C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong
êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp - Nhị thức Niutơn (Số 2)
1. Hoán vị
( )
. 1 2.1
n
P n n= −
2. Chỉnh hợp
( ) ( )
( )
!
1 1
!
k
n
n
A n n n k
n k
= − − + =
−

0

=
; 2)
1
1
k k k
n n n
C C C
−
+
= +
4. Nhị thức Niu tơn
( )
0 1 1
0
. .
k
n
k n k k n n k n k k n n
n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
T/c của khai triển của nhị thức Niu Tơn: Tổng có n+1 số hạng ,bậc của mỗi số hạng là n, Số hạng tổng quát
thứ k là
1
. .
k n k k

có nghĩa
⇔
∈n
N
*
;
k
n
A
có nghĩa
⇔
∈nk,
N;
1 k n≤ ≤
;
k
n
C
có nghĩa
⇔
∈nk,
N;
nk ≤≤0
• Bước 2: Chuyển về giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp
• Bước 3: Đối chiếu với tập xác định, kết luận.
Bài1. Giải các phương trình
1)
1 2 3 2
6. 6. 9 14
x x x

14
23
=+
−
(TNTHPT - 98 - 99)
6)
3 3
8 6
5
x
x x
C A
+
+ +
=
7)
xxCCC
xxx
14966
2321
−=++
(ĐHNN - 99- 00)
8)
2
7
321
x
CCC
xxx
=++

72 6 2
x x x x
P A A P+ = +
Bài 2.Giải hệ phương trình 1)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =

− =

(Đs:x=5,y=2) ;2)





=
=
−
−−
1
12
35

1
=
−+
+
y
x
y
x
y
x
CC
C
(Đs: (x = 8; y = 3))
5)
1 1 1
1 1
( ): : 10:2:1
y y y y
x x x x
A yA A C
− − −
− −
+ =

Bài 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mãn phương trình:
4 3 2
1 1 2
5
0
4

n
n n
A C n
−
+ +
+ < +
(Đs:
7
4
2
n− < <
( )
4
4
143
3)
2 ! 4
n
n
A
n P
+
<
+
( Đs:
9,5 2,5n− < <
4)
4
3 4
1

1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
(Đs:
4x
≤
)
6)
xAA
xx
215
23
≤+
(ĐHQGHN - 98- 99) 7)
10
6
2
1
322
2
+≤−
xxx
C
x
AA
9)

3
1
14
n
n
n
n
A
P
C
+
−
−
<
12)
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
(Đs:
3; 4x x
= =
)
11)
2

1
k k k
n n n
C C C
−
+
+ =
.CMR:
1)
1 2 3
3
3 3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
− − −
+
+ + + = ≤ ≤
; 2)
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
3)
1 2 3 4

+
+ =
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
⇒ = −
Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng
Bài 14. Tìm hệ số của số hạng:
a) chứa x
4
trong khai triển
10
1
x
x
 
+
 ÷
 
b) chứa x
43
trong khai triển
21
5
3 2
1

d) chứa
6 2
x y
trong khai triển
10
x
xy
y
 
+
 ÷
 
e) chứa x
31
trong khai triển
40
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 16.Tìm số hạng không chứa x trong k.tr a)
7
3
4
1
x

x x
x
 
+
 ÷
 
bằng 79 .
Bài 17 Cho khai triển
3
3 2
3
n
x
x
 
+
 ÷
 
.Biết tổng của ba số hạng đầu tiên trong khai triển bằng 631 .Tìm hệ số của số
hạng có chứa x
5

0 1 2
3 9 631
n n n
C C C+ + =
Bài 18.Biết trong khai triển
1
3
n

.Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số nguyên dương
Bài 21.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển a )
( )
19
3
3 2+
b)
( )
125
3
3 7+
Bài 22.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triển a)
( )
124
4
3 5+
b)
( )
64
3
4
7 3−
Bài 23. Khai triển đa thức
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
14
0 1 14
1 1 1

P x x x x

a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Bài 26.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng của khai triển
2
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong
êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
a)
( )
101
1 x+
b)
( )
30
1 2x+
. c)

1 ! 102 !
k
k
k
k
k k
T C
T C
k k
+
−
−
= =
− −
;
1
102
1 0 51
k
k
T
k
k
T k
+
−
= ≥ ⇔ ≤ ≤
; k=51
51
101

nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp
chập k của n phần tử). ĐS: n=6
3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)
5
+x2(1+3x)
10
.ĐS: 3320
4. (ĐH_Khối D 2005)Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2







+
x
x
với x>0. ĐS: 35
3
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong
êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a
3n
−
3
là hệ số của x
3n
−
3
trong khai triển thành đa thức của

CCC
n
n 111
2
1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ
hợp chập k của n phần tử).
9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển (2+x)

n
2
−3
n
−
3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
10. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số
tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.ĐS: k=9
11. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1

−
++
n
nn
12. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
A
1
A
2
…A
n
, tìm n. ĐS: n=8
13. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a

. ĐS: a
8
=126720
5
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong
êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
14. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng
1
2
2
12
2
5
2
3
2
1
2
12
12
2
1

n
x
x






+
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n
C

2
(1−x)]
8
. ĐS: 238
6
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong
êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
18. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3

n
x
n
x
n
n
x
n
n
x
x
CCCC








+













=








+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3

1) Khi tính số phần tử của không gian mẫu và tập hợp mô tả biến cố cần nắm chắc kiến thức về tổ hợp để
tìm.
2) Khi áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất cần thoả mãn hai điều kiện:
- Không gian mẫu chỉ có hữu hạn các phần tử(số phần tử đếm được)
- Các kết quả của phép thử phải là đồng khả năng.
Ví dụ: Khi gieo con súc sắc hoặc đồng tiền phải cân đối đồng chất để khả năng xuất hiện các mặt là như nhau, khi chọn
quả cầu trong hộp thì khả năng chọn mỗi quả là như nhau đó chính là tính đồng khả năng. Khi gieo con súc sắc số lần
gieo hữu hạn, số quả cầu trong hộp hữu hạn đó chính là tính hữu hạn của các phần tử của không gian mẫu.
2. Áp dung các qui tắc tính xác suât:
* Bước 1: Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất là A, các biến cố liên quan đến biến cố A là:
1 2
; ;
n
A A A
sao cho:
- Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố :
1 2
; ;
n
A A A
.
- Xác xuất của các biến cố :
1 2
; ;
n
A A A
là tính được(dễ hơn so với A)
- Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố
1 2
; ;

,A A
đối nhau:
( ) ( )
1 2
1P A P A= −
3) Nếu
1 2
,A A
độc lập:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
P A A P A P A=
Chú ý: A và B độc lập thì
& ; & ; &A B A B A B
cũng độc lập.
A và B độc lập
( ) ( ) ( )
P AB P A P B⇔ =
Bài1:Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen. Lần lượt lấy ra 3 bi từ hộp.Tính xác suất để trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu
đỏ.
Giải: Cách1: ĐN cổ điển của xác suất
Gọi A là biến cố: “Trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ”
Vì sự lựa chọn không phân biệt thứ tự lấy nên số kết quả của quá trình lựa chọn là một tổ hợp chập 3 của 5+6=11
phần tử
3
11
C⇒ Ω =
.
Trong 3 bi lấy ra: Chọn 2 bi màu đỏ trong 5 bi đỏ có
2

độc lập nên:
1 2 3
, ,A A A
độc lập;
1 2 3
, ,A A A
độc lập;
1 2 3
, ,A A A
độc lập
Ba biến cố:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,A A A A A A A A A
xung khắc
Vậy:

1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 4 6 5 6 4 6 5 4 4
1110 9 1110 9 1110 9 11
P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A= + +
= + + =
Bài toán:Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen, 7 bi vàng. Lần lượt lấy ra 4 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra
không có đủ 3 màu:
HD: Gọi A là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra không đủ 3 màu”
A
⇒
là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra có đủ 3 màu”
Các trường hợp chọn 4 bi đủ 3 màu: 2 đỏ, 1 xanh, 1 vàng
1 đỏ, 2 xanh, 1 vàng

1 1
2 4
8C C =
( )
26
26 0,52
50
A
P A⇒ Ω = ⇒ = =
Cách 2: Gọi A là biến cố lấy được từ hộp 1 quả màu đỏ
Gọi B là biến cố lấy được từ hộp 2 quả màu đỏ
Có:
C AB AB= ∪
A và B độc lập thì
& ; &A B A B
cũng độc lập,
,AB AB
xung khắc nên:
3 6 2 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,52
5 10 5 10
P C P A P B P A P B= + = + =
Chú ý: Gọi D là biến cố: “ lấy ra 2 quả cùng màu”
D C⇒ =
8
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong

( )
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,4 .0,3.0,2. 0,4. 0,7 0,00672
A A A A A A P A P A P A P A P A P A= ⇒ =
= =
2.Bài toán: Có 1 xạ thủ bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn có:
a) ít nhất một lần bắn trúng bia? b) Bắn trúng bia đúng 1 lần?
Giải: a.Gọi A là biến cố có ít nhất 1 lần bắn trúng bia

( ) ( )
( )
( )
1 1 1
A 0,8.0,8.0,8 0,512 1 0,488P P A A A P A P A⇒ = = = ⇒ = − =
b. Gọi
i
A
là biến cố người đó bắn trúng bia ở lần thứ i, i=1,2,3
A là biến cố trong 3 lần bắn người bắn trúng bia 1 lần

( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3.0,128 0,384A A A A A A A A A A P A⇒ = ∪ ∪ ⇒ = =
3. Hiển nhiên khi đọc bài toán trên không thể giải theo định nghĩa cổ điển của xác suất vì không thể tìm được số
phần tử của không gian mẫu.
Bài 4: Trường THPT Đội Cấn có 2 đội bóng chuyền thi đấu. Họ thoả thuận với nhau rằng đội nào đầu tiên thắng 5
séc thì được nhận toàn bộ giải thưởng. Đang thi đấu thì trời mưa nên trận đấu phải dừng lại khi đội thứ nhất thắng 4
ván, đội thứ hai thắng 3 ván. Vậy cần phải chia giải thế nào thì hợp lí?
(Dựa theo nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ)

để k sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu.
5. Chia 12 tặng phẩm cho 3 người . Tìm xác suất để :
a.Người thứ nhất được 3 sản phẩm b.Mỗi người được 4 sản phẩm
6. 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để :
a.Mỗi toa có 3 hành khách b.Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách.
9
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gỈp trong
êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
7. Lấy ngẫu nhiên lần lược 3 chữ số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải. Tìm xác
suất để nhận được số tự nhiên gồm 3 chữ số.
8. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được 3 câu hỏi mà
học sinh đó rút được
9. Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1 câu hỏi lý
thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4 câu lý thuyết và 12
câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn 1 đề thò một cách ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh
A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học. Tính xác suất để học sinh A :
a/ không trả lời được lý thuyết. b/ chỉ trả lời được 2 câu bài tập.
c/ đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập.
11. Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ, trong đó có 6
nam và 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ trước và mỗi phòng nhận 1
người”.
a/ Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ. b/ Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ.

2
+ bx+ c =0. Tính xác
suất để :
a. Phương trình vơ nghiệm b. Phương trình có nghịêm kép c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt
21. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :
a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên b. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần
22. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu. Tính xác suất để :
a. Hai quả cầu lấy ra màu đen b. Hai quả cầu lấy ra cùng màu
23. Sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để :
a. A, B ngồi cạnh nhau b. A,B ngồi cách nhau một ghế.
24. Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để
10
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp trong
êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt
tæ hîp - x¸c suÊt
a. Có đồng xu lật ngửa b. Không có đồng xu nào sấp
25. Gọi (x,y) là kết quả của việc gieo hai con xúc xắc khác nhau. Tính xác suất để :
a. x lẻ , y chẳn b. x>y c. x+y <4 d. x chia hết cho y
26.Có 4 tấm bìa đỏ ghi 1,2,3,4 và 5 tấm bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ngẩu nhiên 1 tấm. Tính xác suất để :
a. Rút được tấm ghi số chẵn` b. Rút tấm bìa đỏ
27: Một lớp có 28 sinh viên trong đó có 5 SV giỏi,13 SV khá,10SV trung bình.Lấy ngẫu nhiên 4 SV đi dự ĐH đoàn
trường.Tính XS để có ít nhất 2 SV giỏi đc lấy.
28. Có 100 tấm bìa hình vuông được đánh số từ 1 đến 100.Ta lấy ngẫu nhiên 1 tấm bìa.Tìm xác suất để lấy được:

P
n n
− −
=
−
)
36* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy.Hỏi xác suất để 3 người cùng đến quầy số 1 là
bao nhiêu?
HD: Mỗi khách có 3 khả năng như nhau để dến 3 quầy.Số biến cố đồng khả năng là: 3
10
.Còn số biến cố thuận lợi là:
3 7
10
.2C
suy ra
3 7
10
10
.2
3
C
P =
37. Có n người (trong đó có m người trùng tên) xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang.Xác suất để m người trùng tên đó
đứng cạnh nhau là bao nhiêu?
Đáp số :
( 1)! !
!
n m m
P
n

11
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gỈp trong
êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
Bài6: Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng.Tính xác suất sao cho phải bắn
đến viên đạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,2.Và các lần bắn độc lập với nhau
(P=0,065536)
Bài7: Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồng chất.Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện là số lẻ.B là biến cố được ít
nhất một mặt một chấm.Hãy tính
a/ P(
A B∪
) (P=23/36) b/ P(AB) (P=1/6)
Bài8: Có 2 bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (Việc chúng hỏng là độc lập với nhau).Tính xác suất để mạch
khơng có điện do bóng hỏng nếu
a/Chúng được mắc song song P=0,02 b/Chúng được mắc nối tiếp P=0,28
Bài 9: Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng xu liên tiếp. Ai giei được mặt sấp trước thì thắng cuộc. Tìm xác suất thắng
cuộc của mỗi cậu bé.
Bài 10 : Xác suất để 1 sản phẩm của nhà máy A bò hỏng là 0,05, khi kiểm tra một lô hàng gồm các sản
phẩm của nhà máy A, người ta lấy ngẫu nhiên n sản phẩm trong lô hàng, lô hàng bò loại nếu có ít nhất k
phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra. Tính xác suất để lô hàng bò loại với : a/ n = 3 ;k = 1b/ n = 5; k
= 2
Bài 11 : Một mạng điện gồm một ngắt điện K và hai bóng điện Đ1, Đ2 được ghép nối tiếp. Mạng điện bò
tắt nếu ít nhất một trong ba bộ phận trên bò hỏng.

khả năng thắng thầu dự án B là 50%
a. Tìm xác suất Công ty thắng thầu ít nhất một dự án. b. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu một dự án
c. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu dự án B.
12
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gỈp trong
êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
Bài 19 Một Công ty đấu thầu 2 dự án A và B, khả năng thắng thầu dự án A là 90%; khả năng thắng thầu
dự án B là 77% và khả năng thắng thầu đồng thời cả 2 dự án là 72%
a. Tìm xác suất Công ty chỉ thắng thầu 1 dự án b. Tìm xác suất Công ty có ít nhất 1 dự án không thắng
thầu
c. Tìm xác suất Công ty đều không thắng thầu cả 2 dự án .
Bài 20 : Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện.
Nếu mẫu này không chứa quả cam hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1. Nếu mẫu cho một hoặc hai quả
hỏng thì sọt cam xếp loại 2. Trong trường hợp còn lại (có từ 3 quả hỏng trở lên) sọt cam được xếp loại 3.
Trên thực tế 3% số cam trong sọt bò hỏng. Tìm xác suất để sọt cam được xếp loại :
a/ Loại 1 ; b/ Loại 2 ; c/ Loại 3.
Bài 21 : Một bài thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lời, trong
đó chỉ có một câu đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bò trừ 1 điểm.
Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để:
a/ Anh ta được 13 điểm ; b/ Anh ta được điểm âm.
Bài 22. Một hộp có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm. Lẫy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm một không hoàn
lại cho tới khi lấy được hai thành phẩm thì dừng lại. a. Tìm xác suất để chỉ lấy ra sản phẩm ở lần

b/ Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, giả sử sản phẩm đó là thành phẩm, khả năng thành
phẩm đó thuộc phân xưởng nào nhiều hơn.
Bài 29: Có 2 lô hàng, lô 1 có 10 thành phẩm, 4 phế phẩm ; lô II có 12 thành phẩm, 5 phế phẩm. Từ lô 1 lấy ra 1
sản phẩm, từ lô II lấy ra 3 sản phẩm. Rồi từ số sản phẩm lấy ra đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm, tính xác suất
để :
a/ 2 sản phẩm chọn ra lần cuối đều là thành phẩm. b/ có ít nhất 1 thành phẩm.
Bài 30 : Có 2 thùng hàng, thùng thứ I chứa 10 sản phẩm, thùng thứ II chứa 8 sản phẩm và trong mỗi thùng
đều có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở thùng hàng thứ I cho vào thùng hàng thứ II rồi lại lấy
ngẫu nhiên từ thùng hàng thứ II 1 sản phẩm rồi bỏ lại vào thùng hàng thứ I, cuối cùng lấy 1 sản phẩm từ
13
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gỈp trong
êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
thùng hàng thứ I. Tính xác suất : a/ sản phẩm lấy ra cuối cùng là phế phẩm. b/ sản phẩm lấy
ra cuối cùng thuộc thùng hàng thứ II ở lúc ban đầu.
Bài 31 : Tỉ số khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào 1 cửa hàng A trong 1 ngày là 8 : 4 : 1. Xác suất
để khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào cửa hàng và mua hàng lần lượt là 0,4 ; 0,3 và 0,2.
a/ Tính xác suất để có 1 khách hàng vào cửa hàng mua hàng.
b/ Giả sử có 1 người khách mua hàng. Tính xác suất để người đó là khách ngoại quốc.
Bài 32 : Một hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh lần thứ nhất lấy ra 1 bi và quan sát, nếu là bi đỏ thì bỏ bi đó vào hộp
cùng với 2 bi đỏ khác nhữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi đó vào hộp cùng 1 bi xanh khác nữa. Lần thứ hai lấy ra
1 bi và quan sát. a/ Tính xác suất để bi lấy ra lần 2 là bi đỏ.
b/ Giả sử bi lấy ra lần 2 là bi đỏ, tính xác suất để bi đỏ đó là bi của hộp lúc ban đầu (tức không phải bi đỏ

phẩm này là phế phẩm bằng bao nhiêu ?
Bài 38 : Có 2 lô hàng.
Lô 1 : Có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm. Lô 2 : Có 8 thành phẩm và 2 phế phẩm.
Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm rồi trong số sản phẩm được lấy ra lại lấy
tiếp ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong hai sản phẩm đó có ít nhất một thành phẩm.
Bài 39 : Xí nghiệp A sản xuất một loại sản phẩm với xác suất hỏng của mỗi sản phẩm bằng p, ở phân
xưởng, sản phẩm có thể được một trong ba nhân viên kiểm tra chất lượng với xác suất như nhau. Xác suất
phát hiện sản phẩm hỏng của người thứ i là pi (i = 1,3). Nếu sản phẩm không bò loại ở phân xưởng thì được
chuyển đến KCS của nhà máy và ở đó, sản phẩm hỏng sẽ được phát hiện với xác suất po, tìm xác suất để
sản phẩm bò loại.
Bài 40 : Một hộp có đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả bóng còn mới. Lần đầu ta lấy ra ba quả để thi
đấu. Sau đó lại trả ba quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra ba quả. Tìm xác suất để cả ba quả bóng lấy ra
lần thứ hai đều là bóng mới.
Bài 41: Có 3 chiếc hộp:Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh
Hộp 2 có 5 bi đỏ và 2 bi xanh Hộp 3 có 4 bi đỏ bà 5 bi xanh
14
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gỈp trong
êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
Lấy 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 sau đó lấy 1 bi bỏ vào hộp 3 rồi từ hộp 3 lấy ra 1 bi.
a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đó là bi của hộp 3 lúc đầu.
Bài 42 Có hai chiếc hộp: - Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh - Hộp 2 có 4 bi đỏ và 3 bi xanh

một sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,08.
Tìm xác suất để một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua kiểm nghiệm được chấp nhận.
Bài 49: Có 2 quả tên lửa bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu của quả tên lửa
thứ nhất và quả tên lửa thứ 2 tương ứng là 70% và 80%. Nếu có 1 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bò diệt
với xác suất là 80%. Nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bò diệt với xác suất là 90%.
a. Tìm xác suất để mục tiêu bò diệt
b. Biết mục tiêu đã bò tiêu diệt. Tìm xác suất để quả tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu.
Bài 50: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 8 thành và 2 phế phẩm. Trong quá trình vận chuyển thì bò
mất đi 2 sản phẩm không rõ chất lượng ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong 8 sản phẩm còn lại.
a. Tìm xác suất để 2 sản phẩm ta lấy là thành phẩm.
b. Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bò mất. Biết rằng 2 sản phẩm ta lấy đều thành phẩm.
Bài 51: Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá trong 1 lần thả câu ở chỗ
thứ nhất, thứ 2 và thứ 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng người đó đã chọn 1 chỗ và thả câu 3 lần độc
lập và chỉ câu được 2 con cá. Tìm xác suất để người đó câu ở chỗ thứ nhất.
Bài 52 :Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách : hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi
qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường
15
C¸c d¹ng to¸n th
C¸c d¹ng to¸n thêng gỈp trong
êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st
tỉ hỵp - x¸c st
ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ; còn nếu đi lối cầu thì chỉ có 70% trường hợp (nhưng
đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để cn đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ.
Bài 53: Tại một bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A là 10%. Để chẩn đoán xác đònh người ta làm phản ứng miễn

Bài 58 : Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần lượt là 0,5 ;
0,6 ; 0,7. Gọi Ai là sự kiện chỉ người thứ i bắn trúng mục tiêu i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn các sự kiện sau theo
các sự kiện Ai,
i
A
; i = 1, 2, 3 và tính xác suất của các sự kiện đó.
a/ A = sự kiện chỉ có một người bắn trúng đích. b/ A = sự kiện có nhiều nhất 1 người bắn trúng đích.
c/ C = sự kiện mục tiêu (đích) bò bắn trúng.
Bài 59: Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm. Các sản phẩm đều thuộc một trong hai loại :
tốt hoặc xấy. Ta ký hiệu Ak (k =
10,1
) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu. Viết bằng ký
hiệu các biến cố sau đây :
a/ Có 10 sản phẩm đều xấu. b/ Có ít nhất một sản phẩm xấu.
c/ Có 6 sản phẩm kiểm tra đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu.
d/ Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là xấu.
LOẠI 3 : BÀI TẬP VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Bài1: Một hộp có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen.Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy được quả cầu
trắng.Hãy lập bảng phân phối xác suất của các quả cầu được lấy ra
Bài2: Một phòng thi vấn đáp có 20 câu hỏi lý thuyết và 10 câu bài tập.Mỗi người vào thi được lấy 1 câu lý thuyết và
1 câu bài tập.Trả lời đúng được 5 điểm,trả lời sai được 0 điểm (cho mỗi câu).Việc trả lời câu lý thuyết và câu bài tập
là độc lập.Khi vào thi hcọ sinh A thuộc 12 câu lý thuyết và có thể làm được 6 câu bài tập.
a/Tính xác suất để A đạt điểm 0 (P= 4/25)
b/Gọi X là số điểm A đạt được.CMR: X là một biến ngẫu nhiên rời rạc
- Lập bảng phân bố xác suất của X.
- Tính xác suất để A đạt từ 5 điểm trở lên (P= 21/25)
c/Tính số điểm trung bình mà A có thể đạt được (Kỳ vọng E(X)=6)
Bài3: Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau.Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng tương
ứng là: 0,4 ; 0,2 ; 0,3.Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t
a/Lập bảng phân bố xác suất của X