HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) : ta phải mở rộng mặt phẳng để tìm
điểm chung
+) Nếu biết một điểm chung thì ta lấy mặt phẳng thứ ba (R) không qua điểm chung và
qua một đường thẳng

thuộc (P) hoặc (Q) , giả sử là( P). Sau đo tìm giao tuyến của (R) và (Q)
là d . Giao của d và

sẽ thuộc P,Q
+) Nếu chưa biết điểm chung nào thì ta làm như trên hai lần
Muốn dựng

qua M và d,d’ trong không gian chéo nhau ta làm như sau:
Ta tìm giao điểm của d (hoặc d’) với mặt phẳng P qua đường thẳng d’ (hoặc d) và chứa
M, bằng cách tìm giao tuyến

của P và mặt phẳng qua d ,

sẽ cắt d tại N cũng thuộc P nên
MN cũng cắt d’. Suy ra MN là đường thẳng cân dựng
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian, và đường thẳng c.Cách dựng
đường thẳng

// c đi qua a, b như sau:
+) Tìm hoặc dựng mặt phẳng (P) qua a ( hoặc b ) và //c ( Tìm d cắt a hoặc b và // c thì
(P) là (a,d) hoặc (b,d))
+) Lấy giao của b (hoặc a ) với (P)
+) Từ giao điểm đó dựng đường thẳng

// c sẽ cắt a (hoặc b)

’ qua điểm cố
định nào đó và hợp với d’ góc nào đó, từ đó dựng ngược trở lại (P).
Hoặc ta tính khoảng cách từ một điểm trên

tới (P) để suy ra những điều cần thiết để
dựng thiết diện
Nếu (P) vuông góc với đường thẳng hay mặt phẳng nào đó thì quy về dựng qua đường
thẳng nào đó
Bài 1:
Cho tứ diện ABCD; X,Y,Z thuộc AB,AC,AD , M ∈(BCD). Gọi N =AM ∩(XYZ). Tìm N
Bài 2 :
Cho tứ diện ABCD,M∈[CD], K ∈(ABC),L ∈(ACD) ,N =KL ∩ (ABM).vẽ N
Bài 3 :
Cho tứ diện ABCD, K ∈(ABC),L ∈(ACD). Tìm KL ∩(BCD)
Bài 4 :
Cho tứ diện ABCD, M nằm trong tứ diện . A’,B’,C’,D’ là giao của AM,BM,CM,DM với
(BCD),(ACD),(ABD),(ABC).CMR:
a)

1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
=+++
'

,,,,,max
'
,,max
'
,max
'
'
'
>>>
Bài 5 :
Cho tứ diện S.ABC,G là trọng tâm ABC; A’,B’,C’ bất kì trên cạnh SA,SB,SC , AG
giao (A’B’C’) tại G’. CM:
∑
=
'' SG
SG
3
SA
SA
Gợi ý:Gọi A
1
,B
1
,C
1
là trung điểm BC,CA,AB. A
2
,B
2
,C

1
,A
2
thẳng hàng. Sau suy ra
'2
'2
.
'
3
' AA
GA
SG
SG
SA
SA
=
Tương tự có các đẳng thức còn lại,cộng vào có dpcm
Bài 6 :
Cho tứ diện ABCD,A’,B’,C’,D’ là trọng tâm
BCD,ACD,ABD,ABC.CM:AA’,BB’,CC’,DD’ động quy tại một điểm
Bài 7:
Cho hình chóp SABCD. M,N,P thuộc SA,SB,SC .Tìm thiết diện của (MNP) và hình chóp
Bài 8:
Cho tứ diện ABCD,M ∈(ABC),N ∈(ACD),P ∈(ADB). Vẽ thiết diện của (MNP) và
ABCD
Bài 9:
Cho hình chóp tứ giác SABCD,M ∈[SA],N: B∈[SN],P ∈[ CD]. Tìm thiết diện của
(MNP) và hình chóp
Bài 10:
Cho hình chóp SABCD, N ∈[SD], P ∈(ABCD), lấy M:B∈[SM]. Tìm thiết diện của

K = MA’ giao AQ
Ta có (AQHK)=-1

1
HS
HI
JI
JS
=
.
(1)
C1:Menelauyt cho SIC với C’,J,P thẳng hàng

'
'
.
AA
IA
JI
JS
PC
SP
=
Tương tự có các đẳng thức khác; cộng vào có
∑






'
.(

Kết hợp với (1) ta có dpcm
C2:Dùng bổ đề cho ABC, M thuộc ; A’,B’,C’ là giao của Am,BM,CM và
BC,AC,AB. Khi đó
''
'
'
'
MA
AM
CC
AC
BB
AB
=+
(cm:qua A kẻ đường thẳng //BC)
Ta có:
IH
SI
QA
SA
MA
SM
MA
SM
=+=
∑
'

.Tường tự có B”,C”,D”.CMR:
a)AA”,BB”,CC”,DD” đồng quy tại trung điểm của mỗi đường gọi là N
b)MN đi qua trọng tâm tứ diện
Bài 16:
Cho tứ diện S.ABC , G là trọng tâm của ABC,M thuộc ABC; ∋M và  // SG cắt
(SBC),(SCA),(SAB) tại A’,B’,C’.CMR: MA’+MB’+MC’+MD’=3SG
Gọi ý: Dùng talet
Bài 17:
Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC;
A
,
B
,
C
qua A,B,C //SM cắt (SBC),(SAC),
(SAB) tại A’,B’,C’,
a) CM:
∑
=
'AA
1
SM
1
b) Gọi M’=SM ∩(A’B’C’).Tính SM : SM’
Gợi ý :b) Để ý giao điểm I của BC’ , CB’ và S,A thẳng hàng.Gọi L =A’I
∩SM’,P=A’M’∩B’C’, N=IP∩BC .Ta có IP=IN  SL=LM’,SL=SM.Suy ra SM’=2SM
Bài 18:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b .M,N di chuyển trên a,b.Tìm quỹ tích trung điểm I của
MN
Gọi ý:Lấy hai điểm cố định A.B trên a,b.Gọi O là trung điểm AB, qua O kẻ ,’lần lượt

*) Trong chương quan hệ song song có hai loại thiết diện là:
+) Thiết diện qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau.
+) Thiết diện qua một đường thẳng và song song với một đường thảng khác
Thường thì các thiết diện này được dựng qua các hình chóp
Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại trên
a) Giả sử thiết diện qua M và song song với d,d’ chéo nhau:
+) Ta dựng giao tuyến  của (M,d) với (P) qua d’
+) Dựng đường thẳng song song d qua M cắt  tại O
+) Trong (P) dựng đường thẳng //d’
Cách hai áp dụng cho bài toán có hình lăng trụ hoặc hình hộp:
+) Ta tịnh tiến một trong hai đường thẳng đến đường thẳng kia tạo (Q)
+) Qua M dựng mặt phẳng song song với (Q)
b) Giả sử thiết diên qua d và song song d’:
+) Chọn hai điểm A,B trên d ( thường thì sẽ có trong hình bài ra)
+) Dựng giao tuyến  của (A,d’) với (P) chứa B
+) Trong (A,d’) dựng đường thẳng qua A //d’ ,Giả sử cắt giao tuýên trên tại C ,khi đó
(ABC) là mặt phẳng cần tìm
+) Cuối cùng dựng thiết diện của (ABC) với hình bài ra.
Ta có thể lấy các điểm bất kì và thử tìm thiết diện
Sau đây là một số bài tập
Bài 20:
Cho hình chóp S.ABCD.M,N là trung điểm của AB,SB. Mặt phẳng (P) ∋M và (P)//
CN,SD. Dựng thiết diện của (P) với S.ABCD.
Bài 21:
Cho S.ABC, M∈ABC .Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)∋ M và (P)//
SB,AC
Bài 22:
Cho S.ABCD , N,P là trung điểm của SB,AD .Lấy M sao cho B là trung điểm của MN.
Dựng thiết diện của mặt phẳng (P)⊃MP và (P) //CN với S.ABCD
Bài 23:

điểm G chia đoạn AM theo tỉ số 2, mà AM luôn song song (P), từ đó theo cách làm bài 18,lấy O
chia AM theo tỉ số 2. Ta được quỹ tích G
Bài 30:
Cho hình hộp xiên ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
, M là điểm bất kỳ thuộc AB
1
, Gọi I= (MCD
1
)∩ BC
1
,
J =(MCD1)∩A1D. CMR:M,I,J thẳng hàng
Gợi ý : Dùng Talet
Bài 31:
Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
,gọi N là trung điểm của AA
1
, G

] sao cho
5
4
1
=
MA
MB
.Gọi (Q) ∋M và
(Q) // AC
1
,CB
1
.
a) Vẽ thiết diện của hình lăng trụ với (Q)
b) Gọi E =(Q) ∩ CC
1
. Tính
EC
CE
1
Gợi ý : như bài trên
Bài 33:
CMR: Thiết diện bất kì của tứ diện bất kì có chu vi nhỏ hơn max của chu vi các mặt của
tứ diện
Bài 34:
Cho hình hộp xiên ABCD.A
1
B
1
C

Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
,O là giao của DC
1
và CD
1
, M thuộc tia AA
1
sao cho
MA=3MA
1
a)Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (P)⊃MO và (P)//BD
b)Gọi L là giao của (P) với CC
1
. Tính LC:LC
1
Bài 38: ( Đề kiểm tra )
Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tứ diện. M là điểm bất kì
thuộctứdiện,MG∩(BCD)=A
1
,MG∩(ACD)=B
1
,MG∩(DAB)=C
1


sao cho MB’=2MA’
a) Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (P)⊃MO và (P)// AC
b) Gọi L =(P) ∩CC
1
. Tính LC:LC
1
Bài 40: ( Đề kiểm tra A
1
)
Cho tứ diện ABCD . CMR: AB.CD, AC.BD, AD.BC là ba cạnh một tam giác
Gợi ý: Lấy trên AB,AC, AD các điểm B’,C’,D’ sao cho AB’.AB=AC’.AC=AD’.AD. Sau
đó dùng tam giác đồng dạng
Cách dựng đường thẳng  vuông góc với (P):
Trong (P) chọn a,b cắt nhau
C1: dựng hai mặt phẳng lần lượt vuông góc với a,b ,khi đó  là giao tuyến của
hai mặt phẳng trên
C2: dựng mặt phẳng vuông góc với a (hoặc b). khi đó  là đường thẳng trong
mặt phẳng đó và vuông góc với a (hoặc b)
Trong chương quan hệ vuông góc thì có hai loại mặt phẳng:
+) Qua một điểm A và vuông góc với một đường thẳng  cho trước
+) Qua một đường thẳng  cho trước vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước
Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại mặt phẳng trên:
Loại 1:
+) Tìm hai đường thẳng vuông góc với  ( thường lấy đường thẳng cắt đường
nào đó trên hình chữa A)
+) Qua A dựng mặt phẳng song song đường thẳng trên
Loại 2 :
+) Tìm đường thẳng d vuông góc (P) (có thể cắt  thì càng tốt)
+) Nếu cắt  thì song rồi, nếu không thì qua  dựng mặt phẳng song song d

AC,BD,BC,AD
Bài 43:
Cho tứ diện ABCD có:
AB
2
+ CD
2
= AC
2
+ DB
2
CMR: BC ⊥AC
Bài 44:
Cho tứ diện ABCD có: AC= BD; AD=BC
Tìm M : (MA + MB + MC + MD) min
Bài 45:
Cho tứ diện ABCD.M di chuyển trên AC, (P)∋M và (P)//AB,CD. Tìm M sao cho thiết
diện của hình chóp với (P) có diện tích max
Gợi ý: Gọi thiết diện là MNPQ, MNPQ là hình bình hành. Diện tích = MN.MQ. sin
( AB,CD). Tính MN,MQ theo AB,CD sau dùng côsi
Bài 46:
Cho tứ diện ABCD. CMR: 6 mặt phẳng trung trực của tứ diện đồng quy.
Bài toán tương đương với việc chứng minh 4 trục của các tam giác đồng quy
Bài 47:
Cho ABC , ∋A,⊥(ABC), M chạy trên  .H,K là trực tâm của ABC, MBC.
a) CMR: HK ⊥(MBC)
b) CMR: HK cắt  , Gọi N=HK∩
CMR:AM.AN = const
Bài 48:
Cho (O) ,đường kính AB. ∋A⊥(O) , M di chuyển trên (O), S là điểm cố định trên  .

(KMN)
=4S
(KPQ)
Khi gặp hai đương thẳng chéo nhau (có thể vuông góc với nhau) thì phải nghĩ ngay đến
đường vuông chung dựng các đường song song thích hợp
Bài 55:
Cho hai tia Ax,By chéo nhau, M,N di chuyển trên Ax,By sao cho AM=kBN, I thuộc đoạn
MN sao cho IM=mIN. Tìm quỹ tích I
Bài 56:
Cho hai tia Ax,By chéo nhau , AB vuông góc với Ax,By .M trong không gian . MH, MK
vuông góc với Ax,By. AH + BK=AB; MH=MK. Tìm quỹ tích của M
Gợi ý : Vẽ hình lập phương có cạnh nằm trên Ax,By, và có độ dài bằng AB .Khi đó quỹ
sẽ là đương chéo của hình lập phương không có điểm chung với Ax,By . Từ AH+BK=AB suy
ra các hình vuông suy ra M thuộc trục của mặt phẳng chéo hình lập phương
Ta có thể thay AH+BK=kAB ( k là số thực) thì ta bài toán chỉ khác là dựng hình hộp chữ
nhật có 1 cạnh là AB và hai cạnh kia bằng nhau và bằng kAB.
Bài 57:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc
chung, M,N di chuyển trên a,b sao cho AM +BN=MN; O là trung điểm của AB, OH ⊥MN
(H∈MN). Tìm quỹ tích của H
Gợi ý : AM=MH,BN=NH
Bài 58:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung,
M,N di chuyển trên a,b sao cho 2AM.BN=AB
2
. O là trung điểm của AB, OH ⊥MN (H∈MN).
Tìm quỹ tích của H
Bài 59:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau. AB là đường vuông góc
chung . M,N di chuyển trên a,b sao cho MN= const. Tìm quỹ tích của trung điểm I của MN

=
KD
KA
Gợi ý: Từ A,D vẽ các đường vuông góc với (BCK) hoặc
Chiếu vuông góc lên (P) vuông góc với BC
Bài hệ quả: tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh BC,AD,AB,CD cắt
các cạnh đối diện tại M,N,P,Q sao cho
NC
BN
MD
AM
=
và PD=nPC . Tính
QB
AQ
Bài 66:
Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp. AA’=a, AB=2a, AC’=3a . Dựng
và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (P)∋O và (P) ⊥AC’ với hình hộp.
Bài 67:
Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp. AA’=a, AB=2a, AD=3a . Dựng
và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (P)∋O và (P) ⊥AC’ với hình hộp.
Bài 68:
CMR:Nếu hình hộp chữ nhật có một thiết diện là lục giác đều thì hình hộp đó là hình lập
phương.
Bài 69:
Cho tứ diện ABCD, trực tâm tại A , M nằm trong tứ diện . H,K,I,J lần lượt là hình chiếu
của M lên (BCD),( ACB), (DAB), (ABC) .Tìm min của MH
2
+MK
2

tại B. (P)∋A: (P)⊥ CA’. Tính diện tích thiết diện của lăng trụ vơi (P)
Bài 72:
Cho tứ diện ABCD, HK là đoạn vuông góc chung của AB,CD.
CMR: KC=KD  S
(CAB)
= S
(DAB)
Bài 73:
CMR: Tứ diện là gần đều  các mặt có diện tích bằng nhau
Gợi ý: Dùng bài 72
Bài 74:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M di chuyển trên cạnh AD. Tìm M sao cho thiết
diện tạo bởi hình lập phương và (CA’M) có diện tích nhỏ nhất
Gơi ý: Vẽ đường cao của tam giác MCA’ ,dùng đoạn vuông góc chung có độ dài ngắn
nhất
Bài 75:
Cho hình chóp S.ABC có SBC,ABC là các tam giác đều cạnh a AS=
2
a, O là
trung điểm của BC, Đ
O
(A)=D.
a) Tính các cạnh của của S.BCD
b) (P) ∋ D và (P)// BC, ((P),BD)= 30
0
. Tính diện tích thiết diện của (P) với S.BCD.
Gợi ý : Dùng bí kíp
Bài 76:
Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥(ABC) , nhị diện cạnh SB bằng 90
0

Bài 81:
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và cùng bằng a. M,N,K là trung
điểm BC,CA,AB . Đ
K
(O)=E, I= CE∩(CMN)
a) CM: CE ⊥(OMN)
b) Tính diện tích tứ giác OMIN.
Bài 82:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M,N,P là trung điểm BB’,CD, D’A’.
a) CM: AC’ ⊥(MNP)
b) Tính nhị diện (P,AC,M)
Gợi ý : a) (MNP) // (BDA’) // (D’B’C)( dùng tales trong không gian) b)
(P,AC,M) = 180
0
– (M,AC,B) – (P,AC,D).
Bài 83:
Cho Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc, A,A’;B,B’;C,C’ thuộc Ox,Oy,Oz sao cho
OA.OA’=OB.OB’=OC.OC’. G là trọng tâm của  ABC.
CMR: OG ⊥( A’B’C’)
Trong phần mặt cầu thì:
-) Muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng cùng nội tiếp một mặt cầu bằng nhau thì có thể
chứng minh khoảng cách từ chúng tới tâm bằng nhau
-) Một mặt phẳng qua 1 đường thẳng cố định nếu cách 1 điểm cố định thì mặt phẳng đó cố định
-) Chứng minh tâm mặt cầu thuộc 1 đường thẳng cố định thì có thể chứng minh:
+) các cách như hình học phẳng
+) Mặt cầu qua 1 đường tròn cố định
Bài 84:
CMR: có duy ngất 1 mặt cầu đi qua 4 đỉnh của tứ diện
Bài 85:
CMR: Có duy ngất một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện

qua O
c)Đi qua đường tròn đường kính IK trong (OIK). I’ di chuyển trên  qua K sao cho d,d’
là hai phân giác của góc tạo bởi  và IK, M thuộc ( ,J ) và mặt cầu ( cố định) nên thuộc
đường tròn cố định
Bài 90:
Cho tứ diện ABCD , mặt cầu tâm O nội tiếp tứ diện và tiếp xúc với (BCD), (ABC) tại
K,H. CMR: Góc AHB= góc CKD.
Gợi ý: Gọi các tiếp điểm còn lại, cộng các góc có đỉnh là các tiếp điểm của mặt (ABC),
(ABD) bằng (ACD),(BCD). 2 góc AHB=2 góc CKD.
Bài 91:
Cho tứ diện ABCD, mặt cầu bàng tiếp đỉnh A tiếp xúc với (BCD) tại K, (ABC) tại H.
CMR: Góc CKD= góc AHB.
Gợi ý: Chú ý các góc bằng nhau
Bài 92:
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O, mp(P) vuông góc với AO cắt AB,AC,AD tại
M,N,P.
a) CMR: B,C,D,M,N,P cùng thuộc một mặt cầu
b) CMR:
AD.BC AC.DB
PM
AB.CD
MNNP
==
Gợi ý: a) I là giao của AO với (P), AJ là đường kính của mặt cầu
AM.AB=AN.AC=AP.AD=AI.AJ
b) Chú ý các tam giác đồng dạng
Bài 93:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; M,N di chuyển trên tia A’B’, A’D’ sao cho
(AMN) tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình lập phương ( tiếp xúc với các cạnh), A’B cắt AM tại
K, A’D cắt AN tại L.

Cho tứ diện SABC có diện tích xung quanh =3s, chu vi đáy là 3a. Một mặt cầu tiếp xúc
với ba cạnh đáy tại các trung điểm của chúng và đi qua ba trung điểm của ba cạnh bên.
a) CM : Hình chóp SABC là hình chóp tam giác đều.
b) Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 96:
Cho hình chóp SABC có SC tạo (ABC) một góc 60
0
, M,N,P lần lượt là trung điểm của
SA,SB,SC.Biết các điểm A,B,C,M,N,P cùng thuộc một mặt cầu bán kính R. Tính đường cao SH
của hình chóp.
Bài 97:
Cho mặt phẳng (P) , góc xOy bằng 90
0
quay quanh O luôn cắt đường thẳng d cố định , S
cố định :SA ⊥(P), d(O,d)= a.
a) Giả sử SO=
3
8
a,SA=
6
5
OA. Tính góc OAB
b) OE ⊥SA,OF ⊥ SB. Tìm quỹ tích E,F
Bài 98:
Cho (P), góc xOy cố định thuộc (P), SO ⊥(P), SO=a; M,N chạy trên Ox,Oy sao cho
OM+ON=a.
a) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp SOMN
b) Chứng minh tổng các góc phẳng tại đỉnh S của hình chóp SOMN bằng 90
0
c) Chứng minh (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định

sao cho SA ⊥(P).
CMR: tg
2
.
2
ASM BSM
tg
= const
Gọi ý: Kẻ OI ⊥ AB
Hoặc vẽ mặt cầu tâm S bán kính SA, Lấy giao (SAB) với mặt cầu
Bài 103:
Cho tứ diện trực tâm ABCD. Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp, trực tâm trọng
tâm của tứ diện thẳng hàng
Gợi ý: gọi H là điểm đối xứng với tâm mặt cầu ngoại tiếp qua trọng tâm. Chứng minh H
là trực tâm của tứ diên