HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304
1

A
B
C
M
N
O
A
B
C
A
B
C
M
N
HÌNH HỌC PHẲNG CƠ BẢN:

1) Các đường trong tam giác:
a) Đường trung tuyến AM:

M là trung điểm BC

b) Đường phân giác AK:




a
b
0
A
B
C 2) Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G:

GA=
2
3
AM
G là trọng tâm

3) Định lý:

/ /
MA MB
N
MN BC





là trung điểm AC

b)
. .
AH BC AB AC
 c)
2
.
AH HB HC
 d)
2
.
AB BC BH
 e)
2
.
AC BC CH



có AM là trung tuyến

0
90
2
BC
AM BAC  

0
90
MA MB MC BAC   

m
a
2
=
2 2 2
2( )
4
b c a
  7)
ABC

đều cạnh a:

A
B
C
M
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304
2

C
A
B
R
O
Đường cao AH =
3
2
a

Diện tích
2
3
4
a
S 
8) Định lý Talet:

/ /
AM AN
MN BC
AB AC
 12) Tam giác thường 1
.
2
S BC AH

13) Hình thang



2
AB CD AH
S



14) Hình bình hành

17 ) Tam giác, tứ giác
a) Tổng hai cạnh của 1

lớn hơn cạnh thứ ba
b) Hiệu hai cạnh của 1

nhỏ hơn cạnh thứ ba
c) Góc ngoài của 1



ACx A B
 

0
180
ACB ACx  d) Tổng 3 góc trong 1

bằng 180


20) CM

đều

a) 3 cạnh bằng
b) 3 góc bằng
c)

cân, có 1 góc bằng
0
60

A
B
C
M N
A
D
B
C
A
D
B
C
A
B C
H
A
B
21) CM hình thang cân( 2 góc ở 1 đáy bằng
nhau)
D C
A B

CM tứ giác là hình thang có:
a) Hai góc kề 1 đáy bằng nhau
b) Hai góc đối bù nhau (tổng bằng 180
0
)
c) Hai đường chéo bằng nhau

22) CM tứ giác là hbh

A
D
C
B

a) 2 cặp cạnh đối song song
b) 2 cặp cạnh đối bằng nhau
c) 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau
d) 2 cặp góc đối bằng nhau
e) 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường

a

OB tại B
Vậy a là tiếp tuyến của
đường tròn (O) 27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau:
a) CM 2

bằng nhau
b) Cùng bằng cạnh thứ ba
c)
EF
AB CD GH AB GH
    

d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau từng đôi một thì bằng nhau
e)

có 2 góc =


cân

2 cạnh bằng nhau
f)

cân


AB CD AB CD
  28) CM 2 góc bằng nhau:
a) CM 2

bằng nhau
A
B CM
B
C
O
A
B
a
O
D
A
B
C
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304
4

b)

có 2 cạnh bằng




l)



1 2 3 4 1 4
    
  

m) 2 góc là tổng (hay hiệu) của 2 góc bằng nhau
từng đôi một
n) CM tứ giác là hbh

2 góc đối bằng nhau
o) Hai tiếp tuyến cắt nhau





AMO BMO
AOM BOM









a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề =

2 đt


b) 2 đt tạo thành góc 90
0
, mục I) 6)
c)

có 2 góc phụ nhau

góc còn lại bằng
0
90

2đt


d)
/ /a b
a c
a c

 




e) a // c, b // d, c

 
A, B, C thẳng hàng
b)
AB m
AC m






A, B, C thẳng hàng
c)
AB n
BC n






A, B, C thẳng hàng
d)


xAB xAC
 
A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1


O
M
A
B
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

5

QUAN HỆ SONG SONG:

1

Qua 1 điểm không nằm trên đường thẳng cho trước có 1 và chỉ 1
đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

2
Nếu 3 mp phân biệt đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì
3 giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song nhau
( ) ( )
// //
( ) ( )
, , ñoàng quy
( ) ( )
P Q a
a b c
Q R b
a b c







 


 


4

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba
thì song song nhau
//
//
//
a b
a c
b c



5


). Nếu (

) chứa a và cắt (

)
theo giao tuyến b thì b song song với a
//( )
( ) //
( ) ( )
a
a b a
b


 


 


 


7
Nếu 2 mp phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó
( ) //
( )// '//
( ) ( ) '
d

a

b



d’

d

a

b




d

d'



b

c


9

Cho 2 mp song song. Nếu 1 mp cắt mp này thì cũng cắt mp kia và 2
giao tuyến song song với nhau
( ) // ( )
( ) ( ) //
( ) ( )
a a b
b
 
 
 


  


 
10

*) Nếu đường thẳng d song song với (

) thì trong (

) có 1 đường
thẳng song song với d và qua d có duy nhất 1 mp song song với (


o
a b
 .

C3: Dùng hệ quả: C4: Dùng hệ quả: C5 : Dùng hệ quả: b

a

b

a





b
//
c
,
a b a c
  

a
c
b

( )
( )
a P
a b
b P


 




a
b

P
a
P
b

C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng
kia cũng vuông góc với mặt phẳng

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt
phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia

C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
b
Pb
,
c
cắt nhau ,
, ( )
b c P
 ,
,
a b a c
 

( )
a P

P
b a

a
//
b
,
( ) ( )
b P a P
  

Q


  

 



y
x




O


( ) ( )
 
  
,
( ),
Ox Ox

  
,
( ),
Oy Oy

  

CÁCH XÁC ĐINH GÓC
Góc của hai đường thẳng Góc của hai mặt phẳng
 



 





Chọn điểm O tuỳ ý.
 Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
 Góc (a,b) = góc (a’,b’) =

AOB

 Thường chọn điểm O

a hoặc O
b

b'
a'
B
A
O
b
a
 =


 Góc
( , )
 
= Góc
( , )
OA OB
=

AOB



Chú ý: *
0 90
o

 
* Nếu
90
o

 thi chọn góc

( ; ) 180
o
  
 





= Góc
( , )
OA OB
=

HHKG C in Vừ Thanh Bỡnh: 0917.121.304

9KHOANG CACH



ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc u


Cỏch v:


V ỏy ABC

V trung tuyn AI


Dng trng tõm H

V SH

(ABC)


Ta cú:


SH l chiu cao ca hỡnh chúp


Gúc gia cnh bờn v mt ỏy l:


Chọn điểm M trên
1
, dựng MH
2
( H thuộc
2
) ta có d(
1
,
2
) = MH
//

1

2

2

1
M
H

Chọn điểm M thuộc , dựng MH
( H thuộc ( )), ta có d(,( )) = MH
// ( )


H

Khong cỏch t mt im
n mt mt phng
Khong cỏch gia hai
ng thng song song
Khong cỏch gia mt
phng v ng thng //
song song

Khong cỏch gia hai
mt phng song song
Khong cỏch gia hai
ng thng chộo nhau
h


I
C
A
H
S
B

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

10

Hình chóp tứ giác đều 

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:

SAH


.


Góc mặt bên và mặt đáy là:

SIH

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
.



I
H
D
A
B
C
S



A
C
B
S




D
A
B
C
S


SA

(ABC)





Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:

SDA

HHKG C in Vừ Thanh Bỡnh: 0917.121.304

11

TH TCH CA KHI:

1


S.h
: dieọn tớch ủaựy
h: chieu cao
S




2. S
xq
= tng din tớch cỏc mt bờn
*) c bit: Hỡnh chúp u cú
S
xq
= p.d
: nửỷa chu vi ủaựy
d: trung ủoaùn
p




3. S
tp
= S
xq
+ S
ỏy
2


D
B
C
A
A
B
C
A
C
A
B
C
H
D
C
B
A
S
h
#
S
A

B
C
H

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

12
Hình hộp chữ nhật: hình có 6 mặt là hình chữ nhật
V = a.b.c
6 Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có các mặt
đều là hình vuông
V = a
3
(thể tích = cạnh lập phương)
7

Mặt nón tròn xoay
Cho hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l,
chiều cao h
- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
S
xq
=

V =

.r
2
.h

9

Mặt cầu

- Diện tích mặt cầu : S = 4

.r
2

- Thể tích khối cầu : V =
4
3

.r
3

A
A'
C'
B'
A
B
C
I
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
10

Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB,
SC lần luợt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó

. ' ' '
. ' ' '
' ' '
. .
S A B C
S A B C
V SA SB SC
V SA SB SC

=
2
9a
4
Vậy V = B.h = S
ABCD
.AA' = 9a
3Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích
tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có

ABC đều nên

AB 3
3 &
2
AI 2 AI BC
A'I BC(dl3 )
 
  

A'BC
A'BC
2S
1
S BC.A'I A'I 4

2
a 3
2

Theo đề bài BD' = AC =
a 3
2 a 3
2

2 2
DD'B DD' BD' BD a 2
   


S
A
B
C
C’
A’
B’
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

14

o
60
C'
B'
A'
Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA =
BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60
0
. Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC) A'A AB&AB
  
là hình chiếu của A'B trên đáy ABC .
Vậy

o
góc[A'B,(ABC)] ABA' 60
 
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3
  


S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2



BC'A
= 30
o

o
AB
AC'B AC' 3a
tan30
  

V =B.h = S
ABC
.AA'
2 2
AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2
   


ABC

là nửa tam giác đều nên
2
ABC
a 3
S
2

Vậy V =
3
a 6

S = 4S
ADD'A'
=
2
4a 6
3

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

15

a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A

4
 
2
ABCD ABD
a 3
S 2S
2
  
ABB'

vuông tạiB
o
BB' ABt an30 a 3
  
Vậy
3
ABCD
3a
V B.h S .BB'
2
  

Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA =
BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
0
.Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
A'A (ABC)&BC AB BC A'B
   

0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải:
ABC

đều
AI BC
 
mà AA'
(ABC)

nên A'I
BC

(đl 3

).
Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =

A'IA
= 30
o
Giả sử BI = x
3
2
32
x
x
AI 
.Ta có



x

Do đó V
ABC.A’B’C’
= 8
3

Ví dụ 10: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với
đáy (ABCD) một góc 60
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Giải:
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nên
OC BD


a
0
60
O
A'
D'
B'
C'
C
A
D


Ta có V = B.h = S
ABCD
.CC'
ABCD là hình vuông nên S
ABCD
= a
2

OCC'

vuông nên CC' = OC.tan60
o
=
a 6
2

Vậy V =
3
a 6
2

Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy
(ABCD) một góc 60
o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Giải:
Ta có AA'

2a 3

A'AB


AB = AA'.cot60
o
=
2a 3
3

2 2
4a 6
ABC BC AC AB
3
   
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
16a 2
3

Ví dụ 12: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là
a 3
và hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có
C'H (ABC) CH

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .
Lời giải:
1) Ta có
A'O (ABC) OA
 
là hình chiếu của AA' trên (ABC)
Vậy

o
góc[AA',(ABC)] OAA' 60
 
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

AO BC

tại trung điểm H của BC nên
BC A'H

(đl 3

)
BC (AA'H) BC AA'
   
mà AA'//BB' nên
BC BB'

.
Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
H

A'
D
C
B
A
2)
ABC

đều nên
2 2 a 3 a 3
AO AH
3 3 2 3
  
o
AOA' A'O AOtan60 a
  


Vậy V = S
ABC
.A'O =
3
a 3
4

Ví dụ 14: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB =
3
AD =
7
.Hai mặt

  
Đặt A’H = x . Khi đó
A’N = x : sin 60
0
=
3
2x

AN =
HM
x
NAAA 


3
43
''
2
22

Mà HM = x.cot 45
0
= x
Nghĩa là x =
7
3
3
43
2


Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng
chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Đs: V = 240cm
3
và S = 248cm
2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng
diện tích các mặt bên là 480 cm
2
. Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm
3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết
rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs:
V = 24a
3

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt
của lăng trụ bằng 96 cm
2
.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm
3

Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ
bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m
2
. Tính thể tích khối lập ph
ương

V
2

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bên (BCC'B') một góc 30
o
. Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS:
AB' a 3
 ;
3
a 3
V
2


Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết
AC = a và

o
ACB 60

biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30
o
.
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS:
3
6
V a

, S =

o
.
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30
o
. Đs:1)
3
2a 6
V
9
 ;2)
3
a 3
V
4
 ;3)
3
4a 3
V
9

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30
o
. Đs: 1)V =
3
a 3

sin x sin y sin z 1
  
.
Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD
một góc 30
o
và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60
0
. Tính th
ể tích hộp chữ nhật.
Đs:
3
2a 2
V
3

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết
rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30
o
.Tính th
ể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a
3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết
rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45
o
. Tính th
ể tích lăng trụ.


Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
.
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45
o
.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1)
3
V a 3
 ; 2) V =
3
a 3
4
; V =
3
a 3

Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45
o
.
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
0
.
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .

60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

20

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
a
2

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
Đs: 1)
3
3a 3
V
4

; 2) V =
3
3a 2
8
; V =
3
3a
2


o
.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và

o
BAD 30

và biết cạnh bên
AA' hợp với đáy ABC một góc 60
o
.Tính thể tích lăng trụ.
Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều
A,B,C biết AA' =
2a 3
3
.Tính thể tích lăng trụ. Đs:
3
a 3
V
4


Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có
hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb
BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60
o
.
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs:
3

8

Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C'
trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên
AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90
o
Đs:
3
27a
V
4 2

Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A'
trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc
60
o
.
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

21

_
\
/
/
a
B
S

3
2
3a
V &S a 15
4
 

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông
góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Lời giải:
Ta có

(ABC) (SBC)
(ASC) (SBC)







AC (SBC)
 

Do đó
2 3
SBC
1 1 a 3 a 3

.
ABC

vuông cân nên BA = BC =
a
2

S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 4


o
a 6
SAB SA AB.tan60
2
  
Vậy
2 3
ABC
1 1 a a 6 a 6
V S .SA
3 3 4 2 24
  
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC
và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60

D
C
B
A
S
o
60
a
H
D
C
B
A
S
o
60
a
H
D
C
B
A
o
3a
SAM SA AM tan60
2
  

Vậy V =
3

vuông nên SA = AD.tan60
o
=
a 3

Vậy
2
3
ABCD
a
1 1 a 3
V S .SA a 3
3 3 3
  
3) Ta dựng AH
SD

,vì CD

(SAD) (do (1) )
nên CD

AH

AH (SCD)


Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4

ABCD
1 a 3
V S .SH
3 6
 

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,
(ABC)

(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60
o
. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH

(BCD) , mà (ABC)

(BCD)

AH
(BCD)

.
Ta có AH

HD

AH = AD.tan60
o

O
D
C
B
A
S
BCD


BC = 2HD =
2a 3
3
suy ra
V =
3
BCD
1 1 1 a 3
S .AH . BC.HD.AH
3 3 2 9
 
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC
vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45
0
.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
a) Kẽ SH

BC vì mp(SAC)

b) HI = HJ = SH =
2
a

V
SABC
=
12
.
3
1
3
a
SHS
ABC
Ví dụ 8: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng
chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải:
Dựng SO

(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
AO =
2 2 a 3 a 3
AH
3 3 2 3

2
+ SB
2
= AB
2
+BC
2
= AC
2
nên
ASC

vuông tại S
2
2
a
OS 



3
2
1 1 2 2
.
3 3 2 6
ABCD
a a
V S SO a  

Vậy

Lời giải:
a) Gọi O là tâm của
ABC

( )
DO ABC
 1
.
3
ABC
V S DO
2
3
4
ABC
a
S 
,
2 3
3 3
a
OC CI 
V S MH   

Vậy
3
a 2
V
24

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30
o
.
Tính thể tích hình chóp . Đs: V =
3
a 2
6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác
ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30
o
.Tính th
ể tích khối chóp SABC .
Đs:
3
h 3
V
3


34

Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc

o
BAC 120

,
biết
SA (ABC)

và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45
o
. Tính th
ể tích khối chóp SABC.
Đs:
3
a
V
9


HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

25

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết
SA

(ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60

Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B
biết AB = BC = a , AD = 2a , SA

(ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60
o

Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs:
3
a 6
V
2

Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD
một góc 45
o
.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:
3
3R
V
4

Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:
3
a 3
V

o
.Tính thể tích h
ình chóp SABC.
Đs:
3
4h 3
V
9

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs:
3
a 6
V
36

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có
đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs:
3
4h
V
9
