Hớng dẫn sử dụng công cụ dựng hình
trong hình học không gian
Phần này đợc đa vào để hớng dẫn cách sử dụng các công cụ có sẵn nhằm thiết
kế mô hình, vẽ các hình không gian phục vụ cho việc dạy, học hình học trong
không gian, đặc biệt là hình học giải tích trong không gian. Các công cụ này đ-
ợc xây dựng trên cơ sở lí thuyết của hình học giải tích trong không gian, do vậy
học sinh có thể vừa học chơng 3 (HH 12) vừa sử dụng chúng để củng cố kiến
thức, thực hành dựng hình, giải toán trên máy tính, đồng thời có thể tạo ra các
công cụ tiện dụng khác trên cở sở kiến thức đã đợc học.
Để tiện trình bày, chúng ta sử dụng một số kí hiệu:
- Toạ độ của điểm đợc kí hiệu A(x, y, z).
- Đờng thẳng l qua điểm A(x; y; z) có vectơ chỉ phơng
u
r
(a; b; c) kí hiệu
l(xyz,abc).
- Mặt phẳng có phơng trình: Ax + By + Cz + D = 0 kí hiệu mp(ABCD) hoặc
(ABCD).
- Mặt cầu có phơng trình: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
= R
2
kí hiệu (abc,R).
- Các chữ cái x, y, z thờng đợc dùng để viết tọa độ các điểm, các chữ cái a, b,
c thờng đợc dùng để viết tọa độ của các vectơ.
Muốn sử dụng các công cụ này ta có thể mở trang có chứa các công cụ trớc khi
thực hiện các thao tác trên trang hình, hoặc có thể copy các file có chứa các

Oxyz(Oz): Hệ trục quay theo
chiều ngang quanh trục Oz
Oxyz: Hệ trục quay theo chiều
ngang quanh một trục nào đó
vuông góc với mặt phẳng Oxy
Hình 1.1a
Để sử dụng công cụ này ta nhấn nút lệnh Công Cụ Thờng Dùng (Custom
Tool), chọn Hetruc Oxyz / Oxyz2 (hoặc Oxyz(Oz) , hoặc Oxyz) , nháy chuột
vào hai vị trí trên trang hình ta sẽ có hệ trục. Nháy chuột vào ô Mũi Tên Chọn
2
(Selection Arrow Tool) trên Hộp Công Cụ (Toolbox) để thôi làm việc với
công cụ này.
Để chỉnh kích cỡ của hệ trục, di
chuyển vạch Co (cỡ); di chuyển các
vạch N (nghiêng mặt phẳng Oxy), vạch
Q (quay quanh trục Oz), vạch Z
(nghiêng trục Oz) đến các vị trí thích
hợp để đặt hình ở góc nhìn thuận lợi.
Các nút lệnh Quay, Oxy, Oxz, Oyz
làm quay hệ trục, chiếu hệ trục lên
mpOxy, mp Oxz, mpOyz.
Hình 1.1b
Sau khi có hệ trục ta có thể giấu (Hide) các đối tợng không cần thiết (trừ các
điểm O, i, j, k) bằng cách chọn các đối tợng đó rồi dùng lệnh Ctrl + H , hoặc
Display | Hide.
Chú ý : Khi sử dụng hệ trục Oxyz thì các chữ O; i; j; k; là mặc định , do vậy
không đặt tên cho các đối tợng khác bằng các chữ cái này ; có thể giấu (hide)
các đối tợng tuỳ ý, nhng không thể giấu các điểm O, i, j, k khi còn dùng hệ trục
hay các công cụ có liên quan đến hệ trục. Đơn vị đo góc đợc dùng trong các
trang hình có chứa hệ trục là Ra-đi-an.

thành x ( tơng tự cho y, z ) , nếu các số x,
y, z cha có sẵn.
Hình 2.1b
Vào Custom Tool | Dung | Diem(xyz), nháy chuột lần lợt vào các số x, y, z.
Lúc này trên trang hình xuất hiện một điểm có toạ độ tơng ứng. Dùng Công Cụ
Chữ (Text Tool) để đặt tên cho điểm A.
Khi nháy vào nút lệnh Quay hệ trục di chuyển, điểm A di chuyển theo.
2.2 Diem tuy y thuoc (ABCD)
5
Công cụ này cho phép ta
dựng một điểm tùy ý thuộc
mặt phẳng (ABCD), điểm đ-
ợc dựng chỉ di chuyển trong
mặt phẳng (ABCD), trong tr-
ờng hợp cần thiết muốn có
tọa độ của điểm này ta dùng
công cụ 8.ToadocuaDiem
để tính.
Hình 2.2
Sau khi có hệ trục tọa độ và
các số A, B, C, D ta muốn dựng
một điểm tùy ý thuộc mặt
phẳng (ABCD) ta thực hiện lần
lợt các bớc sau:
- Vào Custom Tool | 2.Dung
| Diem tuy y thuoc
(ABCD).
- Nháy chuột lần lợt vào các
số A, B, C, D ta sẽ đợc một
điểm tùy ý trên mặt phẳng

định nó và kéo về vị trí thích hợp.
Hình 2.3a
2.4 Diem tuy y trong KG
Tơng tự nh hai công cụ
trên, công cụ này giúp ta
dựng điểm tùy ý trong
không gian cùng với tọa
độ của nó đối với hệ trục
cho trớc.
Hình 2.4
Trong hệ trục cho trớc, muốn dựng điểm tùy ý trong không gian:
7
- Vào Custom Tool | 2.Dung | Diem tuy y trong KG.
- Trên trang hình có ngay một điểm tùy ý đợc tự động đặt tên và có các tọa độ
tơng ứng. Trong một số trờng hợp cần đặt tên lại cho điểm và các tọa độ ta
làm nh sau
Để đổi tên điểm (lúc này tại vị trí
của điểm có hai điểm chồng nhau, ta
phải đổi tên cả hai điểm). Trớc hết ta
nháy chuột vào điểm hai lần rời rạc (
không phải là nháy đúp) vào Edit |
Properties | Label, đổi tên rồi nhấn
Ctrl + H để giấu luôn. Sau đó nháy
chuột phải một lần vào điểm, vào
properties | Label đổi tên, hoặc
dùng công cụ chữ A đổi tên bình th-
ờng.
Hình 2.4a
Đối với các tọa độ dùng Công Cụ Chữ để đổi tên.
2.5 Dthang(VTCP+Diem)

- Vào Custom Tool | Dung |
Dt(xyz,abc). Nháy chuột lần lợt
vào các số x, y, z, a, b, c.
Hình 2.6a
2.7 Mp(VTPT+Diem)
9
Công cụ này dùng để dựng
mặt phẳng khi biết một
VTPT
(a; b; c)
và một
điểm của nó.
Giả sử muốn dựng mặt
phẳng có VTPT
(A; B; C)
đi qua điểm A
nào đó thuộc trục Oz, với
các số A, B, C và điểm A
có sẵn. Ta làm nh sau:
Hình 2.7
- Dùng bảng tính tạo các
tham số d, r, q.
- Vào Custom Tool | Dung
| Mphang(VTPT+Diem).
- Sau đó dùng chuột nháy
lần lợt vào các số A, B, C,
d, r, q và điểm A.
Hình 2.7a
Ta sẽ đợc một hình chữ nhật, hình biểu diễn của mặt phẳng có VTPT
(A; B; C)

là q.
Hình 2.8a
11
2.9 Hchieu-Diem len Dt(Diem+VTCP)
Công cụ này dùng để dựng hình chiếu vuông góc của điểm có tọa độ
(x0; y0 ; z0)
lên đờng thẳng qua điểm
(x1; y1; z1)
có VTCP
(a; b; c)
.
Hình2.9
Giả sử trong hệ trục Oxyz muốn dựng hình chiếu vuông góc của điểm
A(x0;y0;z0) trên đờng thẳng qua điểm B(x1;y1;z1) và có VTCP(a;b;c) với các
số x0, y0, z0, x1, y1, z1, a, b, c có sẵn ta làm nh sau.
- Dựng đờng thẳng bằng cách vào Custom Tool | Dung | Dthang(xyz,abc),
nháy chuột lần lợt vào x1, y1, z1, a, b, c (nếu đờng thẳng cha có sẵn)
- Vào Custom Tool | Dung | Hchieu-Diem len Dt, nháy chuột lần lợt vào x0,
y0, z0, x1, y1, z1, a, b, c.

Ta sẽ có điểm A(x0;y0;z0)
và tọa độ của A(x
A
;y
A
;z
A
)
hình chiếu vuông góc của
A, và đoạn nối AA.

A1
).
Hình 2.10a
Để có hình ảnh trực quan hơn ta có thể dựng mp(ABCD) bằng cách tạo thêm
các tham số d, r, q, sau đó vào Custom Tool | Dung | Mphang(ABCD), nháy
chuột lần lợt vào các số A, B, C, D, d, r, q (đơn vị là Radian).
2.11 Doanvgochung2Dt(Diem-VTCP)
Công cụ này dùng để
dựng đoạn vuông góc
chung của hai đờng
thẳng chéo nhau đợc
xác định qua các tọa độ
của điểm và VTCP của
các đờng thẳng trên.
Hình 2.11
13
Giả sử muốn dựng đoạn vuông góc chung của 2 đờng thẳng chéo nhau
d
1
(x1y1z1,a1b1c1) và d
2
(x2y2z2,a2b2c2) trong hệ trục Oxyz , với các số x1, y1,
z1, a1, b1, c1, x2, y2, z2, a2, b2, c2 có sẵn, ta làm nh sau
- Vào Custom Tool | Dung | Doanvgochung2Dt (Diem+VTCP).
- Nháy lần lợt vào các số x1,
y1, z1, a1, b1, c1, x2, y2, z2,
a2, b2, c2.
Khi đó xuất hiện đoạn vuông
góc chung HL của hai đờng
thẳng, độ dài của HL, và tọa độ

A
), B(x
B
; y
B
; z
B
), C(x
C
; y
C
; z
C
) trong hệ trục cho trớc.
- Vào Custom Tool |
HesocuaMatphang | HesoMp-
3Diem, nháy chuột lần lợt vào các
số: x
A
, y
A
, z
A
, x
B
, y
B
, z
B
, x

,y
A
,z
A
)
và đờng thẳng (x
B
y
B
z
B
,abc) trong hệ trục xác định, với các số x
A
, y
A
, z
A
, x
B
, y
B
,
z
B
, a, b, c có sẵn.
- Vào Custom Tool | HesocuaMatphang | HesoMp:Diem+Dt(Diem+VTCP).
Sau đó dùng chuột nháy
lần lợt vào các số : x
A
, y