3 2) 2 lim ( ) lim ( )
x x x x
f x x x f x f x
− − + −
→ → → →
= − + + = ⇒ ≠
.
Vậy hàm số
( )
f x
không có giới hạn khi
0
x
→
.

Ví d
ụ 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi
2
x
→

2

.

2
2 2
lim ( ) lim (2 1) 7
x x
f x x x
− −
→ →
= − + =
.
Yêu c
ầu bài toán
2 2
1
lim ( ) lim ( ) 2 6 7
2
x x
f x f x a a
+ −
→ →
⇔ = ⇔ + = ⇔ =
.
V
ậy
1
2
a
=
là giá trị cần tìm.

→
−
=
π

3)
2
2 2 3
3
1
3 2
ln(2 1) 2
lim
x
x
x
x x
B
e
+
→
−
− + −
=
4)
4
3
1
3 1 2
lim

− + <



khi
1
x
→
.
2)
3
8
2
( )
2
2 1 2
x
khi x
f x
x
x khi x


−


>

=



+ + + ≥



=



+ + + <



. D
ạng 2: Tìm
0
( )
lim
( )
x x
f x
A
g x
→
=
trong ñó
0 0

f x x x f x
= −
và
0 1
( ) ( ) ( )
g x x x g x
= −
.
Khi ñó
0
1
1
( )
lim
( )
x x
f x
A
g x
→
=
, nếu giới hạn này có dạng
0
0
thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai
2
( ) x+c
f x ax b
= +

2 2
( )( )
a b a ab b a b
± + = −
∓

3.
1 2 1
( )( )
n n n
n n
n n n
a b a a b b a b
− − −
− + + + = −

* Nếu
( )
f x
và
( )
g x
là các hàm chứa căn thức không ñồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng
hạn: Nếu
( ), ( )
n m
f x g x c
→
thì ta phân tích:
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

3 2
4
2
1
3 2
lim
4 3
x
x x
A
x x
→
− +
=
− +
2)
3 4
5
0
(1 3 ) (1 4 )
lim
x
x x
A
x
→
+ − −
=

3)

2
3 2 2
4
2
1 1 1
( 1)( 2 2)
3 2 2 2 3
lim lim lim
( 1)( 3) 3 2
4 3
x x x
x x x
x x x x
A
x x x
x x
→ → →
− − −
− + − −
= = = =
− − −
− +

2)
3 4
6
0 0
(1 3 ) 1 (1 4 ) 1
lim lim
x x

6
3 3 3
2 2
( 1)( 4)
5 4
lim lim
8 2
x x
x x
x x
A
x x
→ →
− −
− +
= =
− −

2 2
2 2
2 2
( 1)( 2)( 2) ( 1)( 2)
lim lim 1
( 2)( 2 4) 2 4
x x
x x x x x
x x x x x
→ →
− − + − +
= = =

x
x
A m n
x
→
−
= ∈
−
ℕ
.
2)
9
0
1 1
lim ( *, 0)
n
x
ax
A n a
x
→
+ −
= ∈ ≠
ℕ
.
Giải:
1)
1 2
8
1 2

→
+ + + +
= =
+ + + +
.
2) Cách 1: Nhân liên h
ợp
1 2
9
0
1 2
( 1 1)( (1 ) (1 ) 1 1)
lim
( (1 ) (1 ) 1 1)
n n
n n
n n
x
n
n n
n n
ax ax ax ax
A
x ax ax ax
− −
→
− −
+ − + + + + + + +
=
+ + + + + + +

−
= + ⇒ =
và
0 1
x t
→ ⇔ →

9
1
1 1
1 1
lim lim
1 ( 1)( 1)
n n n
t t
t t a
A a a
n
t t t t t
−
→ →
− −
⇒ = = =
− − + + + +
.

Ví d
ụ 3: Tình các giới hạn sau
1)
10

ụng bài toán trên ta có:
10
0 0
1 1
lim . lim .
1 1
n
m
x x
ax x a m am
A
x n b bn
bx
→ →
+ −
= = =
+ −
.
2) Ta có:
3 4
1 1 1 1
x x x
α β γ
+ + + − =3 4 3
1 1 ( 1 1) 1 (( 1 1) ( 1 1)
x x x x x x
α β γ α β α

A
γ β α
= + +
( Áp dụng kết quả bài
9
A
).

Ví d
ụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1)
12
2
1
2 1
lim
1
x
x x
A
x
→
− −
=
−
2)
3
13
2
3 2

.
2)
3
13
3
2 2
3
(3 2 )( 3 2 2)
lim
3( 2)( (3 2) 2 3 2 4)
x
x x x
A
x x x
→
+ − − +
=
− + + + +
2
3
2 2
3
( 2 1)( 3 2 2)
lim
3( (3 2) 2 3 2 4)
x
x x x
x x
→
− + + − +

4
7
2 20
lim
9 2
x
x x
A
x
→
+ − +
=
+ −
.
Giải:
1)
3
14
1
7 1 2 ( 5 1 2)
lim
1
x
x x
A
x
→
+ − − − −
=
−

−
= =
− − + − +
.
1 1
5( 1)
5 5
lim lim
3
( 1)( 5 1 1) 5 1 1
x x
x
J
x x x
→ →
−
= = =
− − + − +

V
ậy
14
9
4
A
=
.
2) Ta có:
3
3

2 3
x x
x
x
x
→ →
+ −
= =
−
+ +

3
3 3
2
7 7
20 3 1 1
lim lim
7 27
( 20) 3 20 9
x x
x
x
x x
→ →
+ −
= =
−
+ + + +
.
4

Bài t
ập:
Tìm các gi
ới hạn sau:
1)
2
5
3
2
2 5 2
lim
3 2
x
x x
B
x x
→
− +
=
− −
2)
4
6
3
1
3 2
lim
2 3
x
x x

x
x
B
x
→
+ −
=
+ −

5)
3
9
4
7
4 1 2
lim
2 2 2
x
x x
B
x
→
− − +
=
+ −
6)
3
10
2
0

0
4 2 4 2
lim
2 2
x
x x x x
B
x x
→
− + − + +
=
+ − −
.

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 8 -
Dạng 3: Tìm
( )
lim
( )
x
f x
B
g x
→±∞
= , trong ñó
( ), ( )

.
*
( )
lim 0 ( 0; 0)
n
x
x
k
n k
x
→+∞
→−∞
= > ≠
.
*
0 0
lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)
( )
x x x x
k
f x k
f x
→ →
= +∞ −∞ ⇔ = ≠
. Ví d
ụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)

−
→+∞
−
+ + +
= ≠
+ + +
.
Giải:
1) Ta có:
2
2 2
16
2
2 2
5 1 5 1
(3 ) 3
3
lim lim
1 1 1 1 2
(2 ) 2
x x
x
x x
x x
A
x
x x
x x
→+∞ →+∞
+ + + +

−
−
→+∞
−
−
+ + + +
=
+ + + +

* N
ếu
1 1
0
1
0
17
1 1 0
0
1

lim

n n
n n
x
m m
m m
a a a
a
a

x
m n
m m
m m
a a a
a
x
x x
m n A
b b b
x b
x
x x
−
−
→+∞
−
−
−
+ + + +
> ⇒ = =
+ + + +

( Vì t
ử
0
a
→ , mẫu
0
→

a b
x
x x
A
a b
b b b
b
x
x x
−
−
−
→+∞
−
−
+ + + +

+∞ >

⇒ = =

−∞ <


+ + + +
.

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)

1) Ta có:
2 2
18
1 1
| | 2 | | 1
lim
2
(2 )
x
x x
x x
A
x
x
→+∞
+ − +
=
+
2 2
1 1
2 1
2 1
lim
2 2
2
x
x x
x
→+∞
+ − +

lim 3
1 1
( 1 )
| |
x
x
x x
x
x
→−∞
− − − +
= =
− + −
.
Ví d
ụ 3:Tìm các giới hạn sau
1)
3
3 2
20
4
4
3 1 2 1
lim
4 2
x
x x x
A
x
→−∞

3 2
3 2
lim
2 2
4
x
x x
x
x x
A
x
x
→−∞
+ + + +
+
= = −
− +
.
2)
2
2 2 2 2
21
3 3
3 3
1 2 1 1 2 1
( 1 ) ( 1 )
lim
2 1 2 1
( 2 ) 2
x

(3 2 )
x
x x
B
x
→+∞
+ +
=
−
2)
2
14
2
4 3 4 2
lim
1
x
x x x
B
x x x
→−∞
− + −
=
+ + −

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 -
3)
2
15


D
ạng 4 : Dạng vô ñịnh:
∞ − ∞
và
0.
∞

Phương pháp:
Những dạng vô ñịnh này ta tìm cách biến ñổi ñưa về dạng
∞
∞
.
Ví d
ụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
22
lim ( 1 )
x
A x x x
→+∞
= − + −
2)
2
23
lim (2 4 1)
x
A x x x
→−∞

x
A
x x x
→+∞
− +
⇒ = = −
− + +
.
2)
2 2
23
2
(2 4 1)(2 4 1)
lim
2 4 1
x
x x x x x x
A
x x x
→−∞
− − + + − +
=
− − +
2
1 1
lim
4
2 4 1
x
x

3 2 2 3 2 2
3 2 ( 3 ) ( 2 )
x x x x x x x x x x
− + − = − − + − +2
3
3 2 2 3 2 2 2
3
3 2
( 3 ) 3 2
x x
x x x x x x x x x
− −
= +
− + − + − −

24
2
3 3
3 2
lim lim 0
3 3 2
(1 ) 1 1 1 1
x x
A
x x x
→−∞ →−∞
− −

( 2 2 )( 2 1)
x
x x x x x x x x
−
=
+ + + + + + +

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 11 -

2
25
2 2 2
2
lim
( 2 2 )( 2 1)
x
x
A
x x x x x x x x
→+∞
−
⇒ =
+ + + + + + +25
2 1
lim
4

( )( )
n n n n n
y x y x y y x x
− − −
⇒ − = − + + +
1 1 1

n n
n n n
y x
y x
y y x x
− − −
−
⇒ − =
+ + +

1 2 1
lim ( ) lim

n n
n n n
x x
y x
y x
y y x x
− − −
→+∞ →+∞
−
⇒ − =

n n
n
n
n n
x x
b b b
y x
a a a
x
x x x
− −
→+∞ →+∞
−
= + + + + + + +
1 2

n
a a a
= + + +

1
1
lim 1 0, , 1
k n k
n
x
y x
k n
x
− −

= .

Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
1)
2
17
lim ( x 1 )
x
B x x
→+∞
= − + −
2)
2
18
lim ( 4 1 )
x
B x x x
→−∞
= + −

3)
2 2
19
lim ( 1 1)
x
B x x x x
→±∞
= − + − + +
4)

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 12 -
Dạng vô ñịnh các hàm lượng giác

PP: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến ñổi về các dạng sau:
*
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
→ →
= =
, từ ñây suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
→ →

lim
x
ax
A
x
→
−
=
.
Giải:
Ta có:
2
2
27
2
0 0
2 sin sin
2 2
lim lim
2 2
2
x x
ax ax
a a
A
ax
x
→ →
 
 

lim
x
x x x
A
x
→
−
=
.
Giải:
1) Ta có:
2
2
2 sin 2 sin cos
1 sin cos
2 2 2
1 sin cos
2 sin 2 sin cos
2 2 2
mx mx mx
mx mx
nx nx nx nx nx
+
+ −
=
+ −
+
x
sin sin cos
2 2 2 2

2) Ta có:
2 2
1 cos cos cos 2 (1 cos 3 ) cos (1 cos 2 )
1 cos .cos 2 . cos 3
x x x x x x
x x x
x x
− + − + −
−
=
2 2 2
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
cos . cos 2 cos
x x x
x x x
x x x
− − −
= + +
.
S
ử dụng kết quả bài
27
A
ta có:
29
2 2 2
0 0 0
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
lim lim cos . cos 2 lim cos 3
x x x

31
0
cos 2 cos 3
lim
(sin 3 sin 4 )
x
x x
A
x x x
→
−
=
−
3)
2
32
3
0
tan 2
lim
1 cos 2
x
x
A
x
→
=
−

Giải:

2 cos sin cos
2 2 2 2
x x x
x x x
A
x x x x
x
→ → →
= = − =
−
.
3)
3
3
2 2
2
32
3
0 0
tan 2 (1 cos 2 cos 2 )
tan 2
lim lim
1 cos 2
1 cos 2
x x
x x x
x
A
x
x

→
+ +
=
= + +

32
6
A
⇒ =
.

Ví d
ụ 4: Tìm các giới hạn sau
1)
33
2
0
1 cos
lim
n
x
ax
A
x
→
−
=

2)
3 4 2008

+ + + +

33
2
2 1
0 0
1 cos x 1
lim lim
1 cos ( cos ) ( cos )
n n n
n
x x
a
A
x
ax ax ax
−
→ →
−
⇒ =
+ + + +

1
.
2 2
a a
n n
= =
.
2) Ta có:
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 14 -
Ví dụ 5: Tìm giới hạn
1)
2
35
0
lim
1 sin 3 cos 2
x
x
A
x x x
→
=
+ −
2)
2
36
3 4
0
sin 2
lim
cos cos
x
x
A
x x

+ − + − −
= +0
sin 3 1 5
3 lim ( . ) 1
3 2
1 sin 3 1
x
x
x
x x
→
= + =
+ +
.
V
ậy:
35
2
A
5
=
.
2) Ta có:
3 4
3 4
2 2
0 0

.

Ví d
ụ 6: Tìm các giới hạn sau
1)
37
1
sin( )
lim .
sin( )
m
n
x
x
A
x
π
π
→
=
2)
38
2
lim ( ) tan
2
x
A x x
π
π
→

x
x x x
π π
π π
→ → →
− −
−
=
− − −1 2
1 2
1 1
(1 )( 1)
1
lim lim .
1 (1 )( 1)
n n
n
m m m
x x
x x x
x n
m
x x x x
− −
− −
→ →
− + + +

39
0
1
lim sin ( 0)
x
A x
x
α
α
→
= >
2)
40
lim (sin 1 sin )
x
A x x
→+∞
= + −

Giải:
1) Ta có:
1
0 | sin |
x x
x
α α
≤ < . Mà
0
lim 0
x

1
lim 0
1
x
x x
→+∞
=
+ +
nên
40
0
A
=
.
Bài tập:
Tìm các gi
ới hạn sau
1)
23
0
cos 3x cos 4x
lim
cos 5x cos 6x
x
B
→
−
=
−
2)

4
0
sin 2x
lim
sin 3x
x
B
→
=

5)
27
0
1 sin( cos )
2
lim
sin(tan )
x
x
B
x
π
→
−
= 6)
28
3 sin 2 cos
lim
1
x

1 cos x
x
B
→
+ − +
=
− Gi
ới hạn hàm số mũ và Lôgarít
Sử dụng giới hạn ñặc biệt:
0 0
ln(1 )
1
lim lim 1
x
x x
x
e
x x
→ →
+
−
= =
.
Từ ñây ta có hệ quả:

lim
ax bx
x
e e
A
x
→
−
=
2)
3
2 1 1 1 3
42
0
lim
x x
x
e e
A
x
+ − −
→
−
=
.
Giải:
1) Ta có:
41
0 0
1 1

= −
+ −
− −

Mà
3
2 1 1 1 3x 1
3
0 0
1 1
lim lim 1
2 1 1
1 3x 1
x
x x
e e
x
+ − − −
→ →
− −
= =
+ −
− −
;
0
2 1 1
lim 1
x
x
x

x
a
A
x
→
−
=

2)
3
43
0
ln | | ln( 3 1 1) | 1 1 |]
lim
x
x x x
A
x
→
− + + + −
=
.
Giải:
1)
ðặt
ln( 1)
1
ln
x
t

( )
u x
x x
a
u x a
u x
→ →
−
= ⇒ =
.
2) Ta có:
3
3
( 3 1 1)
( 3 1 1)( 1 1)
1 1
x x
x x
x
+ +
+ + + − =
+ +

3 3
ln( 3 1 1) | 1 1 | ln | | ln( 3 1 1) ln( 1 1)
x x x x x
⇒ + + + − = + + + − + +

3
45

x x
x
I J
x x
→ →
+ + − + + −
= − = −

Mà
3
3
0
3
1
ln(1 ( 1 3 1))
1 1 3 1 1 1
2
lim . .1.1
2 1 2 2
( 1 3 1)
2
x
x
x
I
x
x
→
+ + −
+ −

Ví d
ụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1)
46
0
(1 ) 1
lim ( 0)
x
x
A
x
α
α
→
+ −
= >
2)
47
lim
x a
x a
a x
A
x a
→
−
=
−
.
Giải:

+
ln(1 )
46
0
ln(1 )
1
lim .
ln(1 )
x
x
x
e
A
x x
α
α
α
α
+
→
+
−
⇒ = =
+
.
Chú ý : Tổng quát ta có: Nếu
0 0
(1 ( )) 1
lim ( ) 0 lim
( )

x a
a x a
a
a a
x a x a x a
a
−
−
−
+ −
− −
⇒ = −
− − −

1
47
1
(1 ) 1
1
lim lim
ln . ln
a
x a
a a
x a x a
a a a
x a
a
a
A a a

A
x
−
→
− +
=
+ −
2)
3x+1 1
49
2
0
4 sin 3x
lim
ln( 1)
x
A
x x
−
→
−
=
− +
.
Giải:
1) Ta có:
2
2
4
2

 
−
+ + − + −
−
 
 
.
M
ặt khác :
2
2
2
0 0
1 3 4 2
lim lim 1
ln(1 ( 3 4 2))
2
x x
x x
e x
x
x x
−
→ →
− + −
= =
+ + −
−

và

4 3 6
A
⇒ = + − = −
.
2) Ta có:
3 1 1 3 1 1 2
2 2 2
4 cos 3 4 1 1 cos 3 3 1 1
3 1 1 3 1 1
ln( 1) ln( 1)
x x
x x x x x
x x
x x x x x x
+ − + −
 
− − − − + −
 
= +
 
+ − + −
− + − + −
 
.
Mà
3 1 1
0
4 1
lim 2 ln 2
3 1 1

3
sin ( )
1 cos 3 9
2
lim lim . lim 0
2 3
3 1 1 3 1 1
( )
2
x x x
x
x x
x x
x
→ → →
−
= =
+ − + −
;
2
2
0
lim 1
ln( 1)
x
x x
x x
→
−
=

lim ( ) 1
x x
u x
→
=
và
0
lim ( ) ( )
x x
v x
→
= +∞ −∞

thì
0 0
1
( ) .( ( ) 1) ( )
( ) 1
lim ( ) lim 1 ( ( ) 1)
v x u x v x
u x
x x x x
u x u x
−
−
→ →
   
= + −
   


+
 
2)
2
1
1
52
1
lim 2 )
x
x x
x
A e
−
−
→
 
= −
 
 
.
Giải:
1) Ta có:
3 2
3 2
( 1).
lim
1
3
1

2
1
1 1
1
.
lim
1
1
1
52
1
lim 1 (1 )
x x
x x
x x
x
e
e
x
x x
x
e
x
A e e
−
−
−
→
−
−

1
52
A
e
−
= .

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
2 cot
53
0
lim (1 )
x
x
A x
→
= +
2)
2 1
2
3
54
2
0
1
lim ( )
1

→
= + = =
.
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 19 -
2) Ta có
2
2 2
1 2
1
1 1
x x x
x x x x
− +
= −
+ + + +
và
2
2
2(2 1)
2 1 1
( )
3 2
3( 1)
x
x x x
x x
x x
− +
+ + +

+ +
−
−
+ + + +
→
⇒ = − = =
+ +

Ví d
ụ 3: Tìm giới hạn:
tan
55
2
lim (sin )
x
x
A x
π
→
=
Giải:
Ta có:
2
sin 1
lim
(sin 1)
1
cot
.
sin 1 cot

x
x
x
x x
π π π
π π π
π π
→ → →
− + −
−
= =
− −2
sin( )
2 4 2
lim [ cos( )] 0
2 4
tan( )
2 4 2
x
x
x
x
x
x
π
π π
π