MT S BI TP ÔN THI CĐ ĐH HSG MÔN TON
Đ 1
Câu 1:
a) Giải phương trình:
10 10x x
= + +
,với
x R∈

b) Giải hệ phương trình:
3 2 2 3
2 2
2 8 0
4 1 0
x xy x y y
x y y

+ + + =


+ − − =


,với
,x y R∈
Câu 2:
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
( 3; 1)A − −
, đường phân giác trong
góc A có phương trình
2 0x y− + =





= − ∀ ∈



a) Chứng minh rằng :
1 2,
n
u n
∗
− < < ∀ ∈Ν

b) Chứng minh rằng
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn . Tìm giới hạn đó .
Câu 4:
Cho các số thực:
0, 0, 0, 0a b c d> > > >
. Chứng minh rằng:
a)
3 3 3 3
2 2 2 2
a b c d
a b c d
b c d a

Đ 2
Câu 1:
a) Giải phương trình:
( )
2 2
6 1 2 1 2 3x x x x x
+ + = + + +
,với
x R∈
b) Giải hệ phương trình:
3 2
2 5 2
(15 2 ) 6 (4 9) 2 3 0
x x y
x x y y

+ = −


− − − + + =


,với
,x y R∈
Câu 2:
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, các cạnh AB và BC lần lượt
nằm trên các đường thẳng
1
( ): 2 1 0d x y− + =
và

u a
u u u n
∗
+
=



= + ∀ ∈Ν


a) Chứng minh rằng :
0 1,
n
u n
∗
< < ∀ ∈Ν
b) Chứng minh rằng
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu 4:
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn:
1 1 1
1
2 2 2a b c
+ + ≥
+ + +
Chứng minh rằng:


= +



( ) ( ) ( )
0 1 0x u x u x u x u− − − = ⇔ − + + =
1 0( )
x u
u x VL
=

⇔

+ + =

2
10
21 41
10
2
21 100 0
x
x u x x x
x x
≥

+
= ⇔ = − ⇔ ⇔ =



+ =


⇔ ⇔


 
− + =
− + =

 ÷

 

Thế (3) vào (2) ta được :
2
1
5 4 1 0 1
5
y y y y− − = ⇔ = ∨ = −
1 2
1 2;
5 5
y x y x= ⇒ = − = − ⇒ =
( )
0
4
0
x

x y
− + =

 
⇒

 ÷
+ − =
 

H là trung điểm AM nên tọa độ điểm M là M(4 ; 6)⇒
(2;5)IM =
uuur
BC IM⊥
nên BC có phương trình
: 2 5 0BC x y m+ + =
2 ( , ) 2. ( , )
ABC IBC
S S d A BC d I BC= ⇔ =
29
| 11 | 2 |9 |
7
3
m
m m
m
= −


⇔ − + = + ⇔

4
b a c
C
s
+ −
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1
cot cot cot 5
2 4 4 2 4
b c a a b c c a b
A C B b a c
s s s
+ − + − + −
+ = ⇔ + = ⇔ = +
2 2 2
2 2
1
4 4

9 9 2 4
b c a
AG AA
 
+
= = −
 ÷
 
2 2 2

.
Suy ra
AG CG
⊥
.
Câu 3
Với:
( )
1
3
1: 1
2
n u
= = ⇒
đúng với n=1
Giả sử :
1 2
k
u− < <
với
1,k k∀ ≥ ∈Ν
Ta có :
( )
( )
3 2
1 1
1 8 1
2 2 2 4 0 2
3 3 3
k k k k k k

1
, 1 2 0
3
n n n n
n u u u u
∗
+
∀ ∈Ν − = + − <
1
,
n n
u u n
∗
+
⇒ < ∀ ∈Ν
hay
( )
n
u
là dãy giảm (2)
Từ (1) ,(2) suy ra
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn.
Gọi
a
là giới hạn của
( )
n

b c d a
+ + + ≥ + + + + + + + − + + +
Mà
2 2 2 2
a b c d ab bc cd da+ + + ≥ + + +
nên bài toán được CM.
4 3 4 3 4 3 4 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
, , ,
a a b b c c d d
a b c d
b b c c d d a a
+ ≥ + ≥ + ≥ + ≥
Suy ra:
( )
4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
a b c d a b c d a b c d
a b c d
b c d a b c d a b c d a
 
+ + + ≥ + + + + + + + − + + +
 ÷
 
Do kết quả câu a):
3 3 3 3
2 2 2 2

.
1 1
cos
10 10
u v
u v
= ⇔ =
r r
r r
ϕ
2
1
1
10
1 . 2
k
k
−
⇔ =
+
2
2
2 5 2 0
1
2
k
k k
k
=


1

(5,0điểm)
( ) ( )
2 2
1 2 3 2 1 2 3 4 2 0x x x x x x⇔ + + − + + + + − =

(
)
(
)
2 2
2 3 2 1 2 3 2 0x x x x x⇔ + + − + + + − =

2
2
2 3 2 1
2 3 2
x x x
x x

+ + = −

⇔

+ + =


2
2

= − −


Điều kiện
3
6;
2
x y≤ ≥ −
[ ] [ ]
(2) 2(6 ) 3 6 2(2 3) 3 2 3x x y y⇔ − + − = + + +
Xét hàm số
2 2
( ) (2 3) '( ) 6 3 0f t t t f t t t R= + ⇒ = + > ∀ ∈
⇒ f(t) đồng biến trên R
Từ (2) Ta có
( 6 ) ( 2 3) 2 3f x f y y x− = + ⇔ = −
Ta có hệ phương trình :
3 2
1( 1)
2 2 0
1( 2)
2 3
5
2( )
2
x y
x x x
x y
y x
x y

0 1
x y x
B
x y y
− + = =
 
⇔ ⇒
 
− = =
 
· ·
3 1 2
cos sin 2 5
2
10 10 10
AC R
ABC ABC AC AB
R
= ⇒ = = ⇔ = = =
Gọi
1
(2 1; )A a a d− ∈

Ta có :
2 2 2 2
3
20 (2 2 ) (1 ) 20 ( 1) 4
1
a
AB a a a

H C
x y y
+ + = = −
 
⇔ ⇒ − − ⇒ − −
 
− = = −
 
Vậy A(5 ; 3) ; C(7 ; 7) hoặc A(−3 ; -1) ; C(−5 ; −5)
Xét hệ trục toạ độ với gốc toạ độ O là trung điểm AB, trục hoành là đường thẳng nối
A, B có chiều dương hướng từ A sang B. C nằm trên trục Oy, chiều dương trục Oy
hướng từ O đến C
Giả sử tam giác ABC có cạnh bằng 2a. Khi đó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
,0 , ,0 , 0, 3 , 0, 3A a B a C a D a− −
Phương trình đường tròn tâm D và qua A,B là: (T ):
( )
2
2 2
3 4x y a a+ + =

Giả sử
( )
0 0
, ( )M x y T∈
Ta có:
( )
2
2 2

( ) ( )
1
1: 0;1 1n u a= = ∈ ⇒
đúng với n=1
Giả sử
0 1
k
u< <
với
1,k k∀ ≥ ∈Ν
Ta có :
2 2
1 1
0 1 0
2014 2014
k k
u u
< < ⇒ < <

2013 2013
0 1 0
2014 2014
k k
u u
< < ⇒ < <
2
1 2013
0 1
2014 2014
k k

1
2013 0
2014
n n n n
u u u u
 
= − + − >
 
1
,
n n
u u n
∗
+
⇒ > ∀ ∈Ν
hay
( )
n
u
là dãy tăng.(2)
Từ (1) ,(2) suy ra
( )
n
u
có giới hạn hữu hạn.Giả sử
( )
n
u
có giới hạn là
( )

⇒ ≥ + ≥
+ + + + +
Tương tự ta có :
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
ac
b a c
≥
+ + +
,
( ) ( )
( )
2
2 3
2 2 2
ab
c a b
≥
+ + +
Từ (1),( 2),(3) suy ra :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
8
2 2 2 2 2 2
abc
a b c a b c
≥

10,5 2t
 
∈
 
Do
2
2
3 19
3 2 7 21 4 3
4 4
t
t x x x x x
−
= + + − ⇔ + − − + =
nên phương trình trở thành:
2 2
19 19
4 4
t t
mt m
t
− −
= ⇔ =
Xét hàm số
( )
2
19
4
t
f t

10,5 2
 
 
Phương trình có nghiệm thực
⇔
( ) ( )
9 10 31 2
10 5 2
40 40
f m f m≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Vậy, phương trình có nghiệm thực khi
9 10 31 2
40 40
m− ≤ ≤
.