ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Chiến lược phát triển giáo dục Đại học - Cao đẳng từ năm 2005 đến 2015 là
từng bước đổi mới nội dung, chương trình, giáo trình và phương pháp dạy học.
Một trong những khâu then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học là
rèn luyện kỹ năng tự học, tự thích ứng cho sinh viên.
Hiện nay có rất nhiều phần mềm toán học chuyên dụng như: Maple , Cabri
Geometry, Geometers Sketchpad, Mathcad, Derive, Trong đó Maple là
một trong những phần mềm được sử dụng phổ biến bởi nó đáp ứng cho mọi
tính toán số, hỗ trợ nhiều lĩnh vực của toán học: giải tích toán học, đại số
tuyến tính, giải tích số, đồ thị, đại số sơ cấp, xác xuất thống kê…Maple còn
có thể sử dụng lập trình để giải các bài toán phức tạp, đặc biệt Maple có thể
tính toán trên các kí hiệu toán học, thực hiện tính toán với khối lượng lớn, với
thời gian nhanh và độ chính xác cao.
Maple tương đối dễ học, dễ sử dụng và đáp ứng được những yêu cầu trên.
Đó cũng chính là lý do chúng tôi chọn đề tài “Ứng dụng Maple để tự học
phương trình vi phân”. Qua đề tài này hy vọng sẽ góp được phần nhỏ vào
giải phương trình vi phân nói riêng và toán học nói chung.
II.NỘI DUNG.
Maple là phần mềm do một số các nhà khoa học của Canada thuộc trường
Đại Học Tổng Hợp Waterloo xây dựng và cho ra đời năm 1980 với mục đích
giải quyết công việc liên quan đến tính toán. Từ đó làm thay đổi hẳn cách học
toán: Song song với cách giải “truyền thống”, sinh viên được hướng dẫn giải
bằng sự trợ giúp của Maple. Phương pháp này tạo cho sinh viên cách tiếp cận
mới với toán học, sinh động, sáng tạo và rèn được khả năng tự học, tự kiểm tra,
tự nghiên cứu.
1. Ứng dụng Maple để tự học phương trình vi phân
* Cách giải phương trình vi phân bằng Maple:
Câu lệnh:
> dsolve(ode);
>dsolve({ode,ICs},y(x),options);

Ví dụ 1 : Giải phương trình vi phân:
'
2 2
2xy
y
x y
=
−
*Bài giải
Ta có
'
2
2 2
2
2
( )
1
y
xy
x
y y x
x y
y
x
= = ≠ ±
−
 
−
 ÷
 

+
Lấy tích phân 2 vế ta được:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
1
0 : (*)
(1 )
1
(1 )
1 2
( )
(1 )
ln ln 1 ln ln
ln ln
1
1
(1 )
( )
u dx
u du
u u x

⇔ = +
⇔ = +
∫ ∫
∫ ∫
*
0 0u y
= ⇒ =
.
KL: Nghiệm của phương trình là
2 2
( )y C x y
⇔ = +

*Giải phương trình bằng maple:
>
>
3
2.1.2Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
a). Là phương trình vi phân có dạng: y’ + p(x) y = f(x) (3)
trong đó p(x), f(x) là các hàm liên tục.
*Nếu f(x)=0, ta có: y’ + p(x) y = 0 (4)
Phương trình (4) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 2 : Giải phương trình:
'
1
3y y x
x
+ =
(*)
*Bài giải

dx
y
x
−
=
Thay vào (*):
2 2
3
2 2
3
.
3.
. 3.
3. 3.
dC
x C
C
dx
x
x x
dC
x C C x
dx
dC
x dC x dx
dx
C x C
−
⇒ + =
⇔ − + =

0y
≠
Chia hai vế pt(*) cho
2
y
ta được:
,
3
2
2
y x
x
y y
− =
(**)
Đặt:
,
,
2
1 y
z z
y y
−
= ⇒ =
Thay vào (**):
, 3
2z xz x
− + =
, 3
2z xz x

Thay voà (**) ta được:
2 2 2
2
2
2 2
' 3
' 3
' 3
2
( ) 2 ( ) 2 ( )
( )
( )
1
( ) ( )
2
x x x
x
x
x x
C x e xC x e xC x e x
C x e x
C x x e
C x x e e C
− − −
−
+ − = −
⇔ = −
⇔ = −
⇔ = − + +
Vậy nghiệm của pt (***) là:

6
( )
( 1)
1
( 2)
1 2
( )
( )
( ( ) )
n
n
n
y f x
y f x dx C
y f x dx C C
−
−
=
= +
= + +
∫
∫
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(4)
y x
=
*Bài giải:
Ta có:
(4)
2

>
1.2.2Phương trình không chứa hàm phải tìm và đạo hàm của nó đến cấp
k-1
Dạng:
( ) ( 1) ( )
( , , , , ) 0
k k n
F x y y y
+
=
Ví dụ 3: Giải phương trình:
,, ,
1
0y y x
x
+ − =
*Bài giải:
7
Đặt:
, , "
z y z y
= ⇒ =
Pt trở thành:
,
1
z z x
x
+ =
Đây là pt vi phân cấp 1 có nghiệm tổng quát là:
2

Đặt: x =
,
y
. Xem z là hàm của y, ta có:
8
,,
2
. .
2 . . 0
0
0 : (2) 2 . 0 2
x
dz dz dy dz
y z
dx dy dx dy
dz
y z z
dy
z
dz dz
z y z
dy z
= = =
+ =
=
≠ ⇔ + = ⇔ +
,,
. .
x
dz dz dy dz

C
z y C z y C z y C z
y
C dy C
y ydy Cdx y Cx C
dx
y y
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − − =
*Giải phương trình bằng maple:
>
>
1.2.4.Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng.
9
Dạng:
( ) ( 1) ( 2)
1 2
. 0
n n n
n
y a y a y a y
− −
+ + + + =
trong đó:a
1
,a
2
…,a
n
là

4 4 0y y y y
− − + =
*Bài giải
Phương trình đặc trưng:
3 2
4 4 0k k k
− − + =
1
2
2
k
k
k
=


⇔ =


= −

Nghiệm tổng quát:
2 2
1 2 3
. .
x x x
y C e C e C e
−
= + +
*Giải phương trình bằng maple:

phương trình là :
3
1 2
cos
6
x
y x C x C
= + + +
*Giải phương trình bằng maple:
>
>
Hệ phương trình vi phân:
11
Ví dụ :Giải hệ phương trình:
3 2
2
dx
x y
dt
dy
x y
dt

= −




= −


3 2 3 2(2 ) 3
d x dx dy dx dx dx
x y x
dt dt dt dt dt dt
= − = − − = − −
Hay
2
2
2 0
d x dx
x
dt dt
− + =
Phương trình đặc trưng :
2
2 1 0
λ λ
− + =
2
2 1 0
λ λ
− + =
Có nghiệm
1
λ
=
bội 2.Do đó
x(t)=
1 2
t t

1 2
2
1 2
( )
( ) ( )
2
t t
t t
x t C e C te
C
y t C e C te

= +


= − +


12
Giải hệ phương trình bằng Maple:
>
>
13
C. Kết luận:
Maple là phần mềm tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực
của toán học. Do đó ứng dụng Maple vào tự học, tự nghiên cứu có thể kiểm
tra được kiến thức toán học của mình và tạo ra những tư duy mới về toán học.
Bài viết đã giới thiệu một số câu lệnh trên Maple 13.0 để giải phương trình
và hệ phương trình vi phân. Từ đó, người đọc sẽ thấy rằng, việc sử dụng phần
mềm Maple trong việc giải phương trình vi phân chỉ bằng những dòng lệnh