ĐỊNH THỨC
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: [email protected]
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 1 / 67
Bài toán thực tế
Bài toán thực tế - Tính diện tích tam giác
S =
1
2
abs|[
−→
AB,
−→
AC ]| =
1
2
abs






2, 5 1 1
3 2 1
1 3 1


, c
2
, c
3
)
⇒ V = abs([
−→
a ×
−→
b ],
−→
c ) = abs






a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3

) là một số, được
ký hiệu là detA hoặc |A|.
Vậy
det : M
n
(K ) → K
A → detA.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 5 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi M
ij
là định thức con phụ của phần tử a
ij
.
Định thức M
ij
là định thức cấp (n − 1) thu được
bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của
định thức |A|
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 6 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
|A| =



.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)j
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a
i(j−1)
a
ij

.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a
nj
a
n(j+1)
. . . a
nn
















.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j −1)
a
(i−1)(j +1)
. . . a
(i−1)n
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j −1)
a
(i+1)(j +1)
. . . a











(n−1)×(n−1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 8 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
là phần bù đại số của
phần tử a
ij
.
Định nghĩa









a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a








=
n

j=1
a
1j
A
1j
=
=
n

j=1
a
1j
.(−1)
1+j
M
1j
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 10 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1

= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
3
n = 3, A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a

a
22
a
23
a
32
a
33




+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a
23
a
31
a
33



1 2 3
4 2 1
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A
11
+ 2.A
12
+ 3.A
13
.
A
11
= (−1)
1+1




2 1
1 5




= 2.5 − 1.1 = 9,
A
12
= (−1)

Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
hàng bất kỳ.
detA =











a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.

nj
. . . a
nn











=
n

j=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 13 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
cột bất kỳ.
detA =




i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn





21
+ 2.A
22
+ 0.A
23
= 2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 15 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0


Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A






a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn


. . . a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn









=
= . . . = a
11
.a
22

.
.
.
.
.
a
n1
a
m2
. . . a
nn









= a
11
.(−1)
1+1
.















=
= . . . = a
11
.a
22
. . . . a
nn
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 18 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Định lý
Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A
bằng định thức của ma trận A: detA
T
= detA.
Ví dụ
Cho A =


1 3 5
2 4 6
2 1 8

−−−−−−−→ B thì detB = −detA .
2
Nếu A
h
i
→λh
i
(c
i
→λc
i
)
−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với
λ = 0.
3
Nếu A
h
i
→h
i
+λ.h
j
(c
i
→c
i
+λc
j
)
−−−−−−−−−−−−−→ B thì

i
)
−−−−−−−−→ B với λ = 0 là tỉ số đồng dạng, nên
detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma
trận có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên
detB = 0 ⇒ detA = 0.
3
Định thức của ma trận sơ cấp khác không.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 21 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức








2 3 −4 5
3 −5 2 4
5 4 3 −2
−4 2 5 3







4
→h
4
+2h
1








2 3 −4 5
1 −8 6 −1
5 4 3 −2
0 8 −3 13








h
1
→h
1
−2h

2+1
.






19 −16 7
44 −27 3
8 −3 13






=
= −2858.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 22 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức











c
1
→c
1
+c
2
+c
3
+c
4
======








x + 3a a a a
x + 3a x a a
x + 3a a x a
x + 3a a a x





2
−h
1
h
3
→h
3
−h
1
h
4
→h
4
−h
1
==== (x+3a)








1 a a a
0 x − a 0 0
0 0 x − a 0
0 0 0 x − a



.
A
i∗
.
.
.
A
n∗









=









A
1∗
A




A
1∗
A
2∗
.
.
.
B
i∗
.
.
.
A
n∗









+ µ.det




Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức






a + x x x
x b + x x
x x c + x












a + x x x
x b + x x
x x c + x









=






x x x
x x x
x x c + x






+






x x x
0 b 0

x x x
0 b 0
x x c + x






+






a 0 0
x b + x x
x x c + x






=
bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 25 / 67