http://NgocHung.name.vn
I. PHNG PHP QUY NP
cm mt mnh ph thuc s t nhiờn n N ta khụng th th trc tip vi mi s t nhiờn c vỡ
tp hp s t nhiờn l vụ hn. Song ta cú th tin hnh cỏc bc kim tra nh sau
Bc 1 : Trc ht ta kim tra rng mnh ỳng vi n=0
Bc 2 : Ri ta chng rng : T gii thit mnh ỳng vi mt s t nhiờn n=k 0 bt kỡ suy ra nú
ỳng vi n=k+1 .
Vớ d : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 2 ta cú ng thc :
a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b + + b
n-1
)
Chng minh
Ta chng minh bng phng phỏp qui np .
* Khi n=2 ta cú a
2
-b
2
=(a-b)(a+b) l ỳng
* Gi s ng thc ỳng khi n=k . Tc l ta cú : a
k
-b
k
=(a-b)(a

= a
k
(a-b)+ b(a
k
-b
k
) = a
k
(a-b) + b(a-b)(a
k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)
= (a-b)[ a
k
+ b(a
k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)] = (a-b)(a
k
+a
k-1
b + + b
k
) = VP

> 2n+1
Bi 5: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú:
2n 2
4.3 32n 36 64
+
+
M
Bi 6 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 ta luụn cú: (n+1)(n+2)(2n)
M
1.3.5(2n-1)
Bi 7 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú: n
3
+2n
M
3
Bi 8: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú:
n
16 15n 1 225

M
A. CHIA HT S NGUYấN
1. nh ngha: Cho hai s nguyờn bt kỡ a v b (b

0). Tn ti mt v ch mt cp s nguyờn (q, r) sao
cho a = bq + r vi
0 r b
<
.
* Nu r = 0 thỡ a chia ht cho b: a
M


M
m
a
M
m, b
M
m thỡ a

b
M
m
a

b
M
m m a
M
m thỡ b
M
m
a
M
m, b
M
n thỡ ab
M
nm
a
M

mnk
a
M
m, b
M
m thỡ a

b
M
m
* Trong n s nguyờn liờn tip (nN
*
) cú mt v
ch mt s chia ht cho n.
* Trong n+1 s nguyờn bt kỡ (nN
*
) chia cho n
thỡ cú hai s chia cho n cú cựng s d.
* chng t A(n) chia ht cho mt s nguyờn t
p ta cú th xột mi trng hp v s d ca n chia
cho p.
* chng t A(n) chia ht cho hp s m, ta phõn
tớch m thnh tớchcỏc thac s ụi mt nguyờn t
cựng nhau ri ln lt chng t A(n) chia ht cho
tng tha s ú.
* CM f(x) chia ht cho m thụng thng ta phõn
tớch f(x) thnh nhõn t ri xột s d khi chia x cho
m.
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 1
http://NgocHung.name.vn

e/ Vi r = 4 => n = 5k+4 => n
2
= 25k
2
+40k +16 thỡ (n
2
+4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
2/ Phng phỏp 2 : A(n) chia ht cho m; ta phõn tớch m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chng minh: A(n) chia ht cho p, A(n) chia ht cho q => A(n) chia ht cho p.q
b/ Nu p v q khụng nguyờn t cựng nhau ta phõn tớch A(n) = B(n).C(n) v chng minh B(n) chia ht
cho p, C(n) chia ht cho q => , A(n) chia ht cho p.q
3/ Phng phỏp 3 : chng minh A(n)
M
m cú th bin i A(n) thnh tng nhiu hng t v chng minh
mi hng t chia ht cho n.
4/ Phng phỏp 4 : chng minh A(n)
M
m ta phõn tớch A(n) thnh nhõn t, trong ú cú mt nhõn t
bng m hoc chia ht cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thng ta s dng cỏc hng ng thc :
a
n
b
n

M
a b ( a

b) n bt k.
a

b) n
3
-3n
2
-n+3
M
48 ; vi

n l
c) n
4
+ 4n
3
-4n
2
-16n
M
384 vi

n chn
Bi 2. CMR: a)
4 2
n n 12

M

b)
2
n(n 2)(25n 1) 24+ M
c) Ch s tn cựng ca s t nhiờn n v n

a thc f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ chia ht cho x 1
a thc f(x) cú tng cỏc h s ca s hng bc chn bng tng cỏc h s ca s hng bc l thỡ
f(x)
M
( x + 1)
2.a thc bc 2 tr lờn :
Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú nhõn t chi ht cho a thc chia.
Cỏch 2 : Xột giỏ tr riờng.
3/ Chng minh a thc chia ht cho a thc khỏc :
Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú 1 tha s chia ht cho a thc chia.
Cỏch 2 : Bin i a thc b chia thnh tng cỏc a thc chia ht cho a thc chia.
Cỏch 3 : S dng bin i tng ng : chng minh f(x)
M
g(x) ta chng minh : f(x) + g(x)
M
g(x)
hoc f(x) - g(x)
M
g(x).
Cỏch 4 : Chng t rng mi nghim ca a thc chia u l nghim ca a thc b chia
Bi 1. Xỏc nh cỏc hng s a ; b sao cho:
a) 4x
2
- 6x + a
M
(x-3)
b) 2x
2
+ x + a
M

Bi 3 Tỡm n

Z :
a/ n
2
+ 2n 4
M
11
b/ 2n
3
+ n
2
+ 7n +1
M
2n 1
c/ n
3
2
M
n 2
d/ n
3
- 3n
2
+ 3n - 1
M
n
2
+n + 1
e/n

- x
9
x
1945

M
x
2
- x + 1
c/ x
10
- 10x + 9
M
(x 1)
2
d/ 8x
9
- 9x
8
+ 1
M
(x 1)
2
I. MT S DNG PHNG TRèNH VI NGHIM NGUYấN

1. Dng 1: Phng trỡnh bc nht.
a. Phng trỡnh dng: ax + by = c (a,b,c nguyờn)
* Cỏch gii: - Tỏch cỏ h s v tng cỏc s chia ht cho a hoc b (S no cú GTT ln hn)
- S dng du hiu v tớnh cht chia ht ca mt tng tỡm ra mt n .
Thay nghim va tỡm c vo phng trỡnh ban u tỡm nghim cũn li.

nghim riờng: (x
0,
y
0)
= (4, 1)
1
1
a
a
d
b
b
d

=




=


nghim tng quỏt
0 1
0 1
x x b t
y y a t
=



6 18
11 3
x t
y t
=


= +

(t
Z

)
Vớ d 2 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng
trỡnh: 12x + 7y = 45 (1)
Hng dn gii
Theo cỏch gii trờn ta tỡm c nghim nguyờn
ca phng trỡnh (1) l
7 12
27 12
x t
y t
=


=


Vi iu kin nghim nguyờn dng ta cú:
7 12 0

)
Thay vo phng trỡnh ta cú:
2x + 5y + 10t = 1 (t
Z

)
Gii phng trỡnh ny vi hai n x; y (t l tham
s) ta c:
Nghim ca phng trỡnh: (5t 5k 2; 1 2t; 3k)
Vi t; k nguyờn tu ý
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 3
http://NgocHung.name.vn
.
Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn.
Dạng ax
2
+ by
2
+ cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x – 3y = 2xy – 11 (1)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Rút y theo x: y =
5 11 5
2
2 3 2 3
x x
x x
+ +
= +

+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = y
2

Đặt a = x
2
+ 3x (ĐK: a
2
≥ −
(*)
Ta có: a
2
– 1 = y
2
GiảI phương trình này bằng cách
đưa về phương trình ước số: => nghiệm phương
trình (1)
Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
3
- y
3
= xy + 8 (1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
. 8x y x xy y
− + + =
Ta có x khác y vì

8
=> x
2
, y
2

{ }
0;1;4
∈
Từ đó tìm được Hai nghiệm
nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0)
4. Dạng 4: Phương trình dạng phân thức.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
1 1 1 1
6 6x y xy
+ + =
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số
Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)
Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho
−
−
17
9
x
x
là bình
phương của một phân số.
Hướng dẫn giải

5. Dạng 5: Phương trình dạng mũ.
Ví dụ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
2
x
+ 3 = y
2
(1)
Hướng dẫn giải
 Nếu x = 0 => y
2
= 4 => y = 2 hoặc y = -2.
 Nếu x = 1 => y
2
= 5 Vô nghiệm nguyên.
 Nếu x
≥
2
=> 2
x

M
4 Do đó vế tráI chia cho
4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) => y
2
chia 4 dư 1
=> Vô lý.
 Vậy nghiệm nguyên của (1) là:
(0; 2); (0; -2)
II. BÀI TẬP:
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:


a.c < b.d
f)
( )
2 1 2 1
n
n n
a b a b
+ + +
< <
Â
0 <
( )
2 2
n
n n
a b a b
+
< <
Â
g)
( )
2 1 2 1
n
n n
a b a b
+
+ +
< <
Â

H qu:
1
a + 2
a

,
a 0
>
III. Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i
a) |x|

0, |x|

x, |x|

-x
b) |x|

a

-a

x

a ( vi a > 0)
|x|

a

x


2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
( )( )
n n
a a a b b b
+ + + + + +
Du = xy ra khi v ch khi:
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
III. BT Becnuli
Cho a > -1, n

N
*
:
(1+ + a)
n


1 + na.
ng thc xy ra khi
a = 0 hoc n = 1

+ 2
a b ab
1 1 1
(a+b) 2 .2 =4
a ab
ab
b



+
ữ

Du = xy ra khi v ch khi:a= b.
Bi 2: Vi mi a, b,x,y, thuc
Ă
.
Chng minh rng:
( ) ( )
2 2 2
| |ax by a b x y
2
+ + +
p dng :
1. Cho x
2
+ y
2
=1 , chng minh -
2

Bài 5: Cho a,b,c >0. C/m:
ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + +
Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1.
Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 7: CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
≥++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2
.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm:
( )( )
dbcacdab
++≤+
Bài 9: CM bất đẳng thức:
( ) ( )
22
2222
dbcadcba

+
+
nnn
Bài 12: Cho a
3
+ b
3
= 2. Cmr: a + b
≤
2.
Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn






−
0;
3
4
Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.

yxba
(ax + by)
2

b)
2420 ≤−+−< xx
Bài 18: Cho a, b, c > 0. Cm:

2
3
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Boài döôõng hoïc sinh THCS 6
http://NgocHung.name.vn
Bài 19: Cho
100
1

3
1

+
−
cbacpbpap
111
2
111

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 21: a) CM x > 1 ta có:
2
1
≥
−x
x
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:
11
22
−
+
−
=
a
b
b
a
P
Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a
2
+ b
2

+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
Bài 26: Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)
2
+ ( b - 2)
2
= 5. Cm: a + 2b
≤
10.
Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
= 4 + ab.
CMR:
8
3
8
22
≤+≤
ba
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 28: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:
3
211
≥
+

CMR:
9
32
0 << P
với
1
±≠∀
x
.
Bài 31: a) Cho a, b, k là các số dương và
1
a
b
<

:
a a k
Cmr
b b k
+
<
+
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
ba
c
ac
b
cb
a
+









+++
x
y
y
x
x
y
y
x
34
2
2
2
2
1) nh ngha: L s cú dng
2
,n nÂ
.
2) Tớnh cht:
1. S chớnh phng chn thỡ chia ht cho 4, s chớnh phng l khi chia cho 8 d 1
2. Nu a=3k thỡ
( )

2
d
+ Do
( )
2 2
1 1 1 1 1
a d c c , 1b vi a c
=
M M
+ Do
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 1
, , 1 ;
c
c d b c bvi b d b a b c a d
b
= = = = =M M
7. Nu mt s chớnh phng chia ht cho p, p- nguyờn t thỡ s chớnh phng ú chia ht cho p
2
. Do
ú nu mt s a chia ht cho s nguyờn t p nhng s a khụng chia ht cho p
2
thỡ a khụng l s
chớnh phng.
2. Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn.
3. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 4n hoc 4n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú
dng 4n + 2 hoc 4n + 3 (n


) + y
4

t x
2
+ 5xy + 5y
2
= t ( t

Z) thỡ
A = (t - y
2
)( t + y
2
) + y
4
= t
2
y
4
+ y
4
= t
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2)2

Boi dửụừng hoùc sinh THCS 8

+ 3n)( n
2
+ 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n
2
+ 3n = t (t
∈
N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t
2
+ 2t + 1 = ( t + 1 )
2

= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vì n
∈
N nên n
2
+ 3n + 1
∈
N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) =
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
4

1
k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2
⇒
k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng
tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 . 10
n
+ 8 . 11…1 + 1

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số
= 4.
9
110
−
n
. 10
n
+ 8.
9
110
−
n
+ 1
=
9
9810.810.410.4







+
3
110.2
n

∈
Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1

2n chữ số 1 n chữ số 4

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
Boài döôõng hoïc sinh THCS 9
2
2
http://NgocHung.name.vn

2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
Kết quả: A =





+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ ( 10
n-2
– 1 ) . 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ 10
2n
– 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 225.10
2n
– 90.10
n
+ 9
= ( 15.10
n
– 3 )
2

2
– (n+1)
2
= 11
⇔
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
⇔
k+n+1 = 11
⇔
k = 6
k – n - 1 = 1 n = 4
b. Đặt n(n+3) = a
2
(n
∈
N)
⇒
n
2
+ 3n = a
2

⇔
4n
2
+ 12n = 4a
2


– 16

⇔
13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒
(y + 4)(y – 4)
M
13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4
M
13 hoặc y – 4
M
13
⇒
y = 13k
±
4 (Với k
∈
N)
⇒
13(n – 1) = (13k
±
4 )
2
– 16 = 13k.(13k
±
8)
⇒
n = 13k
2


Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a. a
2
+ a + 43
b. a
2
+ 81
c. a
2
+ 31a + 1984
Kết quả: a. 2; 42; 13
b. 0; 12; 40
c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương .
Với n = 1 thì 1! = 1 = 1
2
là số chính phương .
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3
2
là số chính phương
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó
1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương .
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 4: Tìm n
∈
N để các số sau là số chính phương:
a. n
2

2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2)
⇒
m + n và m – n là 2 số chẵn

⇒
(m + n)(m - n)
M
4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4

⇒
Điều giả sử sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n
2
là số chính phương.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81;
121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Boài döôõng hoïc sinh THCS 11
2
http://NgocHung.name.vn
Vậy n = 40
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta
được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k
2
. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m

Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau
1 đơn vị.
Đặt abcd = k
2
ta có ab – cd = 1 và k
∈
N, 32 ≤ k < 100
Suy ra 101cd = k
2
– 100 = (k-10)(k+10)
⇒
k +10
M
101 hoặc k-10
M
101
Mà (k-10; 101) = 1
⇒
k +10
M
101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110
⇒
k+10 = 101
⇒
k = 91
⇒
abcd = 91
2
= 8281

x
2
= y
3
Với x, y
∈
N
Vì y
3
= x
2
nên y cũng là một số chính phương .
Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999
⇒
10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương
⇒
y = 16
⇒
abcd = 4096
Boài döôõng hoïc sinh THCS 12
http://NgocHung.name.vn
Bi tp
1. Chng minh rng tng ca hai s chn liờn tip khụng chớnh phng.
HD:
( )
2 (2 2) 4 2 2 mod 4n n n
+ + = +
2. Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca 2 hoc 3 s nguyờn l khụng chớnh phng.
HD:
( ) ( ) ( )

VP 1 mod8 ;VT 7 mod8 ;

5. Tỡm
n

Ơ

2 8 5
n
n
+ +
l chớnh phng.
HD: +
( )
3 2 8 5 5 mod8
n
n n
+ +
+ n=2: 25 l chớnh phng.
+ n=0 hoc 1 thỡ khụng tho món
6. Chng minh rng khụng tn ti
n

Ơ
24n+41 l chớnh phng.
HD: G/s 24n+41=t
2
+ Nu t chia ht cho 3 thỡ 24n+41=3(8n+13)+2 khụng chia ht cho 3
+ Nu t khụng chia ht cho 3 thỡ
( ) ( ) ( )

HD: D thy n = 0;1 ỳng.
Ngoi ra, cú n
2
+2n+1< n
2
+3n < n
2
+4n+4 hay (n+1)
2
< n
2
+3n< (n+2)
2
10. Tỡm
n

Ơ
n
2
+ 3 chia ht cho 5.
11. Tỡm
n

Ơ
n! + 97 l chớnh phng.
HD: Nu
5n

thỡ n!+97 cú tn cựng l 7 nờn khụng chớnh phng.
Nu n = 4 thỡ 24+97 = 121= n

nhng khụng chia ht cho 25.
15. Chng minh rng khụng tn ti
n

Ơ
n
2
+n+2 chia ht cho 3.
HD: G/s
n

Ơ
n
2
+n+2=3k khi ú n
2
+n+2-3k = 0 cú nghim nguyờn dng
Cú
( )
3 4 3 2k
= +
l s chớnh phng. iu ny vụ lớ vỡ
( )
2 mod3

16. Gi N=2.3.4P
n
l tớch ca n s nguyờn t u tiờn. Chng minh rng c 3 s N, N-1, N+1 u
khụng l s chớnh phng.
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 13

vi b l,
2
9 1;3;5;7;9 01;09;25;49;81b b b
= =

PCM
20. Chng minh rng mt s chớnh phng ln hn 100 cú tn cựng l 5 thỡ ch s hng trm l chn.
HD: Xột (10a+5)
2
=100a(a+1)+25. Vỡ a(a+1) chn . Ta cú PCM.
21. Tỡm
,x y

Ơ
2
x
+ 5
y
chớnh phng.
HD: G/s
( )
2 2
2 5
y
k k
+ =
Â
+ Nu x=0 thỡ 1+5
y
=k


x chn, x=2n
V t gi thit suy ra
( )
2 5
5 ( 2 ) 2 , ; ,
2 5
n a
y n n
n b
k
k k a b y a b
k

+ =
= + + =

=

Ơ
( )
1 1
2 5 5 1 5 1, 0 2 5 1
n b a b b n y
b hay a y
+ +
= = = = =
+ Nu y=2t thỡ 2
n+1
=25

Vỡ 0<(a-b)<8,
2 2
2 18 11 9.11.11.( )a b a b ab ba a b + + = =
chớnh phng hay (a-b)
chớnh phng, suy ra hoc a-b=1 hoc a-b=4
S: s 65
23. Tỡm s chớnh phng
abcd
bit
1ab cd
=
HD:
2
100 100(1 ) 100 101n abcd ab cd cd cd cd
= = + = + + = +
( ) ( )
10 10 101n n cd + =
.
Vỡ n<100 v 101 l nguyờn t nờn n+10=101 suy ra n=91.
24. (V Balan) Chng minh rng nu a, b l cỏc s nguyờn tho món h thc 2a
2
+a = 3b
2
+ b thỡ a - b v
2a + 2b+ 1 l cỏc s chớnh phng.
HD: Cú 2a
2
-2b
2
+a-b=b

+
−
−
+
+
a) Rút gọn P. b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn:
x
2
+ y = y
2
+ x.
Tính giá trị biểu thức : P =
1 -xy
xy
2
y
2
x ++
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
yx
y-x
+

Biết x
2
-2y
2
= xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức P =

+
+
+
−
−+
−+
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
2
a 4 a -4 a 4 a -4
8 16
1-
a
a
P
=
+ + −
+

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
P =























−
−
−
−
−
+
x
2
x2x
1x
:
x4
8x
x2

−
xy
yx
xxy
y
yxy
x
:
yx
xy -y
x
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
3
Bài 10: Cho biểu thức
P =
x
2007x
1x
14xx
1x
1-x
1x
1x
2
2
+
−
−−

:
baa
baa
baa
baa
−
−+
−−
−
−−
−+










Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
P =
2
2
x1
.
1x2x
2x

10x
3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x
x
++−
−+−
+
52.549
347.32
4
63
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 15: Cho biểu thức
P =
1x
1xx

P
x2
nhận g trị là số nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức
P =
1x2
x
1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x
−
+
−+
−
⋅
−
+
−
−
−+








−−++−++
xxxx
Với
2
1
≤ x ≤ 5.
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên.
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:

1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
=
−−

+−
Bài 25:Tính P =
2008
2007
2
2008
2
2007
2
20071
+
+
+
Bài 26:Rút gọn biểu thức sau:
P =
51
1
+
+
95
1
+
+ +
1
2005 2009
+
Bài 27:Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x
3
+ y



+
+
−
−
−
+
a
aa
a
a
a
a 1
4
1
1
1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 +
15
)(
10
-
6
)
154
−
Bài 29:Cho biểu thức

+
+
+++
+−
+
−+−
−+
1
1
11
11
11
11
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
2
2
.
Bài 31:Cho biểu thức
P =
1
2
1
3
1
1
+−
+
+
−

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33:Cho biểu thức
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34:Cho biểu thức
P =
x
x

11211
+
+++








++
+








+
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
.
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x
2
– 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.

luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện:
a
2
+ ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có
hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x
2
+ px + q = 0. Tìm p, q
biết rằng phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn:



=−
=−
35
5
3
2
3
1
21

2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
có nghiệm nếu
4
2
+≥
a
c
a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác
định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
2
1
x
-
2
2
x
=
9
5
Bài 10: Cho phương trình:
x
2
– 2(m + 4)x +m

phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x
1
,

x
2
là hai nghiệm của phương
trình bậc 2: 3x
2
- cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị
của biểu thức: S =
3
2
3
1
11
xx
+
Bài 12: Cho phương trình : x
2
- 2
3
x + 1 = 0. Có
hai nghiệm là x
1
,

x
2.

2
thỏa mãn điều kiện: x
1
2
+ x
2
2
= 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai
nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện: x
1
< 1 <

x
2
.
Bài 14: Cho phương trình:
x
2
– 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với
mọi giá trị của m.
b) Gọi x
1

b) Tìm m sao cho 10x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt
GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0,
tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình:
x
2
– (m - 1)x + m
2
+ m – 2 = 0 (1)

≥
10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
E = x
1
2
+ x
2
2
đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2:
x
2
+ ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
CMR: a
2
+ b
2
là một hợp số.
.
Giải phương trình:
Bài 1: x
3

6
+ (x - 4)
6
= 64
Bài 8: a) x
4
- 10x
3
+ 26x
2
- 10x + 1 = 0
b) x
4
+ 3x
3
- 14x
2
- 6x + 4 = 0
c) x
4
- 3x
3
+ 3x + 1 = 0
Bài 9: a) x
4
= 24x + 32
b) x
3
+ 3x
2

=
+x
x
Bài 13:20
0
1
4
48
1
2
5
1
2
2
2
22
=
−
−
+






−
+
−


4
156
1510
22
2
+−
=
+−
+−
xx
x
xx
xx
c)
4
1
56
55
54
53
2
2
2
2
−=
+−
+−
−
+−
+−

40
2
11
22
=






−
−
+






−
x
x
x
x
b)
0
1
4
2

x
x
x
x
x
c) x.
15
1
8
1
8
=






−
−
−
−
−
x
x
x
x
x
Boài döôõng hoïc sinh THCS 18
http://NgocHung.name.vn

2
=++
xx
Bài 22: a) (x - 2)
4
+ (x - 3)
4
= 1
b) x
4
+ 2x
3
- 6x
2
+ 2x + 1 = 0
c) x
4
+ 10x
3
+ 26x
2
+ 1 = 0
Bài 23: (x + 2)
2
+ (x + 3)
3
+ (x + 4)
4
= 2
( Đề thi HSG V1 2003)

Bài 27:
0
4
3
10
48
3
2
2
=






−−+
x
x
x
x
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a
2
+
b
2
) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x
2
+ 2) = 5

+
x
x
x
( Đề thi
HSG V2 2003)
Bài 32: a) x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x - 120 = 0
b) (x
2
- x + 1)
4
- 10(x
2
- x + 1)
2

+9x
4
= 0
Bài 33: (x + 3
x
+ 2)(x + 9
x
+18) =

+8x = m
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Định m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt.
Bài 37: Cho phương trình (x + a)
4
+ (x +
b)
4
= c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình
có nghiệm.
Bài 38: Giải phương trình: x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+
4x - 5 = 0
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương
trình: 4x
4
+ 8x
2
y + 3y
2
- 4y - 15 = 0.
Bài 40: x
2
+ 9x

Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tính giá trị biểu thức E =
yx
yx
+
−
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
M =
222
z
xy
y
xz
x
yz
++
Bài 4: Cho a

c
c
b
b
a
111
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
-z
3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x
+ y + z = 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1 .
Tính giá trị của biểu thức: A = x
2007

+ y
2007

+ z

Tính giá trị của biểu thức P = a
2007
+ b
2007
Bài 8: Cho
1=+
b
y
a
x
và
2
−=
ab
xy
. Tính
3
3
3
3
b
y
a
x
+
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu
thức
Boài döôõng hoïc sinh THCS 19
http://NgocHung.name.vn
P =

10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

xzzyzyxyx
++
+
++
+
++
1
1
1
1
1
1

= 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c

abcb
bc
caba
cb
−
+
−
+
−
=
−−
−
+
−−
−
+
−−
−
222
))(())(())((
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng:
))()((
1111
cpbpapp
abc
pcpbpap
−−−
=−
−

x
và
0=++
z
c
y
b
x
a
Tính giá trị biểu thức A =
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
0
=
−
+
−
+

2
– y
2
)
b) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh
rằng biểu thức
A = a
4
(b – c) + b
4
(c – a) + c
4
(a – b) luôn
khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a
+ b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều
kiện: 9y(y – x) = 4x
2
.
Tính giá trị biểu thức: A =
yx

z
zyxy
y
zxyx
x
−−
+
−−
+
−−
Bài 27:Cho





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx

Tính giá trị của biểu thức: P = x
2007

c
2
.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh
của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:





=++
=++
=++
15
8
3
zxzx
zyyz
zyxy
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương
trình:






=++

5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
(Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều
kiện: a
2
= b
2
+ c
2
.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a
3
và b
3
+ c
3
. (Đề thi HSG tỉnh
2006-2007)

2
2 1
1
x x
x
+ +
+
. Tìm GTNN, GTLN của
P và các giá trị tương ứng của x.
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) biết x,y
≥
0, x + y =
10
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
B = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
≤ 5.
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = x
2
+ y
2
. Biết x

P =
2 2
( 1990) ( 1991)x x
− + −
Bài 11) Cho M =
3 4 1 15 8 1a a a a
+ − − + + − −
a) Tìm điều kiện của a để M được xác
định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A
tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1 1 1
2
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
.
Tìm GTNN của P = x.y.z.
Bài 13) Tìm GTNN của P =
2 1
1 x x
+
−
Boài döôõng hoïc sinh THCS 21
http://NgocHung.name.vn
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x
2
+ 4y
2


Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y
≤
1.
Tìm GTNN của biểu thức
A =
2 2
1 2
x y xy
+
+
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu
thức P =
2
2
1 1
x y
x y
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu
thức P = 2(x
4
+ y
4

+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm
GTNN của biểu thức:
E =
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
     
+ + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1.
Tìm GTNN của:
P = a
3
+ b
3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
Tìm GTNN của P =
1 1
1 1a b
+
+ +
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN
của P =

y
= 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức
P =
2
2
2 2008x x
x
− +
Boài döôõng hoïc sinh THCS 22