MỘT SỐ BÀI TOÁN
ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2n + 12 b. n (n+3)
c. n
2
+ n + 1589
Gợi ý : a. Vì n
2
+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
∈
N)

⇒
(n
2
+ 2n + 1) + 11 = k
2

⇔
k
2
– (n+1)
2

đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gợi ý: Gọi A =
abcd
= k
2
. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B =
( 1)( 1)( 1)( 1)a b c d+ + + +
= m
2
với k, m ∈ N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d ∈ N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
⇒
m
2
– k
2
= 1111
⇔
(m - k)(m+k) = 1111 (*)
Xét các trường hợp, kết quả A = 2025 , B = 3136
Bài tập tương tự :
a. Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
b. Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập
phương các chữ số của số đó.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3xy + x - y = 1

⇔
(3y + 1)(3x - 1) = 2 (Phương trình ước số)
Vì x, y là các số nguyên nên 3x - 1 , 3y + 1 là các số nguyên và là ước của 2

11(91 10 )abba a b= +

b.
7.1443.ababab ab=

c.
37.3.(1000 )aaabbb a b= +

d.
.1001 .7.11.13abcabc abc abc= =
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 1 trang 5, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho mỗi chữ số, kể từ chữ số thứ ba
(tính từ trái sang phải) đều là tổng của 2 chữ số liền kề bên trái.
Gợi ý : Gọi a là chữ số hàng trăm ngàn (a > 0) và b là chữ số hàng chục ngàn của số tự
nhiên cần tìm.
Chữ số hàng ngàn là : a + b.
Chữ số hàng trăm là : a + 2b.
Chữ số hàng chục là : 2a + 3b.
Chữ số hàng đơn vị là : 3a + 5b.
Ta có 3a + 5b ≤ 9
⇒
b ≤ 1, nên b = 0 hoặc b = 1
Lý luận đưa đến kết quả : 101123 ; 202246 ; 303369 ; 112358 .
Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xxA −++= 20092008

Gợi ý :
+ Điều kiện để A có nghĩa : - 2008 ≤ x ≤ 2009.
+ Giá trị nhỏ nhất : A = 4017 khi x = -2008 hoặc x = 2009.
+ Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski tìm.

.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
2
d. Tìm GTLN của A
Bài 9 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +

với x
≥
0, x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x = 0,36
c. Tìm
x Z∈
để
A Z∈

2
Bài 11 : Tính
1281812226A −++−=
Ta có :
24)24(228412818
22
−=−=+−=−
13)13(13233242326)13(26
13)13(132341224122
2
2
−=−=+−=−=−−=+−=
+=+=++=+=−++
A
Bài 12 :Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
1. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm với mọi m


( )
21
2
21
92 xxxx −+=
Theo viet ta có :

( ) ( )
( )
9m18m89m18m421m29m22
a
c
xx
a
b
xx
22
2
21
21
+−=+−=−−⇒







=

2
thỏa mãn hệ thức : x
2
– 3x
1
= 0
Gợi ý
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = (3m + 2)
2
– 4m
2
> 0
⇔ (5m + 2)(m + 2) > 0
⇔
5m 2 0
m 2 0
+ >


+ >

hoặc
5m 2 0
m 2 0
+ <


+ <


m +
.
3(3 2)
4
+m
= m
2

Giải phương trình này ta có hai nghiệm
3

1
18 8 3
m
11
+
= −
;
1
18 8 3
m
11
−
= −
(thỏa điều kiện)
Bài 14 : Cho phương trình 5x
2
+ mx – 28

= 0

=
28
5
−
(2) ; 3x
1
– 5x
2
= 20 (3)
⇒
1
20
8
−
=
m
x
⇒
2
3 100
40
− −
=
m
x

thay x
1
và x
2

– 4m +30
giải phương trình – m
2
– 4m +30 = 0
ta được m
1
= –2 –
34
; m
2
= –2 +
34
để phương trình có hai nghiệm phân biết thì
∆’ > 0 hay – m
2
– 4m +30 > 0 hay m
2
+ 4m –30 < 0
⇔ –2 –
34
< m < –2 +
34
Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có :
x
1
+ x
2
= 12 (1) ; x
1
.x

Thay x
1
và x
2
vào (2) ta có m
2
+4m –21 = 0
⇔ m
1
= –7 ; m
2
= 3
Thỏa điều kiện –2 –
34
< m < –2 +
34
.
Bài 16 : Cho phương trình : x
2
– 4x + m = 0
a. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 26.
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức :

3 3 2 2
1 2 1 2
x x 5(x x ) 26+ − + =

− − − =
m = – 21 thỏa điều kiện.
Bài 17 : Cho 3 đường thẳng
(d
1
) : y = (m
2
– 1)x – m
2
+ 3 ;
(d
2
) : y = x + 5 ;
(d
3
) : y = –x + 1 ;
a. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố
định.
b. Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
).
c. Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
3
).

).
Bài 19 : Xác định đường thẳng (d) : y = ax + b biết (d) cắt đường thẳng y = 2x + 3 tại một
điểm A có hoành độ và tung độ đối nhau và (d) cắt đường thẳng y = - 4x + 7 tại một
điểm B có tung độ gấp ba lần hoành độ.
(Đáp án : (d
)
: y = x + 2 )
Bài 20 : Cho đường thẳng (d
1)
y =
)73(
5
1
+
−
x
.
Viết phương trình đường thẳng (d
2
) đối xứng
với đường thẳng (d
1
) qua trục hoành.
(Đáp án : y =
)73(
5
1
+x
)
Bài 21 : a) Chứng minh

b)
1 1a b b a ab− + − ≤
(với a ≥ 1, b ≥ 1).
5
c)
2 2 2
1 1 1
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
+ + ≤
+ + +
(với a, b, c dương).
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 9 trang 75, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 24 : Cho parabal : y = - x
2
và đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết rằng (d) cắt (P) tại hai
điểm Avà B có hoành dộ lần lượt bằng -1 và 2.
a). Xác định tọa độ các điểm A và B.
b). Xác định hệ số a và b.
c). Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 7 trang 59, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 25 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y =
4
2
x
−
có đồ thị (P) và đường thẳng
(d) đi qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -4 và 2.

b).Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c).Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao?
d).Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất; tính
giá trị đó theo R.
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 10 trang 124, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”).
Bài 29 :Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O (với D
∈
AB ; E
∈
AC; F
∈
BC là
các tiếp điểm).M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ DE của đường tròn (O) (M khác D và
khác E). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB, AC lần lượt tại H, K.
Chứng minh tam giác AHK có chu vi không đổi.
6
Gợi ý : Chứng minh chu vi tam giác AHK bằng :
AB + AC – BC không đổi.
Bài 30 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi K là
giao điểm của OA và BC. Lấy điểm L trên cạnh AB sao cho KL = KB, điểm M trên cạnh
AC sao cho KM = KC.
Chứng minh các đường thẳng BC và LM song song với nhau.
Gợi ý :
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, K lên AB.
Chứng minh :
AC
MC
AB
LB
=

2
2
và
∠
PAM=
∠
MFQ
(suy ra từ ∆EFM và ∆ABM đồng dạng)
Vậy: ∆AMP và ∆FMQ đồng dạng với nhau.
3).C/m :
∠
PQM=90
o

Chứng

minh ∆MQP và ∆AFM đồng dạng.
.
⇒
∠
MQP=
∠
AFM
Mà
∠
AFM=1v ⇒
∠
MQP = 1v
Bài 32 :
Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác của