Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
Các dạng toán điển hình và phơng pháp giải về dãy số
1. Muốn làm đợc các bài toán về dãy số ta càn phải nắm đợc các kiến
thức sau:
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến
một số chẵn Vì vậy, nếu:
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lợng các số lẻ bằng
số lợng các số chẵn.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lợng các số
chẵn bằng số lợng các số lẻ.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lợng các số
lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lợng
các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.
a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lợng các số trong
dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.
b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lợng các số
trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trớc số đầu tiên.
2. Các bài toán về dãy số có thể phân ra các loại toán sau:
+ Dãy số cách đều:
- Dãy số tự nhiên.
- Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
+ Dãy số không cách đều.
- Dãy Phi bo na xi
- Dãy có tổng(hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
+ Dãy số thập phân, phân số:
3. Cách giải các dạng toán về dãy số:
Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trớc một dãy số
Trớc hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trớc nó

a, , 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.
b , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.
*) Giải:
a. Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2
Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2
Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2
Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2

Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số hạng của dãy
số gấp đôi số hạng liền trớc đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 2 = 2.
b. Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10
Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9
Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8
Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7

Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng bằng 11 nhân
với số thứ tự của số hạng ấy.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11.
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :
a. 3, 9, 27, , 729,
b. 3, 8, 32, , 608,
Muốn tìm đợc các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim đợc quy luật của
mỗi dãy số đó.
a. Ta nhận xét : 3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số

Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
Ta đánh số thứ tự các ô nh sau:
783 998
ô
1
ô
2
ô
3
ô
4
ô
5
ô
6
ô
7
ô
8
ô
9
ô
10
Theo điều kiện của đề bài ta có:
783 + Ô
7
+ Ô
8
= 2002.
Ô

Một số lu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trớc hết phải xác định đợc
quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6). Từ đó mà
học sinh có thể điền đợc các số vào dãy đã cho.
* Bài tập tự luyện:
1. 13, 19, 25,,
Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào?
Số nào suy nghĩ thấp cao?
Đố em đố bạn làm sao kể liền?
2. Viết số hạng còn thiếu trong dãy số sau:
a. 7, 10, 13,, 22, 25.
b. 103, 95, 87,, 55, 47.
3.
1
99

Là số hạng cuối đây mà
Dãy số: 9 số hạng nha
Số hạng đứng trớc gấp 3 sau liền
Đố em tôi, đố bạn hiền
Dãy số có số đầu tiên là gì?
Là gì nhanh đáp khó chi!
Đố anh, đố chị cung nhau thi tài.
4. Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng:
a. n = 14,2
2,7 8,5
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
b. n = 14,3
2,7 7,5
Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không?
Cách giải của dạng toán này:

thích tại sao?
*) Giải:
a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết
cho 5.
b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3
đều 2, mà 2002 chia 3 thì d 1.
c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24, vì:
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trớc nhận
với 2; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trớc là số
chẵn, mà 798 chí cho 2 = 399 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho
3.
- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
4. Cho dãy số: 1, 2, 2; 3, 4;; 13; 14, 2.
Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?
*) Giải:
- Ta nhận xét: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;
Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng sau hơn
số hạng liền trớc nó 1,2 đơn vị:
- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.
Ví dụ: (13 - 1) : 1,2
(3,4 - 1) : 1,2
(34,6 - 1) : 1,2 = 28 d 0.
Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.
5. Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1997,, 55, 52, 49.
Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?
100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999?

Số các số hạng của dãy = số khoảng + 1.
- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trớc ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy
số thì số đó bằng tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì đợc tính
theo công thức:
( 1)
2
nx n
Ví dụ:
1. Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,, 1992
a. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b. Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là
số mấy?
*) Giải:
a. Ta có:
2 4 6 8 10 1992
4 2 = 2 ; 8 6 = 2
6 4 = 2 ;
Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng
trớc cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dựa vào công thức trên:
(Số hạng cuối số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Ta có: Số các số hạng của dãy là:
(1999 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).
b. Ta nhận xét:
Số hạng thứ 2 là: 4 = 2 2 = 2 + (2 1) x 2
Số hạng thứ 2 là: 6 = 2 + 4 = 2 + (3 1) x 2
Số hạng thứ 2 là: 8 = 2 + 6 = 2 + (4 1) x 2

Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
Số hạng thứ 2002 là: 2 + (2002 1) x 2 = 4004

3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + x (n 1) = 11703
3 + 15 (1 + 2 + 3 + n 1) = 11703
3 + 15 x (1 + n 1) x (n 1) x (n 1) : 2 = 11703
15 x n x (n 1) = (11703 3) x 2 = 23400
n x (n 1) = 23400 ; 15 = 1560
Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560)
Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
4. Trong các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là 102 và số lớn nhất có 3 chữ
số chí hết cho 3 là 999.
Nh vậy: Các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là:
(999 - 102) : 3 + 1 = 300 (số)
Đáp số: 300 số.
5. Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, 195.
a. Tính số chữ trong dãy.
b. Chữ số thứ 195 là chữ số nào?
*) Giải:
a. Ta viết lại dãy số:
1, 9, 10, 99, 100, , 195
Trong dãy có 9 số gồm 1 chữ số; các số này cho 9 chữ số.
Có 90 số gồm 2 chữ số; các số này cho 2 x 90 = 180 chữ số.
Có 96 số gồm 3 chữ số; các số này cho 3 x 96 = 288 chữ số.
Vậy chữ số trong dãy là:
9 + 180 + 2 = 477 (chữ số)
b. Trên đây ta đã tính đợc số chữ số trong từng đoạn của dãy.
19, 1099, 100, 195
9 180 288
477
Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 là chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến
195, vì 195 189 = 6, nên đây là chữ số thứ 6 trong đoạn từ 100 đến 195.

Từ sơ đồ trên ta suy ra:
Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng số hạng cuối.
Số cuối của dãy tổng x 2 : số số hạng số đầu.
Ví dụ:
1. Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên
*) Giải:
19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37.
Ta thấy: 1 + 37 = 38 ; 5 + 33 = 38
1 + 35 = 38 ; 7 + 31 = 38
Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta đợc các cặp số đều có tổng
số là 38.
Số cặp số là:
19 : 2 = 9 (cặp số) d một số hạng.
Số hạng d này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19
số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
39 x 9 + 19 = 361
Đáp số: 361.
Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dự lại số
hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì
việc tìm số hạng còn lại không sắp sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể làm cách 2 nh
sau: 19 1 = 18 (số hạng)
Ta thấy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 40
5 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40

Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì
đợc các cặp số có tổng là 40.
Số cặp số là: 18 ; 2 = 9 (cặp số)
Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc

Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là:
45 x 20 = 900
Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đều bằng tổng các chữ số hàng
chục trong 10 dòng sau và bằng:
1 x 10 + 2 x 10 + + 9 x 10 = (1 + 2 + +) x 10 = 45 x 10 = 450
Vậy tổng các chữ số hàng chục là:
450 x 2 = 900
Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là 100.
Vậy tổng các chữ số của dãy số này là:
900 + 900 + 100 = 1900
Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là:
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
1900 (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830
- Cách 2: Ta bổ sung thêm số 0 và các số từ 196 đến 199 vào dãy và ghép
các số thành cặp: 0, 199
1, 198
2, 197

x, 199 x
Ta thấy các tổng các chữ số của mỗi số này đều bằng 19 (nếu số x có 2
chữ số là a, b thì 199 x có các chữ số là: 1, 9 a và 9 b.
Tổng các chữ số x và 199 x là:
a + b + 1 + 9 a + 9 b = 1 + 9 + 9 = 19.
Vậy tổng các chữ số của dãy số bổ sung là:
19 x 100 = 1900
Sau khi bớt đi các chữ số của các số bổ sung nh cách giải trên, ta đợc tổng
cần tìm là 1830.
Trong Toán họcnói riêng và trong khoa học nói chung, chúng ta thờng nhờ
vào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát hiện ra những kết luận 9gọi là
giả thuyết) nào đó. Sau đó chúng ta sử dụng duy luận diễn dịch hoặc quy nạp

1
4
1
8
1
8
7
2
1
4
1
8
1
16
1
16
15
Vậy, cứ nh thế ta có
2
1
4
1
8
1
16
1

512
1
512

512
1
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
=
512
1248163264128256 ++++++++
=
512
511
Đáp số:
512
511
Cách 2: Ký hiệu:
S =
2
1
+
4
1
+
8
1
+
16
1
+
32
1
+
64

Ta thấy: 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19
9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19

Nếu ta bỏ số đầu tiên và sắp xếp các cặp số cách đều 2 đầu dãy vào nh
trên thì đợc các cặp số đều có tổng là 19, còn lại 9,005 cha đợc tính.
Số cặp số sắp xếp đợc là:
998 : 2 = 499 (cặp số) cha kể hai số 9,000 và 9,500
Tổng tất cả các số của dãy số trên là:
19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5
Đáp số: 9499,5
* Bài tập tự luyện:
1. Tính tổng:
a. Của tất cả các số lẻ bé hơn 100
b. 1 + 4 + 9 + 16 + + 169
2. Tính nhanh tổng của các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tơng tự rồi suy
ra cách tính của dãy số cách đều?
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
3. Tính nhanh các tổng sau:
a. 1 + 2 + 3 + + 999
b. 1 + 4 + 7 + 10 + + x (cha biết x là số thứ 50)
c. Tính nhanh tổng của tất cả các số coá 3 chữ số.
d. 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.
Dãy số trên có 10 số hạng
Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh
Đố em, đố chị, đố anh
Tìm ra phơng pháp tính nhanh mới tài.
4. a. So sánh S với 2. Biết rằng:
S = 1 +
3
1

b.
2
1
+
4
1
+
8
1
+ +
1024
1
+
2048
1
+
4096
1
= ?
Phép cộng phân số kia khó gì?
Kê đủ số hạng ra thì uổng công
Cách gì ai tỏ ai thông
Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờ
Đố bạn hiền đó em thơ
Đố ai ai biết đây nhờ giải mau.
Dạng 5: dãy chữ
Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học
sinh phải tính toán phức tạp. Ngợc lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi
học sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những
hiểu biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng

a. Nhóm chữ THI XA THAI BINH có 13 chữ cái:
2002 ; 13 = 154 (nhóm)
Nh vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, ngời ta đã
viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ
H của tiếng BINH.
b. Mỗi nhóm chữ THI XA THAI BINH có 2 chữ T và cũng có 2 chữ A và 1
chữ N. Vì vậy, nếu ngời ta đếm đợc trong dãy số có 50 chữ T thì tức là ngời đó
đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N.
c. Bạn đó đếm sai, vì dố chữ A trong dãy phải là số chẵn.
d. Ta nhận xét:
+ 2001 chia cho 4 d 1.
+ Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia hết cho 4 d 1 thì đợc
tô màu XANH.
Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy đợc tô màu XANH.
4. Một dãy số gồm các nhóm chữ nh sau:
Hãy cố gắng, Hãy cố gắng, Hãy cố gắng
a. Em hãy cho biết chữ cái thứ 273 trong dãy là chữ gì?
b. Nếu trong dãy số có 426 chữ A thì dãy số có bao nhiêu chữ N?
*) Giải:
a. Ta thấy rằng nhóm chữ Hãy cố gắng có 9 chữ cái và 273 : 9 = 30
(nhóm) và d 3 chữ cái. Nh vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 273 trong
dãy thì nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết đợc 30 lần nhóm và 3 chữ cái tiếp
theo là chữ HAY.
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
Vậy chữ cái thứ 273 là chữ Y.
b. Mỗi nhóm chữ trong dãy trên có hai chữ A và có 1 chữ T. Để dãy có 426
chữ A thì chữ Hãy cố gắng phải viết là 426 : 2 = 213 (nhóm)
Nhng có những khả năng sau đây:
- Nhóm chữ cái thứ 213 chỉ viết là Hãy cố ga, khi đó nhóm chữ cuối
này không có chữ N, nên chữ N trong dãy là: 213 1 = 212 (chữ).

5. Ngời ta viết các chữ cái dạy tốt, học tốt, thành DAY TOT
HOC TOT bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu.
Hỏi chữ cái thứ 2002 là chữ cái gì? Màu gì?
Nội dung 3: Một số lu ý khi giải toán về dãy số
Trong bài toán về dãy số thờng, ngời ta cho biết cả dãy số (vì dãy số có
nhiều số không thể viết ra hết đợc) vì vậy, phải tìm ra đợc quy luật của dãy (mà
có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm đợc các số mà dãy số khô cho biết. Đó
Chuyờn gii toỏn v dóy s tiu hc
là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu
hiệu chia hết để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài toán về tìm chữ số cuối
cùng của dãy (khi biết dãy đó có tất cả bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm số
khoảng cách của dãy số bằng cách lấy dãy đó có bao nhiêu số hạng trừ đi 1, sau
đó tìm hiệu của số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối cùng và số đầu bằng
khoảng cách giữa 2 số nhân với số khoảng cách. Từ đó tìm đợc số cuối cùng của
dãy bằng hiệu của số cuối và số đầu cộng với số đầu tiên của dãy.
ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay
không? Ta cần xem dãy số cho trớc và số cần xác định có cùng tính chất hay
không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số d) thf số đó thuộc
dãy đã cho.
ở dạng 3: Có các yêu cầu sau:
+ Tìm tất cả các chữ số của dãy.
+ Tìm tất cả các số hạng của dãy.
Khi giải cũng tính bằng một công thức nh ở phần cách giải đã nói.
+ Tìm chứ số thứ n của dãy.
Ta cần phải tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của
dãy là số có bao nhiêu chữ số, từ đó tìm ra câu hỏi của bài toán.
+ Tìm số hạng thứ n của dãy.
Ta chỉ cần tìm đấn quy luật của dãy là đợc (nếu là dãy số cách đều),
nếu là dãy số (không cách đều) đợc tính theo công thức n x (n 1) : 2.
ở dạng 4: Có các yêu cầu: