Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
1
Câu I
Cho hàm số: Cho hàm số:
3 2
2
os 3sin 8 1 os2 1
3
y x c x c x
1. Chứng minh rằng với mọi
hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2. Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại
1 2
, x
x . Chứng minh:
2 2
1 2
18
x x
2
: 64
P y x
và đường thẳng
:4 3 46 0
x y
. Tìm A thuộc (P) sao cho khoảng cách từ A đến
nhỏ
nhất. Tính khoảng cách nhỏ nhất đó.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
0;0; 3 , N 2;0; 1
M và mặt
phẳng
:3 8 7 1 0
x y z .
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mặt phẳng
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
P
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
2. Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn điều kiện:
0
a b c
. Chứng minh
rằng:
27 27 27 3 3 3
a b c a b c
. Đ
Ề 1
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
2
Nếu
0
thì
2 2
cos 3sin 0 sin 0
0 sin cos 1
cos 0 cos 0
. Điều
này vô lý. Suy ra
0
. Do đó hàm số luôn có cực đai, cực tiểu.
2. Theo định lý Viet, ta có:
1 2 1 2
x x 3sin cos ; x x 4 1 cos2
3sin cos 0
luôn đúng. Từ đây, ta suy ra: đpcm.
Câu II
1. ĐK:
cosx 0
2 2
PT 3 1 2cosx tan x 1 2cosx 1 2cosx 3 tan x 0
2
2 2 2 2 2
1
1 1 1
cosx
cosx cosx cosx
2
2 2 2
1
thỏa mãn điều kiện ban đầu.
2. ĐK:
3 3
x,y
2 2
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski:
2
2 2
3 3 3 3
2 1. x 1. y 1 1 x y x y 2
2 2 2 2
(1)
2
2 2
3 3 3 3
10 1. x 1. y 1 1 x y x y 2
. Vậy
x;y 1;1
là nghiệm duy nhất của hệ.
Câu III
1.
2
2
a
A P :y 64x A ;a
64
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi
a 24 0 a 24
.
Lúc đó
Mind A, 2
khi
A 9; 24
.
2.
a) Đường thẳng MN qua
M 0;0; 3
nhận
MN 2;0;2
làm VTCP nên có
phương trình:
x 2t
y 0
K 1;0; 2
. Chọn
1
n MN 1;0;1
2
làm VTPT của
. Lúc đó,
có phương trình:
1. x 1 1. z 2 0 x z 1 0
.
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
4
2
2 2
3a 8b 7c 1 0
a c 1 0
a b c 3 8
.
Giải hệ phương trình , ta tìm được
2 2 1
P 2; 2; 3 , P ; ;
3 3 3
.
Vì
z 2 i z 2 i z 2 i
.
Từ đó ta có:
z 2 i 1
.
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm
I 2;1
, bán kính
R 1.
Câu V
1.
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
A
1 2 3 4 2011
Ta có:
1 1
2 C
2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1
P 2 C 2 C 2 C
4022
1 1
2 1 2 C
4022 2011
2. Đặt
a b c
x 3 ; y 3 ; z 3
5
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3
x y z 6 3 x y z
. (1)
Mặt khác
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3 x y z x y z 2 x y z x y z 2.3 x y z
3 3 3 3 3 3
3
8sin x 1 162sin x 27 0
.
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
x x 1 x x 1 m
.
Câu III
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P):
2
2
y x x
và elip (E):
2
2
1
9
x
y
.
Chứng minh rằng (P) và (E) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D và bốn
điểm đó cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường
tròn đó.
2. Cho 3 tia OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c.
Gọi
, ,
6
2. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0
và
1 i
z z
2
. Chứng minh tam giác OAB vuông cân.
Câu V
1. Giải hệ phương trình sau:
2 1
2 2
5 5
2 2 2
log 3 1 log 2 4 1
y x y x
x y y x y
; TCN:
y 2
vì
x
2x 1
lim 2
x 1
.
Giao điểm của hai tiệm cận là
I 1;2
Hàm số được viết lại như sau:
1
y 2
x 1
Gọi
.
Giao điểm của tiếp tuyến với TCN là
0
B 2x 1;2
.
Ta có :
A B
M 0
A B
M
0
x x
x x
2
y y 1
y 2
2 x 1
2 2
IAB IA IB AB IA IB IA IB
2 IA.IB 2IA.IB 2 2 2
Dấu bằng xảy ra khi
0
0
0
x 0 M 0; 1
IA IB 2 x 1 1
x 2 M 2;3
.
Câu II
u 1 3v
u v 3 v u u v u uv v 3 0
v 1 3u
3
3
3
2
2
u 1 3v
u 1 3v
3u u 1
v 3
u v u v 3 0
u v
2 4
6 18 3
2.
2 2
2 2
2 2
1 3 1 3
x x 1 x x 1 m x x m
2 2 2 2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét:
Suy ra:
m 1 1 m 1
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi
1 m 1
.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
8
Câu III
1. Tọa độ giao điểm của (P) và (E) là nghiệm của hệ phương trình:
2
2
2
2 4 3 2
2
2
y x 2x
x
x 2x 1 9x 36x 37x 9 0
1 1
f 1 .f 0 657 0 x 1;0 :f x 0
2 2
f 0 .f 1 9 0 x 0;1 :f x 0
3 3
f 1 .f 2 5 0 x 1;2 :f x 0
0 0
P E M x ;y
. Khi đó, ta có:
2
2 2
0 0 0
0 0 0 0 0 0
2
2 2 2 2
2
0
0 0 0 0
0
y x 2x
x 2x y 0 8x 16x 8y 0
x
x 9y 9 0 x 9y 9 0
y 1
9
, bán kính
161
R
9
.
2.
y
AB
C
z
xO
2
0,0,
n OC c
( )
mp OBC
có vectơ pháp tuyến
3
,0,0
n OA a
mp OAC
có vectơ pháp tuyến
4
(0, ,0)
n OB b
Gọi
, ,
c
c
c
a b c a b c
(1)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
0 0
os
1 1 1 1 1 1
0 0
a
a b c
a
c
a
a b c a b c
(2)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
1
x 0 t 0 ; x = t
3
3
1 1
3 3
1
3
2
0
2
0 0
2 2
2dt dt 1
I ln 1 t ln 1
1 t
2t 1 t
3
1 t 1
1 t 1 t
x y x y
B ; .
2 2
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
10
Ta lại có:
2 2
2 2
2 2 2 2
x y x y x y
OA x y ; OB
2 2 2
.
2 2 2 2
2 2
5 5
2 2 2
1
log 3 1 log 2 4 1 2
y x y x
x y y x y
ĐK:
y 0
.
Chia cả hai vế của (1) cho
x
2 0
ta được:
y x
2 y x 2 y x
y x y x
y x
2
2 2
5 5 5
1
log x 3x 1 log x 2x 4x 1 log x 3 1 2 x 1
x
(3)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
5 5
1
VT 3 log x 3 log 2 3 1
x
.
VP 3 1
.
Vậy
1 1 1 1 1
0
x 6 x 3x 36
. Dấu bằng xảy ra khi
x 6
.
Tương tự :
2
1 1 1
y 3y 36
. Dấu bằng xảy ra khi
y 6
. 2
1 1 1
z 3z 36
. Dấu bằng xảy ra khi
y 6
.
www.MATHVN.com
4
30x 4y 2008z x x y y z z 2042 x y z
2042
30 4 2008
30 4 2008 1 1 1
2042 . .
x y z x y z
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức này, ta được:
2
30 4 2008
30x 4y 2008z 4012
x y z
2
1 1 30 4 2008
30x 4y 2008z 2042 x y z
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x y z 6
.
Vậy
1
MaxP
4084
khi
x y z 6.
Câu I
Cho hàm số:
4 2 2
y x 2m x 1
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m 1.
Đ
Ề
Câu III
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip
2 2
x y
E : 1
18 8
. Đường thẳng d tiếp xúc
với (E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tìm vị trí điểm M sao cho tam
giác OAB nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ trục chuẩn Oxyz
a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm
0;0;1
M ,
3;0;0
N và tạo với mặt phẳng
Ox
y
một góc
3
.
3 5
n
biết n thỏa
mãn
1 2 3 2 496
4 1 4 1 4 1 4 1
2 1
n
n n n n
C C C C
.
2. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số
phức
1 2
z , z
khác 0 thỏa mãn đẳng thức
2 2
1 2 1 2
z z z z
. Chứng minh tam giác
OMN là tam giác đều.
Câu V
1. Tính tích phân:
4
2 x
3
4
2.
4 2 2
y x 2m x 1
TXĐ:
D
.
Đạo hàm
3 2 2 2
y 4x 4m x 4x x m
.
Hàm số có 3 cực trị
PT:
y 0
có 3 nghiệm phân biệt
PT:
2 2
x m 0
tam giác ABC cân tại A.
Để tam giác ABC vuông cân chỉ cần
AB AC AB.AC 0
.
Mà
4 4
AB m; m ; AB m; m
.
Do đó:
2 8 2 6
m m 0 m m 1 0 m 1
thỏa mãn điều kiện
m 0
.
Vậy
m 1
là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề toán.
x 0 1 x 2 1 x 3
1 x 1
. Do đó phương trình có
nghiệm khi và chỉ khi
x 0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
m 3.
2. ĐK:
1 x, y 1
.
Đặt
x cos ; y cos
,
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:
sin 1
2 2
(3)
Kết hợp (3) và PT:
cos sin 1
ta giải được:
1
cos
2
hay
1 3
x y
2 2
( thỏa ĐK)
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
.
0
18
A d Ox A ;0
x
;
0
8
B d Oy B 0;
y
0 0
x ,y 0
OAB A B
0 0 0 0
1 1 1 18 8 72
S OA.OB x y . .
2 2 2 x y x y
18 8 2
y 4
Vậy có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3;2 , 3; 2 , 3;2 , 3; 2
Và
OAB
MinS 12
Lúc đó:
:x by 3z 3 0
có VTPT có VTPT
n 1;b;3
Mặt phẳng Oxy có VTPT
k 0;0;1
Theo đề, ta có:
2 2
n.k
3
3 1
cos b 26.
3 2
n k
1 b 9. 1 b 10
2 2 2
1
d d O; ABC
1 1 1
a b c
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
9 a. b. c. a b c 3
a b c a b c a b c
2 2 2
1 1 1 1
3 d
a b c
3
4n 1 0 1 2 3 4n 1
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
2 C C C C C
0 1 2 3 2n
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
2 C C C C C
Suy ra
4n
2
0 1 2 3 2n
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
C C C C C
Hay
4n 496
2 2 4n 496 n 124.
k 4 k 4t
0 t 31
0 k 124 0 4t 124
Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k. Vậy trong khai triển trên có 32 số
hạng hữu tỉ.
2.
Ta có:
2
2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
ta có:
2 2
3 3
2 1
2 1 1 2 1 2
2 2
1 2
z z
z z z z z z
z z
Do đó:
2 1 1 2
z z z z
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
16
Mà
1 2 2 1
OM z ; ON = z ; MN = z z
.
Vậy tam giác OMN đều.
Câu V
.
2. Xét hàm số:
x 1 x x x
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
f x x x x x.x 1 x x x 0;1
.
x
1 x
2
1 x x
1 x
f x 2. lnx
1 x
1 x
0;1 g x g 1 0 f x 0 x 0;1 f x
nghịch biến trên
0;1
1
1 x
1
1
1 x
x 1 x 1 x 1
1 2
f x lim f x lim 1 x x .x 2lim 1 x 0;1
1
e
1 x
2
P : y x
có hai điểm không thuộc đồ thị
hàm số với mọi m.
Đ
Ề
4
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
17
Câu II
1. Giải phương trình:
3 2
3 x x 1 5 2x x 10x 34x 40
2. Giải hệ phương trình:
2
2
x 3 2 x y 3
. Tìm điểm M thuộc
sao cho tổng độ dài
MA MB
ngắn nhất.
Câu IV
1. Tính tích phân:
0
1
2
dx
1 x 1 x
2. Tìm số nguyên dương n bé nhất để
n
3 i
1 i
là số thực
hệ sau có ngiệm :
3 2
2
2x 3 m 3 x 18mx 8 0 1
6x 6 m 3 x 18m 0 2
2
x m
2 x m 3 x 3m 0
x 3
Với
x 3,
thế vào (1), ta được:
35
54 27 m 3 54m 8 0 m
27
Vậy
35
m 1; ;4 2 6;4 2 6
27
là giá trị cần tìm .
2. Bài toán quy về tìm
k
và
0
x
sao cho
.
Vậy tồn tại điểm có hoành độ
0
x 3
sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó có hệ
số góc k = 0 tức tiếp tuyến song song nhau
m.
3.
2 2
0 0
x ;x P : y x
.
Đồ thị không đi qua điểm
2
0 0
x ;x
.
Vậy đồ thị không đi qua hai điểm
0;0 , 6;36 m.
Câu II
1. ĐK:
5
1 x
2
PT
2
3 2
u v 3 x 1. 4 x x 10x 34x 40
u.v u v
u
và
v
cùng phương
3 x 1
x 1 5 2x
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
19
3 2
2x 17x 49x 46 0
2
2
x 3 2 x y 3 1
x 3 y 3 2 y 2
Cộng vế theo vế của
1
và
2
ta được:
2 2
x 3 3 x 3 y 3 3 y 3
Xét hàm số:
2
f t t 3 3 t 3
f x f y x y
.
Thay vào (1), ta được:
2 2
x 3 x 3 0 x 3 2 x 1 0
2
2 2
x 1 x 1
x 1
x 1 0 x 1 1 0
x 3 2 x 3 2
x cost y sin t 2cost 1
d I;d R R
cos t sin t
0 0 0 0
x cost y sin t 2cost 1 R x 2 cost y sint 1 R
.
Để R là hằng số không phụ thuộc vào t thì:
0 0
x 2; y 0
Lúc đó, d tiếp xúc với đường tròn cố định tâm
I 2;0
, bán kính R = 1.
2.
có phương trình tham số là:
x t
y 0
z 2 t
Trong mặt phẳng Oxy, đặt
u 2 t 2 ;3 , v 2 t 1 ;2
MA MB u v u v 3 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
u
và
v
cùng
phương
1 1
1 x
4 2
Đặt
1 1
x sint ; t ;
2 2 2 2
Lúc đó:
2 2 2
2
0 0 0
costdt cost 2
I dt 1 dt 2J.
2 cost 2 cost 2
2 1 sin t
2
0 0
2
2dt
dt
1 t
J 2
1 t
3 t
2
1 t
Đặt
2
t 3 tanu dt 3 1 tan u du
2
6 6
2
2. Ta có:
3 i 2 cos isin ; 1- i = 2 cos isin .
6 6 4 4
3 i 5 5
2 cos isin .
1 i 12 12
Do đó:
n
n
2
3 1 5n 5n
2 cos isin .
1 i 12 12
x 2.
Cần chứng minh
x 2
là nghiệm duy nhất của phương trình . Thật vậy! Ta có
0 sin 1
n
và
0 cos 1
n
.
Nếu
x 2
thì
x 2
sin sin
n n
và
x 2
x 2
cos cos
n n
thì
x x 2 2
sin cos sin cos 1 .
n n n n
Điều này chứng tỏ
x 2
không phải là nghiệm của phương trình. Vậy
x 2
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn
2 2
u sina,cosa u sin a cos a 1.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
22
Dấu bằng xảy ra
sina sinb sinc 1
.
cosa cosb cosc 1
Câu I
Cho hàm số:
x 1
y
x 1
Câu III
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol
2 2
x y
H : 1
4 2
. Tìm những điểm trên
trục Ox mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (H) và hai tiếp tuyến này vuông
góc nhau.
2. Cho hình chóp (S.ABCD) đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có tâm O. SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCB), SA = a. Gọi I là trung điểm của SC, M là
trung điểm của AB.
Chứng minh
IO ABCD
và tính khoảng cách từ I đến CM.
3. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có
A 1;2;5
và phương trình
hai đường trung tuyến :
1 2
x 3 y 6 z 1 x 4 y 2 z 2
z 3z 6 2z z 6 3z 0
Câu V
Đ
Ề 5
x
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
23
Cho các số thực x, y, z thỏa:
2 2
2 2
x xy y 3
y yz z 16
.
Chứng minh rằng:
là khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ, ta có:
0
M 0
0
x 1
d d M;Ox d M;Oy x
x 1
Chọn
M
M 1;0 H d 1
. Do đó, để tìm
M
Mind
ta chỉ cần xét:
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
1 x 2 2
d x x 1 x 1 2
1 x x 1 x 1
0
0
2
2 x 1 2 2 2 2 2 2 1
x 1
.
Dấu bằng xảy ra
0
0
0
0
0 x 1
x 2 1
2
x 1
x 1
6 3
x
x
x
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D
Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443
24
Ta có:
(1)
2
0
2 2 sinx cos 2 1 2cos 1 2sin 2
m
x x x m
2
trở thành:
2 2
2 2 2 2 2 1
t t t m
(3)
Phương trình đã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình
3
có nghiệm
3 1
; 2
2
t
.
Xét hàm số:
2
2 2 2 2 2 1
f t t t t
Suy ra
f t
là hàm đồng biến trên
3 1
; 2
2
3 1
3 1
t ; 2
t ; 2
2
2
3 1
min f t f 3 1 ; max f t =f 2 4 2 1
2
3
b
3
a log x
x 3
b log y
y 3
HPT đã cho thành:
b a
ab
a b
a b 2
là nghiệm của phương trình:
2
x 3
a 1 a 1
y 9
b 2 b 2
t 1
1
t t 2 0
x
t 2
a 2 a 2
9
b 1 b 1 1
y
3
Vậy tập hợp nghiệm của HPT đã cho là:
1 1
S 3;9 , ;
9 3
.
Câu III
1. Gọi
0
M x ;0 Ox
,
d
và
d
là hai đường thẳng qua M và vuông góc nhau
nên có dạng phương trình:
0
0 0 0
2 2 2 2
0
4B 2A A x
2 A B A B x x 2 x 2
4A 2B B x
Vậy tìm được hai điểm
M 2;0
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2. Chọn hệ trục tọa độ
A O , AB Ox , AD Oy , AS Oz
Tọa độ tương ứng với các điểm:
Tính khoảng cách tù S đến CM.
I
y
z
S
O
A
H
x
B
Copyright: Tài liệu đại học ©