Đề số 1
Bài 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện a
2
+ b
2
=3. Chứng minh:
3 3 3 3
2
1 1 3
( )a b b a
b a a b

=
+
Bài 2. a) Giải phơng trình (x+1)(x
2
+2) + (x+2)(x
2
+1) = 2
b) Cho phơng trình x
2
2m(x-1) -1 = 0. Tìm tập hợp các giá trị m để phơng trình
có nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện x
1
+ x
2
= x



=

Bài 2. a) Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng của lập phơng chữ số hàng chục với
bình phơng chữ số hàng đơn vị bằng chính số đó.
b) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện 0 x 1; 0 y 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P =
x y y x
.
Bài 3. Cho ABC có BAC không vuông. Gọi (O
1
)là đờng tròn đi qua B và tiếp xúc
với AC tại A. Gọi (O
2
) là đờng tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. Hai đờng tròn
trên cắt nhau tại M.
a) CMR: B, C, M không thẳng hàng. Ta kí hiệu (O) là đờng tròn đi qua B, M, C.
b) Gọi D là giao điểm thứ hai của phân giác BAC với đờng tròn ngoại tiếp ABC
và E là giao điểm thứ hai của AM với (O). CMR: đờng thẳng DE đi qua tâm đờng
tròn ngoại tiếp ABC và các đờng thẳng EB, EC tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp
ABC.
c) Giả sử BAC = 60
0
. Gọi N là giao điểm của AM với BC.
CMR:
1 1 1
MN MB MC
= +
1

b) Giải phơng trình
2
2
40
16
16
x x
x
+ + =
+
.
Bài 3. Cho một hình lục giác lồi ABCDEF có AB // CF, BC // AD, CD // BE. Chứng minh
rằng hai tam giác ACE và BDF có diện tích bằng nhau.
Bài 4. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cùng tiếp xúc với đờng thẳng d lần lợt tại các điểm
A và B và cắt nhau tại hai điểm C và D ( D gần AB hơn ). Gọi (O) là đờng tròn
ngoại tiếp ABC, M là giao điểm của CD với O.
a) Chứng minh rằng : AMBD là hình bình hành.
b) ký hiệu R và R lần lợt là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và
ABD. Chứng minh rằng : R=R.
Đề số 4
Bài 1. a) Chứng minh rằng : nếu các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện
1 a b+c < a+1, b c thì a > b.
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2xy + 3y
2
= 24.
Bài 2. Chứng minh rằng nếu phơng trình x
2
+ px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt thì các
phơng trình x
2

1 1 1 1 1 1
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )y z z x x y
S
x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
.
Bài 2. Giải hệ phơng trình
2 2
2
2 17
2 3
x y
x xy

+ =

=

Bài 3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ 5 y
2
+ 8 z
2
biết rằng xy + yz + zx =1.
b) Chứng minh rằng : nếu x, y là các số nguyên thì :
P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y

Bài 3. a) Chứng minh rằng nếu phơng trình x
2
+ px + q = 0 có nghiệm thì phơng trình
2 2
1 1
0( ) ( )x a px a q
a a
+ + + =
có nghiệm với mọi a.
b) Giải hệ phơng trình
2 2
2 2
2 3 3
2 2 6
x xy y
x yz y

+ =

+ =

3
Bài 4. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng tròn (O).
a) Chứng minh rằng nếu hai đờng chéo của tứ giác vuông góc với nhau thì độ dài
các đaọn thẳng nối các tiếp điểm nằm trên hai cạnh đối của tứ giác bằng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu hai đoạn thẳng nối các cặp tiếp điểm trên hai cạnh đối có
đọ dài bằng nhau thì tứ giác ABCD có hai đờng chéo vuông góc với nhau.
c) Tứ giác ABCD có hình dạng gì đặc biệt nếu hai hai đoạn thẳng nối các cặp tiếp
điểm là đờng kính của đờng tròn (O).
Đề số 7

2
+ y
2
= < 1.
Bài 3. Giải hệ phơng trình:
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y


+ + =

+ =



4