SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
LỚP 12
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán
quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,….
Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên
quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương
trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng.

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng
toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi.
Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy,
véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài
toán quen thuộc.

Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp
các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở
ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo


Không
nhận
biết
được
Nhận biết,
nhưng không
biết vận dụng
Nhận biết và
biết vận dụng
,chưa giải được
hoàn chỉnh
Nhận biết và
biết vận dụng
, giải được
bài hoàn
chỉnh
Số lượng 60 20 9 1
Tỉ lệ ( %) 66,7 22,2 9,9 1.1 III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy
luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có
được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay
kiến thức nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian
để giải các bài toán được đặt ra.



- Tìm t, suy ra tọa độ của H.

2.2 C a ́c bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện
cho trước.
Bài toán 1: Cho n điểm A
1
, A
2,
A
n
, với n số k
1
, k
2
,.,k
n
thỏa k
1
+ k
2
+ ….+k
n
=
k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d
hay mặt phẳng (α) sao cho
1
1 2 2

n n

2= + =
uuuur uuur uuur uuur uuur uur uuur
MA + MB MI + IA + MI IB MI
có giá trị nhỏ nhất
<=>
uuur
MI
nhỏ nhất <=> M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.
Đường thẳng d có vtcp
r
u = (1; 1; 1)
, phương trình tham số d:
ì
ï
í
ï
î
x = 4 + t
y = -1 + t
z = t

Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t),
uuur
IM = ( t+4; t-3 ; t - 4)
khi M là hình chiếu vuông góc
của I lên đường thẳng d thì
. 0
=
uuur r
IM u

1 1 1
và hai điểm
(
)
A 0;1;5
,
(
)
B 0;3;3
. Tìm điểm M trên d sao cho
1)
uuuur uuur
MA + MB
có giá trị nhỏ nhất.
2)
uuuur uuur
MA - 4MB
có giá trị nhỏ nhất.

Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t),
18 17
5 5
uuur
JM = ( t+ 4; t - ; t - )
khi M là hình chiếu
vuông góc của J lên đường thẳng d thì
. 0
=
uuur r
JM u

làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số MG
ì
ï
í
ï
î
x = 2t
y = -2-2t
z = 1+3t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0
17t 17 0 t 1
Û + = Û = -

Vậy với M(-2; 0; -2) thì
+
uuuur uuur uuur
MA + MB MC
có giá trị nhỏ nhất.
2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa
3 0
+ =
uur uur uur r
IA -2IB IC
Ta có
(1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(
1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)


ï
ï
ï
-
í
ï
ï
-
ï
î
x = 4+2t
y = -2t
z = +3t

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm
(
)
A 1;0;1
,
(
)
B -2;1;2
,
(
)
C 1;-7;0
. Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
1) +
uuuur uuur uuur
MA + MB MC

2 ….
A
n
và n số thực k
1
, k
2
, …., k
n
thỏa k
1
+ k
2
+
….+ k
n
= k . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho
tổng T =
2 2 2
1 1 2 2

n n
k MA k MA k MA
+ + + đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn
nhất

Lời giải:

- Tìm điểm I thỏa
1

uuur uur uuur

=
2
kMI
+
2 2 2
1 1 2 2

n
+ + +
n
k IA k IA k IA

Do
2 2 2
1 1 2 2

n
+ + +
n
k IA k IA k IA
không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất
khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay
đường thẳng.

Chú ý:
- Nếu k
1
+ k

=
2 2
(MI + IA) +(MI + IB)
uuur uur uuur uur

2 2 2
IA + IB +2MI +2MI(IA + IB)
=
uuur uur uur
=
2 2 2
IA + IB +2MI

Do
2 2
IA + IB
không đổi nên MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất khi MI
2
có giá trị nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)
Ví dụ
1:

Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA

ï
-
ï
î
x = 2+t
y = + 2t
z = +2t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3 3
2 t 2( 2t) 2( 2t) 7 0 9t 9 0 t 1
2 2
+ + + + - + + = Û + = Û = -

1 7
(1; ; )
2 2
Þ - -
M

Vậy với
1 7
(1; ; )
2 2
- -
M
thì MA
2
+ MB
2

- - - - - - - - - - - - - - =

3 x 0
3 y 0 J(3; 3;0)
z 0
- + =
ì
ï
Û + = Û -
í
ï
=
î

Ta có: MA
2
- MB
2
– MC
2
=
2 2 2
(MJ + JA) - (MJ + JB) (MJ + JC)
-
uuur uur uuur uur uuur uur

2 2 2 2
J A JB JC MJ + 2MJ(JA JB JC)
= - - - - -
uuur uur uur uur

y = -3+ 2t
z = 2t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:

4
3 t 2( 3 2t) 2.2t 7 0 9t 4 0 t
9
+ + - + + + = Û + = Û = -

23 35 8
( ; ; )
9 9 9
Þ - -
M

Vậy với
23 35 8
( ; ; )
9 9 9
- -
M
thì MA
2
- MB
2
– MC
2
có giá trị lớn nhất.


uuur uur uuur uur

2 2 2
IA 2IB MI + 2MI(IA 2 IB)
= - - -
uuur uur uur
2 2 2
IA 2IB MI
= - -

Do
2 2
IA - 2 IB
không đổi nên MA
2
-2 MB
2
lớn nhất khi MI
2
có giá trị nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
Đường thẳng d có vtcp
(1;2;1)
=
r
u
, phương trình tham số d:
ì
ï
í

2
có giá trị lớn nhất
Nhận xét:
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M

Với
M d M(1 t; 2 2t; 3 t)
Î Þ + + +

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình:
2 1
x-1 y-2 z-3
= =
1
và các
điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA
2
- 2MB
2
có giá trị lớn nhất
2) MA
2
+ MB
2
+ MC
2
có giá trị nhỏ nhất.

Và MA

= - = Û = -

Bảng biến thiên
t
-¥

2
3
-

+¥

f’(t) + 0

f(t)

23
3-¥

-¥

Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi
2
3
t
= -


uuuur uuur uuur uuur

=
2 2 2 2
GA GB GC +3MG
+ +

Do
2 2 2
GA GB GC
+ +
không đổi nên MA
2
+ MB
2
+ MC
2
nhỏ nhất khi MG
nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.
M d M(1 t; 2 2t; 3 t)
Î Þ + + +
,
uuuur
GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)

Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì
. 0
=
uuuur r
GM u

A
+ d)(ax
B
+by
B
+ cz
B
+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía
với (α). Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm
của (α) và AB.

2. Nếu (ax
A
+by
A
+ cz
A
+ d)(ax
B
+ by
B
+ cz
B
+ d) >0 thì A, B nằm về một
phía với (α). Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA +
MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là
giao điểm của (α) và A’B.

3
t t
Û + = Û = -

Hay
4 2
( ; ;2)
3 3
M
là điểm cần tìm.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một
phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
M là giao điểm của A’B với (α).
Ví dụ
1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có
phương trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm
điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Ví dụ
2:
Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm
A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
2)
MA - MC

1 3 3
H( ; ;0)
2 2 2
Þ

Do H là trung điểm AA’ nên
'
'
'
2
1 '(2; 1; 1)
1
A H A
A H A
A H A
- =
ì
ï
- = Þ
í
ï
- =
î
x = 2x x
y =2y y A
z = 2z z

A’B có vtcp
(1;0; 3)
= -

-
M

Vậy với
13 4
( ;1; )
5 5
-
M thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai
phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy = £
MA - MC MA' - MC A'C
.
Nên
MA - MC
đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn
A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp
( 1; 3; 3)
= - - -
uuuur
A'C

Phương trình tham số A’C:
2
1 3
1 3
t
= -

M thì
MA - MC
có giá trị lớn nhất.

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d.
Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất. Lời giải:

1. Nếu d và AB vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d
- Tìm giao điểm M của AB và (α)
- Kết luận M là điểm cần tìm.

2. Nếu d và AB không vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham
số t
- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
- Tính tọa độ của M và kết luận. Giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số
1 2
2 2
3

Þ ^
d CD

Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận
(2; 2;1)
= -
r
u
làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d
và mp(P).
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0
0 2
Û = Û = -
9t + 18 t

Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
2 2 17
+

Giải:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
( )
:

Ta cú
[ , ]
i
r uuur uuur
AB OA
= (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nờn AB v Ox chộo nhau.

Phng trỡnh tham s ca Ox:
0
0
x t
y
z
=
ỡ
ù
=
ớ
ù
=
ợ

( ;0;0)
ẻ ị
M Ox M t

S = MA + MB =
2 2
0 4 1 0
+ + + + +

t
nm cựng phớa vi Ox nờn ta ly A
t
(3; -2) i xng vi A
t

qua Ox.
Phng trỡnh ng thng A
t
'B
t
: 3x + y 7 = 0
S = M
t
A
t
+ M
t
B
t
nh nht khi M l giao im ca Ox v A
t
'B
t

ị
3t - 7 = 0
hay
7
3

2 2
3 2
3 4 2 1
t t
t t
- -
Â
= +
- + - +
f t( )
( ) ( )
2 2
3 2
0 0
3 4 2 1
t t
t t
- -
Â
= + =
- + - +
f t

( ) ( )
2 2
( 3) ( 2)
3 4 2 1

7
3
t
t
= ẽ
ộ
ờ

ờ
=
ở

Bng bin thiờn ca hm s f(t) :

t
-Ơ

7
3

+Ơ

f(t) - 0 +

f(t)
+Ơ

+Ơ
M(
7
3
; 0; 0)

Gii:
ng thng d cú phng trỡnh tham s
1 2
2 2
1
x t
y t
z t
= +
ỡ
ù
= +
ớ
ù
= +
ợ

qua im N(1; 2; 1), cú vtcp
(2;2;1)
=
r
u
v
(2;3; 1)
= -

2 2 2 2 2 2
MA + MB = (2 2) (2 1) (2 ) (2 2) ( 1)
f t t t t t t t= + + + + + + - + +( )
2 2
= 9 12 5 9 6 5
f t t t t t
+ + + - +
=
2 2
(3 2) 1 (3 1) 4
t t
+ + + - +

Cú o hm
2 2
3 2 3 1
'( )
(3 2) 1 (3 1) 4
t t
f t
t t
+ -
= +
+ + - +Vớ d 3: Cho ng thng

+ + - +
với
2 1
3 3
t
- £ £2 2 2 2
(3 2) [(3 1) 4] (3 1) [(3 2) 1]
t t t t
Û + - + = - + +

2 2
5
2(3 2) 3 1
1
3
4(3 2) (3 1)
2(3 2) 3 1 1
3
3
t
t t
t t t
t t
t
-
é
=


3 2Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng
3 2
khi t =
1
3
-

Hay với
2 4 1
; ; )
3 3 3
M(
thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng
3 2

Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số
thì việc tìm t sẽ đơn giản hơn.

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d
1
,d
2
chéo nhau. Tìm các điểm M
Î
d
1

=
uuuur r
MN u
(
1
,
r
u
2
r
u
là các véctơ chỉ
phương của d
1
và d
2
).

- Tìm tọa độ M, N và kết luận.
Giải:
1) d
1
qua M
1
(5; -1; 11), có vtcp
1
(1;2; 1)

1
và d
2
chéo nhau.
2). M
1
d
Î
và N
2
d
Î
sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ
dài đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Phương trình tham số của hai đường thẳng
d
1
:
5
1 2
11
t
t
= +
ì
ï

d
Î
nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N
2
d
Î
nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)
(
=
uuuur
MN
- 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
Ta có
1
2
. 0 6 ' 6 6 0 2
62 ' 6 50 0 ' 1
. 0
t t t
t t t
ì
= - - + = =
ì ì
ï
Û Û
í í í
+ + = = -
=
î î
ï

-
x+ 4 y-3 z - 4
= =

1) Chứng minh d
1
, d
2
chéo nhau
2) Tìm điểm M
1
d
Î
và N
2
d
Î
sao cho độ dài MN ngắn nhất.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d:
2
4
2
t
= +
ì
ï
= +
í
ï
= -


với
1
(0;1;1)
=
uur
u là véc tơ chỉ phương của AB
Phương trình tham số AB
1
2 '
3 '
t
t
=
ì
ï
= +
í
ï
= +
î
x
y
z

M(2 + t; 4+ t; -2)
d
Î
,H(1; 2+ t’;3+t’)
Î

MH u

Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH =
2 3
, AB =
2 2

Diện tích
1
6
2
S
D
= =
MAB
AB.MH
nên d và Ox chéo nhau.
Với M(0; t; 2- t)Î d, N(t’; 0; 0)Î Ox và
(
=
uuuur
MN
t’; -t; t – 2)
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:
0
2
t
t
=
ì
ï
=
í
ï
= -
î
x
y
z
. Trong các mặt cầu tiếp xúc
với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S)
có bán kính nhỏ nhất.

Ta có
. 0 2 0 1
' 0 ' 0


Phương trình mặt cầu (S):
2 2 2
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
x y z
+ - + - = Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt
phẳng.

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B
một khoảng lớn nhất.

Lời giải:

Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt
phẳng (α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và
khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α))
lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt
phẳng đi qua A và vuông góc với AB. Giải:

(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D
và vuông góc với DI.

Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A.
Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt
cầu
(
S
)
có bán kính lớn nhất
.R = d(A; (α))
2 2 2
1 1 6 1
3
1 2 2
+ + -
=
+ +

Phương trình mặt cầu (S): (x -2)
2
+ (y -1)
2
+ (z – 3)
2
= 9.

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương
trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất


= = - -
r uuur uuur
n AB AC

(α) có véctơ pháp tuyến
[ , ] ( 9 6; 3) 3(3;2;1)
a
= = - - - = -
uur r uuur
n n AB

Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0

Û
3x + 2y + z – 11 = 0 Giải:
1) d
1
qua M
1
(2; 1; -1), có vtcp
1
(1;2; 2)
= -
uur
u
d
2

2 4 4
x y z
d
- -
= =
- -

1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau.
2) Trong các mặt phẳng chứa d
1
, hãy viết phương trình mặt phẳng (α)
sao cho khoảng cách giữa d
2
và (α) là lớn nhất.

Ta thấy
2 1
2
= -
uur uur
u u
và
1 2
M d
Ï
nên hai đường thẳng song song với nhau.
2) Xét (α
1
) là mặt phẳng chứa d
1


Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α).
Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn
nhất, nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi
A
≡ H hay
∆ là đường thẳng nằm trong
(α) và vuông góc với AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của
B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi
K
≡ H hay
∆ là đường thẳng đi qua hai
điểm A, K.

Giải:
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến
(2; 2;1)
a
= -
uur

véc tơ chỉ phương của ∆.
Ví dụ
1
: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3).
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm
B(2;3; 5) một khoảng :
1) Nhỏ nhất . 2) Lớn nhất.

Phương trình của ∆:
1 4 6
= =
x+3 y-3 z +3

2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và
vuông góc với AB.
∆ có véctơ chỉ phương
[ , ] (16;11; 10)
a
D
= = -
uur uuur uur
u AB n
Phương trình của ∆:
16 11 10
= =
-
x+3 y-3 z +3

Giải:
Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận

r
u -1
,
( 2;2;0)
= -
uuur
MB[ , ] (2;2;2) 2(1;1;1) 2
d
a
= = =
uur uuur uur
u MB n

(α) đi qua B nhận
(1;1;1)
a
=
uur
n
làm véctơ pháp tuyến
Phương trình (α): x + y + z – 1 = 0
2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆
1
) nhỏ nhất khi ∆
1
đi qua hai
điểm B,H.

1
lớn nhất.
3 ) Viết phương trình đường thẳng ∆
2
đi qua B cắt d sao cho khoảng
cách từ A đến ∆
2
nhỏ nhất.

Phương trình tham số AH:
2
1
1
t
t
= +
ì
ï
= +
í
ï
= - +
î
x t
y
z

Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0
1

u
và
d
r
u
không cùng phương nên d và ∆
1
cắt nhau (do cùng thuộc
mặt phẳng (α))
Vậy phương trình ∆
1
:
2 1 1
= =
- -
x+1 y-2 z

3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆
2
ta có d(A, ∆
2
) = AK ≤ AB, để d(A, ∆
2
)
lớn nhất khi K ≡ B hay ∆
2
nằm trong (α)và vuông góc với AB.
Ta có
2
[ , ] (0; 4;4) 4(0;1; 1) 4

t
= -
ì
ï
= +
í
ï
= -
î
x
y
z

Chú ý :
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý 2 và ý 3 trong
ví dụ 3.

Gọi ∆

là đường thẳng tuỳ ý đi qua B và cắt d, giả sử ∆

cắt d tại điểm
N(1+t, 0;-t), khi đó ∆ có véc tơ chỉ phương
( 2 ;2; )
t t
= - -
uuur
NB

Ta có

2 4
t t
t t
- +
+ +

Xét hàm số
2
2
3 10 12
( )
2 4
t t
f t
t t
- +
=
+ +
có
2
2 2
16 64
'( )
( 2 4)
t t
f t
t t
-
=
+ +


f(t)

1 1 3 3
1
3Từ bảng biến thiên ta thấy:
· d(A;∆) lớn nhất bằng
11
khi t = -2
Þ
N(-1; 0;2)
(0;2; 2) 2(0;1; 1)
= - = -
uuur
NB

và đường thẳng cần tìm có phương trình là:
1
2
t
t
= -
ì
ï

song song hoặc nằm trên (α) và không đi
qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α),
đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d
là lớn nhất.
Lời giải:

Gọi d
1
là đường thẳng qua A và song
song với d, B là giao điểm của d với (α).
Xét (P) là mặt phẳng (d
1
, ∆), H và I là hình
chiếu vuông góc của B lên (P) và d
1
.

Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là
BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp
[ , ]
a
D
=
uur uur uur
u BI n
.
Giải:

ï
= -
î
x t
y
z t

Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0
Û
t = -1
Þ
B(0; 0; 4)
Xét d
1
là đường thẳng qua A và song song với d
Phương trình tham số đường thẳng d
1
:
1
1 2
1
t
= - +
ì
ï
= +
í
ï
= -

uur uur uur
u BI n
= (-5; -10; 4)
Phương trình ∆:
5 10 4
= =
- -
x+1 y-1 z -1

Giải:

Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= 0
=> d nằm trên (α).
Đường thẳng ∆ có vtcp
=
r
u
(2;1;-3), (α) có vtpt
a
=
uur
n
(1;1;-1)
Phương trình tham số ∆:
1 2
4 3
t

1
:
1 2
1
2 3
t
= +
ì
ï
= - +
í
ï
= -
î
x t
y
z t

Ví dụ

2
:
Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường
thẳng ∆
:
2 1 3
-
x+1 y z-4
= =
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song


Þ
uuur
BH
=(
13
14
;
43
28
-
;
3
28
) =
1
28
(26; -43; 3) =
1
28
1
r
u

Đường thẳng d có vtcp
1
[ , ]
d
a
=

tại M. Gọi I là điểm
cố định trên ∆
3
và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ
^
∆
1

Góc giữa (α) và ∆
2
là góc
·
IMH

Trong tam giác vuông HMJ có
cos
·
IMH
=
³
HM MJ
IM IM
không đổi
Suy ra góc
·
IMH
lớn nhất khi MJ = MI hay H ≡
J, khi đó
·
IMH

=
uuur
AB

=>
r
n
=
[ , ] ( 3; 3;3) 3(1;1; 1)
= - - = - -
r uuur
u AB

Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận
[ , ] (3; 3;0) 3(1; 1;0)
= - = -
r uuur
n AB
làm vecto
pháp tuyến
Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d:
2 1 1
= =
-
x-2 y+1 z-1
và hai điểm A( 3; -4; 2), B(
4; -3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc
lớn nhất.