BT Toán II CLC

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

1. Vẽ miền lấy tích phân
a)
 








4
0
15x
x
dxdy)y,x(f
2
b)
 









2

2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân kép
a)
 



1
1
x1
x1
2
2
dy)y,x(fdx
b)
 


1
0
y11
y2
2
dx)y,x(fdy
c)
 

2
0

 

3
0
x
1)1x(
2
dy)y,x(fdx
g)
 
2
1
xx4
0
2
dy)y,x(fdx
h)
 
1
0
xx4
0
2
dy)y,x(fdx

i)
 

1
0


1
0
y3
y
2
2
dx)y,x(fdy

n)
 


1
0
y1
y1
2
dx)y,x(fdy
o)
 


2
1
xx2
x2
2
dy)y,x(fdx
p)

3. Tính các tích phân kép
a)
 










3
1
x2
x
1
2
2
dxdy
y
x
b)


D
2
dxdy)xy(x
, với D giới hạn bởi các đường



D
dxdy)yx1(
, trong đó D là miền giới hạn bởi
1) x + y = 0, x =
y
, y = 2 2) 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 2x
BT Toán II CLC

f)


D
dxdy)yx(
, trong đó D là miền giới hạn bởi
1) y = x, y = 2x, y = x
2
, y = 3x
2
2) Tam giác A(1,1), B(4,1), C(4,4)
3) y = x + 1, y = x - 1, y = 2, y = 3 4) y = x + 1, x = y
2
, y = ± 1
g)


2
a
x
+
2
2
b
y
≤ 1, y ≥ 0 c) x
2
+ y
2
≤ ax
d) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 – x e) a
2
≤ x
2
+ y
2
≤ b
2
f) -a ≤ x ≤ a,
a
x
2
≤ y ≤ a
5. Đổi các tích phân sau sang hệ toạ độ cực với các thứ tự lấy tích phân khác nhau
a)
 
1

22
dy)yx(fdx
e)

D
dxdy)y,x(f
, D giới hạn bởi (x
2
+ y
2
)
2
= a
2
(x
2
- y
2
)
6. Đổi thứ tự trong các tích phân sau
a)
 





2
2
cosa

22
22
dy)yx1ln(dx
(R > 0) b)
 



R
0
xRx
xRx
22
2
2
dyyxRxdx
(R > 0)
c)

D
xydxdy
, với D giới hạn bởi
1) (x - 2)
2
+ y
2
≤ 1 2) (x - 2)
2
+ y
2

222
)yx(
dxdy
, D = {(x,y) : 4y ≤ x
2
+ y
2
≤ 8y, x ≤ y ≤
3
x}
f)



D
22
22
dxdy
yx1
yx1
, D : x
2
+ y
2
≤ 1 g)


D
22
dxdy


D
dxdy1
x
y
, D: 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 2x h)


D
22
yx
xydxdy
, D là tam giác O(0,0), A(3,3), B(3,0).
i)


D
22
yx4
dxdy
, D:






2

l)


D
22
dxdy)yx(
, D là miền giới hạn bởi
1) x + y = 0, y = 1, y = 2, y = x 2) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
3) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
2
4) x
2
+ y
2
≤ 2x 5) x
4
+ y
4
≤ 1
5) phần của nửa hình tròn {(x,y) : x
2
+ y
2
≤ y, x ≥ 0}, nằm ngoài hình tròn {(x,y) : x
2
+ y
2
≤ x}

, áp dụng tính với f(x,y) = (2 - x - y)
2

9. Tính các tích phân sau
a)

D
xydxdy
, trong đó D là miền giới hạn bởi xy = 1, xy = 3, y
2
= 2x, y
2
= 4x
b)


D
dxdy)yx(
, trong đó D là miền giới hạn bởi
1) x
2
+ y
2
= 2(x + y) 2) x
2
+ y
2
= x + y
3) 2x + y - 3 = 0, 2x + y + 2 = 0, 3x - y + 1 = 0, 3x - y - 2 = 0
c)


)tcos1(ay
)tsint(ax
, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0
f)


D
3/23/2
dxdy)yx(
, với D là miền giới hạn bởi đường x
2/3
+ y
2/3
= a
2/3
(a > 0)
10. Tính các tích phân sau
a)
dxdyyx
D


, D: {(x,y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} b)


D
2
dxdy|xy|
, D = {(x,y) : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}


D
dxdyxy
, D: x
2
+ y
2
≤ 2y f)



1|y||x|
dxdy|)y||x(|

g)


D
dxdy|)yxcos(|
, D = {(x,y)|0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π - x}
h)


D
22
dxdy|yxx2|
, D = {(x,y)|x
2
+y
2

e) x = 4y - y
2
, x + y = 6 g) x + y = 2, y
2
= 4x + 4, y ≥ 0 h) y
2
+ 2y - 3x + 1 = 0, 3x - 3y - 7 = 0
i) y = 2x, y = 2 - x, y = 4 j) (x
2
+ y
2
)
2
= 2ax
3
(a > 0) k) (y - x)
2
+ x
2
= 1
l) xy = 1, xy = 8, y
2
= x, y
2
= 8x m) y
2
= x, y
2
= 16x, y
2

3
+ y
3
= axy (a > 0) e) r = a(1 + cosφ) (a > 0)
13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) (x - 2y + 3)
2
+ (3x - 4y - 1)
2
= 100 b)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
=
h
x
+
k
y

c)
4
a
x

BT Toán II CLC

d) 3x + y = 1, 3x + 2y = 2, y = 0, z = 1 - x - y, z = 0.
e) z = y
2
, x
2
+ y
2
= 1, z = 0 f) x = 4 - y
2
, x = 2 + y
2
, z = -1, z = 2
g) z = x + y, y = x, y = 2x, z = 0, xy = 1, xy = 2
h) x
2
+ 4y
2
+ z = 1, z = 0
i) y = x
2
+ 1, z = 3x, y = 5, z = 0 (x,y,z ≥ 0)
j) x = 2y
2
, x + 2y + z = 4, y = 0, z = 0 k) z = xy, x + y + z = 1, z = 0
l) z = x + y, z = xy, x + y = 1, x = 0, y = 0
15. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi
a) z = 4 - x
2

= z, 2 - z =
22
yx 
e) z = 4 - x
2
- y
2
, 2z = 2 + x
2
+ y
2
f) x
2
+ y
2
= 4, 2z = x
2
+ y
2
, z = 0 g) 2z = x
2
+ y
2
, z = 6 - x
2
- y
2
h) z = 1 - x
2
- y

2
+ y
2
+ z
2
≤ 1 nằm trong mặt trụ x
2
+ y
2
= y
m) x = 0, y = 0, x = 4, y = 4, z = x
2
+ y
2
+ 1
16. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a) z = 6 - x
2
- y
2
, z =
22
yx 
b) z =
22
yx 
, z = x
2
+ y
2

2
(a > 0) f) z
2
= xy, x
2
+ y
2
= a
2

g) z = x + y, (x
2
+ y
2
)
2
= 2xy, z = 0 h) x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
, x
2
+ y
2
≥ a|x|
i) z = x

2
b
y
=
a
x2
(a,b > 0) b)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
= 1,
2
2
a
x
+
2
2
b

a
x








= 1, x = 0, y = 0, z = 0 f)
n
n
a
x
+
n
n
b
y
+
n
n
c
z
(n > 0, x,y,z ≥ 0)
18. Tính diện tích
a) Phần mặt nón z
2
= x

d) Phần mặt nón z
2
= x
2
+ y
2
bị chắn bởi mặt y
2
= z
e) Phần mặt nón z =
22
yx 
, nằm trong mặt trụ (x
2
+ y
2
)
2
= a
2
(x
2
- y
2
)
f) Phần mặt z = xy bị chắn bởi x
2
+ y
2
= 4

+ z
2
nằm trong mặt trụ x
2
+ z
2
= 1
l) Phần mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
nằm trong mặt trụ x
2
+ y
2
= ay (a > 0)
l) Phần mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 nằm trong mặt trụ x
2
/4 + y
2

p) Phần mặt x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
, nằm phía ngoài các hình trụ x
2
+ y
2
= ±ax
19. Tính tích phân
a)

V
zdxdydz
, trong đó V là miền giới hạn bởi 1) 0 ≤ x ≤ ¼, x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤
22
yx1 

2) x + y = 1, x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 (x,y,z ≥ 0) 3) x + y + z ≤ 1 (x,y,z ≥ 0)
b)



, V giới hạn bởi z = 0, z = a, x = 0, y = 0, x + y = b (a,b > 0)
g)

V
2
dxdydzx
, V giới hạn bởi z = ay
2
, z = by
2
, y > 0, z = αx, z = βx, z = h (0 < a < b, 0 < α < β, h > 0)
BT Toán II CLC

20. Tính các tích phân
a)


V
22
zdxdydz)yx(
, V giới hạn bởi
1) x
2
+ y
2
≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2 2) x
2
+ y

c)


V
2
dxdydz]z)yx[(
, V giới hạn bởi z = 0, (z - 1)
2
= x
2
+ y
2

d)


V
22
zdxdydzyx
, V giới hạn bởi x
2
+ y
2
= z, z = 1
e)


V
22
yx1

, 0 ≤ z ≤ h g)


V
22
dxdydzyxz
, V: x
2
- 2ax + y
2
≤ 0, 0 ≤ z ≤ b
21. Tính các tích phân
a)


V
22
dxdydz)yx(
, V: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1, x
2
+ y
2
- z
2

V
22
dxdydzyx
, V giới hạn bởi x
2
+ y
2
= z
2
, z = 1
d)


V
222
dxdydzzyx
, V:
1) x
2
+ y
2
+ z
2
≤ z 2) x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a

2
dxdydz)zyx(
, V: 2z ≥ x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3
h)

V
2
dxdydzx
, V: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a
2
i)


V

≤ a
2
, z ≥ 0
BT Toán II CLC

22. Tính các tích phân
a)


V
22
dxdydzyxz
, trong đó V là
1) Miền giới hạn bởi các mặt x
2
+ y
2
= 2x, z = 0, z = a.
2) Nửa hình cầu x
2
+ y
2
+ z
2
≤ a
2
, z ≥ 0 (a > 0)
3) Nửa khối elipsoid
2
22

2
2
2
2
dxdydz
c
z
b
y
a
x
, V:
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
≤ 1 (a, b, c > 0)
d)




V
322
dxdydz)zxy(
, V giới hạn bởi x
2
+ y
2
= 1, y = 0, y = 1
23. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a) 0 ≤
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x

≤ 1, -h ≤ z ≤ h b) (x
2
+ y
2
+ z
2

b
y
a
x









=
h
x
f)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
4
4
c

+
2
2
b
y
h)
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x









=
2

, x
2
+ y
2
= z
2
(z ≥ 0, 0 < a < b)
j)
2
2
a
x
+
2
2
b
y
+
2
2
c
z
= 1,
2
2
a
x
+
2
2