TS Trần Văn Vuông
Giải toán 12 trên máy tính
đồ sơn 2008
1. Giải toán 12 trên máy tính cầm tay
1.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Bài toán 1.1.1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x
4
- 8x
3
+ 22x
2
- 24x + 1.
KQ: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (3; +), nghịch biến trên các
khoảng (- ; 1) và (2; 3).
Bài toán 1.1.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số
y = x
4
-3x
2
+ 2x +1.
KQ: y
CĐ
1,3481; y
CT1
- 3,8481; y
CT2
= 1.
Bài toán 1.1.3. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
1 5 2x x +

KQ: y = - 4x ; y =
1 17
4
x
.
1.2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài toán 1.2.1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A =
2ln5 4lg7
8
5lg8 9ln 208

+
.
KQ: A 0,0136.
Bài toán 1.2.2. Giải phơng trình 3
2x + 5
= 3
x + 2
+ 2.
KQ: x = - 2.
2
Bài toán 1.2.3. Giải gần đúng phơng trình 9
x
- 5ì3
x
+ 2 = 0.
KQ: x
1
1,3814; x
2

.
Bài toán 1.2.6. Giải gần đúng phơng trình
2
2 2
8log 5log 7 0x x =
.
KQ: x
1
2,4601; x
2
0,6269.
1.3. Tích phân và ứng dụng
Bài toán 1.3.1. Tính các tích phân:
a)
2
3 2
1
(4 2 3 1)x x x dx + +

; b)
2
1
3
0
x
x e dx

; c)
2
0

; c)
2
0
sin
2 cos
x xdx
x

+

.
KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673.
Bài toán 1.3.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = 2x
2
+ 5x - 2 và y = x
3
+ 2x
2
- 2x + 4.
KQ: S = 32,75.
Bài toán 1.3.4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x
2
+ 5x - 1 và y = x
3
+ 4x
2
+ 5x - 5 quanh trục hoành.
KQ: V =

i
.
Bài toán1.4.2. Giải phơng trình x
2
- 6x + 58 = 0.
KQ: x
1
= 3 + 7i ; x
2
= 3 - 7i.
Bài toán 1.4.3. Giải gần đúng phơng trình x
3
- x + 10 = 0.
KQ: x
1
- 2,3089; x
2
1,1545 + 1,7316i; x
3
1,1545 - 1,7316i.
Bài toán 1.4.4. Giải gần đúng phơng trình 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 = 0.
KQ: x
1
- 2,62448; x
2
0,5624 + 0,7976i; x

c) S 17,3638.
Bài toán 1.5.4. Cho hai đờng thẳng

+ = + =+ = + + =

1 2
2x 3y 6 0 4x 5y 10 0
d : d :
5y 7z 3 0 x y z 4 0
4
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(10; 2; 1) và vuông góc với đờng
thẳng d
2
.
c) Tìm toạ độ giao điểm M của đờng thẳng d
1
và mặt phẳng (P).
KQ: a) 62
0
23 0; b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0;
672 726 459
M ; ;
139 139 139


ữ

= (8; - 4; - 6). c) V = 3.
Bài toán 1.5.6. Cho hai đờng thẳng
= +


= +


=

x 3 4t
: y 2 3t
z 5t
và
=


= +


= +

x 1 2t
d : y 2 7t
z 1 t.
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.
b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó.
KQ: a) 69
0
43 56; b) 0,5334.

và vẽ đồ thị hàm số đó với x từ - 5 đến 5, y từ - 5 đến 5.
> f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6;
:= f x + x
3
6 x
2
11 x 6
> f(2);
0
> f(m);
+ m
3
6 m
2
11 m 6
> f(Pi/3);
+
1
27

3
2
3

2
11
3
6
> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5);
6

-1
2
x x 1 { } 2 x
Vậy tập xác định đó là D =
[
)
1
;1 2;
2





.
2.1.3. Tìm cực trị của hàm số
Để tìm cực trị của một hàm số, trớc hết ta phải tính đạo hàm của hàm số và tìm
nghiệm của đạo hàm. Cấu trúc lệnh của đạo hàm nh sau:
diff(hàm số, đối số);
Tại vị trí của hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số. Tại vị trí đối`số ta
phải nhập chữ cái chỉ đối số. Cấu trúc lệnh tìm nghiệm của đạo hàm (của đối số x) là:
solve(đạo hàm, {x});
7
Tại ví trí của đạo hàm ta phải nhập biểu thức của đạo hàm hoặc ký hiệu % nếu kết
quả tính đạo hàm vừa mới có ở dòng trên liền kề.
Sau đó, có thể tính đạo hàm cấp 2 và giá trị của đạo hàm cấp 2 tại nghiệm của đạo
hàm rồi kết luận về cực trị. Cấu trúc lệnh của đạo hàm cấp 2 nh sau:
diff(hàm số, đối số, đối số);
hoặc diff(hàm số, đối số$2);
Bài toán 2.1.3.1. Tìm các cực trị của hàm số y = x

:= g x 12 x
2
6
> g(1);
6
> g(-1/2+1/2*3^(1/2));
12








+
1
2
3
2
2
6
> simplify(%);
6 6 3
> g(-1/2-1/2*3^(1/2));
12





2
4
3








+
1
2
3
2
2
3
> simplify(%);
+
5
4
3 3
2
> f(-1/2-1/2*3^(1/2));






3 3
2
Nh vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Các giá trị cực
tiểu là f(1) = 1 và
1 3 5 3 3
f
2 2 4 2

=
ữ
ữ

. Giá trị cực đại là
1 3 5 3 3
f
2 2 4 2

+ = +
ữ
ữ

.
Có thể yêu cầu vẽ đồ thị hàm số này để thấy các cực trị đó một cách trực quan.
> plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3..3,y=-4..2);
2.1.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
maximize(f(x),x = a .. b);
Cấu trúc lệnh tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
minimize(f(x),x = a .. b);
9

+
.
> (x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x-1)/
(x^2+x-2),parfrac,x);
=
+ x
3
2 x
2
4 x 1
+ x
2
x 2
+ + x 3
25
3 ( ) + x 2
2
3 ( ) x 1
Vậy đồ thị hàm số này có ba đờng tiệm cận x = - 2, x = 1 và y = x 3.
2.1.6. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
Đây là việc giải hệ phơng trình.
Bài toán 2.1.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x
2
+ 7x - 5 và
y =
2
8 9 11
1
+
+