Mục lục
Mở đầu 2
1 Các kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Không gian vectơ Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Đại số đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit 13
2.1 Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Cấu trúc Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kết luận 33
1
Lời mở đầu
Như ta đã biết, một không gian vectơ thực V luôn được chứa trong không gian
vectơ phức V
C
= V ⊗
R
C qua ánh xạ α → α ⊗ 1, ∀α ∈ V. Bằng cách trang bị trên
V một tích vô hướng và một cấu trúc hầu phức, ta có thể nghiên cứu các cấu trúc
cảm sinh trên đại số ngoài

∗
V (tương ứng

∗
V
C

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ
Giả sử K là một trường.
Định nghĩa 1.1. Tập hợp V khác rỗng được gọi là một không gian vectơ trên K
nếu nó được trang bị hai phép toán gồm:
(a) Phép cộng vectơ:
” + ” :V × V → V
(α, β) → α + β,
(b) Phép nhân vectơ với vô hướng:
” · ” :K × V → V
(a, α) → aα;
Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:
(V1) (α + β) + γ = α + (β + γ),
(V2) ∃0 ∈ V : 0 + α = α + 0 = α,
(V3) ∀α ∈ V, ∃α

∈ V : α + α

= α

+ α = 0,
(V4) α + β = β + α,
(V5) (a + b)α = aα + bα,
4
(V6) a(α + β) = aα + aβ,
(V7) a(bα) = (ab)α,
(V8) 1α = α,
∀α, β ∈ V, a, b ∈ K.
Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các vô

+ + W
m
được gọi là tổng của các không gian
W
1
, , W
m
. Nó được ký hiệu bởi

m
i=1
W
i
.
Nếu mọi vectơ trong tổng W
1
+ + W
m
đều được viết duy nhất dưới dạng
α = α
1
+ + α
m
, với α
i
∈ W
i
(i = 1, , m) thì W
1
+ + W

∗
= L(V, K) các ánh xạ tuyến tính từ V vào K được
gọi là không gian vectơ đối ngẫu của V. Mỗi phần tử của V
∗
được gọi là một dạng
tuyến tính trên V.
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ tuyến tính f
∗
: W
∗
→ V
∗
được gọi là đồng cấu (hay ánh
xạ) đối ngẫu của đồng cấu f : V → W.
Định nghĩa 1.9. Giả sử f là một tự đồng cấu của K-không gian vectơ V. Nếu có
vectơ α  0 và vô hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị
riêng của f còn α được gọi là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ.
Định nghĩa 1.10. Giả sử λ là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V. Không
gian vectơ Ker( f − λid
V
) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá
trị riêng λ được gọi là không gian riêng của f ứng với giá trị riêng λ.
6
1.3 Không gian vectơ Ơclit
Định nghĩa 1.11. Giả sử V là một không gian vectơ thực. Hàm
η : V × V → R
được gọi là song tuyến tính nếu nó tuyến tính với từng biến khi cố định biến còn
lại. Mỗi hàm song tuyến tính như thế được gọi là một dạng song tuyến tính trên V.
Khi đó:
(i) Dạng song tuyến tính η : V × V → R được gọi là đối xứng nếu

được gọi là một dạng Hermit trên V nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
(i) η tuyến tính đối với biến thứ nhất:
η(α
1
+ α
2
, β) = η(α
1
, β) + η(α
2
, β), ∀α
1
, α
2
, β ∈ V,
η(aα, β) = aη(α, β), ∀a ∈ C, α, β ∈ V.
(ii) η là một hàm liên hợp đối xứng:
η(β, α) = η(α, β), ∀α, β ∈ V,
trong đó η(α, β) là liên hợp phức của η(α, β).
Định nghĩa 1.16. Dạng Hermit η được gọi là một tích vô hướng nếu nó có tính xác
định dương:
η(α, α) ≥ 0, ∀α ∈ V,
η(α, α) = 0 ⇔ α = 0.
Không gian vectơ phức V cùng với một tích vô hướng đã cho trên V được gọi
là một không gian Unita.
1.4 Đại số đa tuyến tính
1.4.1 Tích tenxơ
Định nghĩa 1.17. Một đại số trên trường K là một K-không gian vectơ V được
trang bị một phép nhân · : V × V → V, (α, β) → αβ thỏa mãn những điều kiện sau:
8

2
∈ L, β, β
1
, β
2
∈ M, a ∈ K. Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính
là một ánh xạ tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến kia.
Gọi F(L × M) là tập hợp tất cả các hàm có giá hữu hạn từ L × M vào trường K,
tức là các hàm chỉ khác 0 tại một số hữu hạn điểm nào đó của L × M. Tập hợp này
lập nên một K-không gian vectơ đối với các phép toán cộng và nhân với vô hướng
được định nghĩa theo giá trị của hàm, cụ thể như sau:
( f + g)(α, β) = f (α, β) + g(α, β),
(a f )(α, β) = a f (α, β),
với mọi f, g ∈ F(L × M), a ∈ K, (α, β) ∈ L × M.
Mỗi phần tử (α, β) ∈ L × M được định nghĩa như sau:
(α, β) :L × M → K,
(α, β) → 1,
(α

, β

) → 0, ∀(α

, β

)  (α, β).
Giả sử f ∈ F(L × M) là hàm chỉ khác 0 trên tập hữu hạn {(α
i
, β
i

, β),
(aα, β) − a(α, β),
(α, β
1
+ β
2
) − (α, β
1
) − (α, β
2
),
(α, aβ) − a(α, β),
trong đó α, α
1
, α
2
∈ L, β, β
1
, β
2
∈ M, a ∈ K.
Ta gọi không gian vectơ thương F(L × M)/H là tích tenxơ của các không gian
L và M. Nó được ký hiệu bởi L ⊗ M, hoặc chi tiết hơn L ⊗
K
M.
1.4.2 Đại số tenxơ
Với mỗi K-không gian vectơ L, ta xét tích tenxơ
T
q
p


p
× L
∗
× × L
∗

q
→ K.
Ta xác định được đẳng cấu tuyến tính chính tắc sau:
µ
q
p
: (L
∗
⊗ ⊗ L
∗

p
⊗(L ⊗ ⊗ L

q
) ⊗ (L
∗
⊗ ⊗ L
∗

p

⊗ L ⊗ ⊗ L

q+q

p+p

(L).
Xét tổng trực tiếp
T (L ) = ⊕
∞
p,q=0
T
q
p
(L).
Họ các ánh xạ {µ
q
p
|0 ≤ p, q < ∞} xác định một ánh xạ tuyến tính
µ : T (L ) ⊗ T(L) → T (L).
Nói cách khác, T(L) được trang bị một phép nhân định nghĩa như sau:
T (L ) × T(L) → T (L),
(α, β) → µ(α ⊗ β).
Định lý sau đây được kiểm nghiệm không mấy khó khăn.
Định lý 1.20. T (L) là một đại số trên trường K.
Định nghĩa 1.21. T (L) được gọi là đại số tenxơ của không gian vectơ L.
1.4.3 Đại số ngoài
Gọi B
q
là không gian vectơ con của T
q
(L) sinh bởi các phần tử có dạng

q
∈ L trong đó α
i
= α
j
với các chỉ số i  j nào đó
Hợp thành của ánh xạ đa tuyến tính chính tắc
t = t
q
: L
(q)
→ T
q
(L),
t (α
1
, , α
q
) = α
1
⊗ ⊗ α
q
và phép chiếu tuyến tính π = π
q
: T
q
(L) →

q
(L) là ánh xạ đa tuyến tính

(q)
ξ
//
η
!!
❈
❈
❈
❈
❈
❈
❈
❈

q
(L)
h
{{
✇
✇
✇
✇
✇
✇
✇
✇
✇
M
tức là η = h ◦ ξ.
Dễ thấy rằng B = ⊕

2.1 Cấu trúc hầu phức
Trong phần này ta quy ước V là không gian vectơ thực hữu hạn chiều.
Định nghĩa 2.1. Một tự đồng cấu I: V → V với I
2
= −id được gọi là một cấu trúc
hầu phức trên V.
Một không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu phức sẽ có cấu trúc
của không gian vectơ phức. Điều đó thể hiện ở mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2. Nếu I là một cấu trúc hầu phức trên không gian vectơ thực V thì V
có cấu trúc tự nhiên của không gian vectơ phức.
Chứng minh. Ta định nghĩa phép toán ”· ” trên V cho bởi (a + bi) · v = a·v + b · I(v),
trong đó a, b ∈ R, v ∈ V. Vì I là R-tuyến tính và theo giả thiết I
2
= −id nên
((a + ib)(c + di) · v) = (a + bi)((c + di) · v) và đặc biệt i(i · v) = −v.
Dễ dàng kiểm tra được các tiên đề khác của định nghĩa không gian vectơ.
Do đó, V là một C-không gian vectơ. 
Do đó, cấu trúc hầu phức và cấu trúc phức là những khái niệm tương đương
trên các không gian vectơ. Đặc biệt, cấu trúc hầu phức chỉ có thể tồn tại trên một
không gian vectơ thực có số chiều chẵn.
13
Hệ quả 2.3. Một cấu trúc hầu phức bất kỳ trên V đều cảm sinh một hướng tự nhiên
trên V.
Chứng minh. Áp dụng mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh không gian vectơ thực C
n
được trang bị một hướng tự nhiên. Ta giả sử n = 1 và sử dụng hướng tự nhiên trên
C xác định bởi cơ sở (1, i). Hướng này bất biến dưới nhóm các C-tự đẳng cấu tuyến
tính. 
Cho một không gian vectơ thực V, không gian vectơ phức V ⊗
R

ứng với các giá trị riêng ±i tương ứng của nó là V
1,0
và V
0,1
, tức là:
V
1,0
= {v ∈ V
C
|I(v) = i · v} và
V
0,1
= {v ∈ V
C
|I(v) = −i · v}.
Ta chứng minh được không gian vectơ phức V
C
là tổng trực tiếp của các không
gian riêng V
1,0
và V
0,1
.
Mệnh đề 2.5. Cho V là không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu
phức I. Khi đó:
V
C
= V
1,0
⊕ V

(v − iI(v)) ∈ V
1,0
Chứng minh tương tự có
1
2
(v + iI(v)) ∈ V
0,1
Do đó v ∈ V
1,0
+ V
0,1
⇒ V
C
= V
1,0
+ V
0,1
Dễ thấy V
1,0
∩ V
0,1
= {0} ⇒ V
C
= V
1,0
⊕ V
0,1
Chứng minh khẳng định 2:
Ta thấy V
1,0

phức trên.
Do không gian vectơ đối ngẫu V
∗
của V cũng là một không gian vectơ thực, ta
cũng có thể trang bị trên V
∗
một cấu trúc hầu phức. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.6. Cho V là không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu
phức I. Khi đó không gian đối ngẫu V
∗
= Hom
R
(R, V) có một cấu trúc hầu phức
tự nhiên cho bởi I( f )(v) = f (I(v)). Cấu trúc này cảm sinh phân tích trực tiếp
(V
∗
)
C
= Hom
R
(V, C) = (V
C
)
∗
được cho bởi
(V
∗
)
1,0
= { f ∈ Hom

k

V
Tương tự,

∗
V
C
là ký hiệu đại số ngoài của không gian vectơ phức V
C
thì

∗
V
C
=
d

k=0
k

V
C
(2.1)
Hơn nữa,

∗
V
C
=

V :=

p
V
1,0
⊗
C

q
V
0,1
,
trong đó tích ngoài của V
1,0
và V
0,1
được lấy như tích ngoài của các không gian
vectơ phức. Một phần tử α ∈

p,q
V được gọi là song bậc (p, q).
Mệnh đề 2.8. Cho một không gian vectơ thực V được trang bị một cấu trúc hầu
phức I, ta có:
i)

p,q
V là không gian vectơ con của

p+q
V

V.
iv) Tích ngoài là song bậc (0, 0), tức là (α, β) → α ∧ β là một ánh xạ từ

p,q
V ×

r,s
V tới không gian con

p+r,q+s
V.
16
Chứng minh. Cho v
1
, v
2
, , v
n
∈

1,0
V = V
1,0
và w
1
, w
2
, , w
n
∈

V.
Ta đã biết rằng tổng trực tiếp V
C
= W
1
⊕ W
2
cảm sinh ra tổng trực tiếp

k
V
C
=

p+q=k

p
W
1
⊗

q
W
2
. Từ đó ta có (i) và (ii).
Vì w
1
∧ w
2
= w

1,0
với x
i
, y
i
∈ V. Từ I(z
i
) = iz
i
, ta tìm
được y
i
= I(x
i
) và x
i
= −I(y
i
). Hơn nữa, x
i
, y
i
∈ V là một cơ sở thực của V, và do
đó ta có một cơ sở của không gian vectơ phức V
C
. Một cơ sở tự nhiên của không
gian vectơ phức V
0,1
được cho bởi z
i

vectơ phức V
1,0
.
Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.9. Cho bất kỳ m  dim
C
V
1,0
, ta có
(−2i)
m
(z
1
∧ z
1
) ∧ ∧ (z
m
∧ z
m
) = (x
1
∧ y
1
) ∧ ∧ (x
m
∧ y
m
)
Khi m = dim
C

i
là các cơ sở
của V
1,0∗
và V
0,1∗
đối ngẫu với cơ sở z
i
 và z
i
 tương ứng. Ta có công thức
(
i
2
)
m
(z
1
∧ z
1
) ∧ ∧ (x
m
∧ y
m
) = (x
1
∧ y
1
) ∧ ∧ (x
m

) = det(α
j
(v
j
))
i, j
.
Định nghĩa 2.10. Đối với khai triển tổng trực tiếp (1.1) và mệnh đề 2.8(ii) ta định
nghĩa các phép chiếu tự nhiên

k
:

∗
V
C
−→

k
V
C
và

p,q
:

∗
V
C
−→

k
không phụ thuộc vào cấu trúc hầu phức nhưng các toán tử I và

p,q
lại phụ thuộc I. Chú ý rằng I là mở rộng của cấu trúc hầu phức I trên V
C
nhưng I
không phải là một cấu trúc phức hầu khắp. Mặt khác, I được định nghĩa trên không
gian vectơ thực V, nên I là một tự đẳng cấu của đại số ngoài thực

∗
V.
Ta ký hiệu các toán tử tương ứng trên không gian đối ngẫu

∗
V
∗
C
cũng bởi

k
,

p,q
và I. Chú ý rằng I(α)(v
1
, , v
k
) = α(I(v
1

= −id, vậy I là cấu trúc
hầu khắp. Ta thấy I ∈ S O(V), và vì vậy I tương thích với , .
Hai tích vô hướng ,  và , 

được gọi là tương đương bảo giác nếu tồn tại một
vô hướng λ (dương) sao cho , 

= λ · , . Rõ ràng, hai tích vô hướng tương đương
bảo giác cùng xác định một cấu trúc hầu phức. Ngược lại, cho cấu trúc phức hầu
phức bất kỳ I, luôn tồn tại một tích vô hướng ,  liên kết với I.
Bây giờ ta xét một không gian vectơ Ơclit (V, , ), I có số chiều tùy ý được
trang bị một cấu trúc hầu phức tương thích I. Ta định nghĩa dạng cơ bản liên kết
với (V, , , I) như sau:
Định nghĩa 2.12. Dạng cơ bản liên kết với (V, , ) là ánh xạ ω : V × V → R được
cho bởi:
ω := −(), I() = I(), ()
Mệnh đề sau chỉ ra dạng cơ bản liên kết với (V, , ), I là một song bậc (1, 1).
Mệnh đề 2.13. Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit được trang bị một cấu trúc
hầu phức tương thích. Khi đó, dạng cơ bản ω của nó là dạng thực kiểu (1, 1), tức
là ω ∈

2
V
∗
∩

1,1
V
∗
.

= I(I(v)), I(w) + i · v, w
= i · (i · v, I(w) + v, w) = i · (v, w).
nên (, ) là tuyến tính đối với biến thứ nhất.
Hơn nữa (v, w) = (w, v). Do đó (, ) là nửa tuyến tính đối với biến thứ hai. 
Ta cũng có thể mở rộng của tích vô hướng ,  đến một dạng hermit xác định
dương , 
C
trên V
C
được xác định bởi
v ⊗ λ, w ⊗ µ
C
:= (λµ) · v, w,
với v, w ∈ V và µ, λ ∈ C.
Bổ đề 2.15. Nếu (V, , ) là không gian vectơ Ơclit có cấu trúc hầu phức tương
thích I thì V
C
= V
1,0
⊕ V
0,1
là sự phân tích trực giao đối với tích hermit , 
C
.
Chứng minh. Cho v − iI(v) ∈ V
1,0
và w + iI(w) ∈ V
0,1
với v, w ∈ V. Khi đó, dễ dàng
tính được v − iI(v), w + iI(w)

C
= v, v

 + iv, I(v

) − iI(v), v

 + I(v), I(v

)
= 2v, v

 + 2iv, I(v

) = 2(v, v

).

Cho z
1
, , z
n
là một C-cơ sở của V
1,0
. Viết z
i
=
1
2
(x

1
2
(h
i j
). Cụ thể:

n

i=1
a
i
z
i
,
n

j=1
b
j
z
j

C
=
1
2
n

i, j=1
h

) = (x
i
, x
j
) = h
i j
.
Từ định nghĩa của (, ), ta có ω = −Im(, ) và ,  = Re(, ). Vì vậy ω(x
i
, x
j
) =
ω(y
i
, y
j
) = −Im(h
i j
), ω(x
i
, y
j
) = Re(h
i j
), x
i
, x
j
 = y
i

i j
)x
i
∧ y
j
Sử dụng z
i
∧ z
j
= (x
i
+ iy
i
) ∧ (x
j
− iy
j
) = x
i
∧ x
j
− i(x
i
∧ y
j
+ x
j
∧ y
i
) + y

x
i
⊗
x
i
+

n
i=1
y
i
⊗ y
i
thì
ω =
i
2
n

i=1
z
i
∧ z
i
=
n

i=1
x
i

∗
C
được định nghĩa bởi α → ω ∧ α.
Nhận xét. Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:
i) L là mở rộng C-tuyến tính của toán tử thực

∗
V
∗
→

∗
V
∗
, α → ω ∧ α.
ii) Toán tử Lefschetz là song bậc (1, 1), tức là
L


p,q
V
∗

⊂

p+1,q+1
V
∗
Hơn nữa toán tử Lefschetz cảm sinh các song ánh
L

k
V với I = {i
1
< < i
k
} là một cơ sở trực
chuẩn của

k
V. Gọi vol ∈

d
V là phần tử thể tích của V có chuẩn 1 được cho bởi
vol = e
1
∧ ∧ e
d
. Khi đó toán tử Hodge * được xác định bởi
α ∧ ∗β = α, β · vol
với α, β ∈

∗
V. Cách định nghĩa trên hoàn toàn được xác định vì tích ngoài là một
dạng song tuyến tính không suy biến

k
V ×

d−k
V →

, j
1
, , j
d−k
} = {1, , d} ta có
∗(e
i
1
∧ ∧ e
i
k
) =  · e
j
1
∧ ∧ e
j
d−k
,
trong đó  = sgn(i
1
, , i
k
, j
1
, , j
d−k
). Đặc biệt ∗1 = vol.
ii) Toán tử ∗ là tự liên hợp theo quy tắc: Cho α ∈

k

∗
→

∗
V
∗
là toán tử Lefschetz.Toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ
là toán tử Λ :

∗
V
∗
→

∗
V
∗
liên hợp với L đối với , , tức là ∀α, Λα được xác
định duy nhất bởi điều kiện
Λα, β = α, Lβ,
với mọi β ∈

∗
V
∗
.
Mở rộng C-tuyến tính

∗
V

Bổ đề 2.20. Toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ là bậc −2, tức là Λ(

k
V
∗
) ⊂

k−2
V
∗
.
Hơn nữa, ta có Λ = ∗
−1
◦ L ◦ ∗.
Chứng minh. Vì L có bậc 2 và

∗
V
∗
= ⊕

k
V
∗
là tổng trực tiếp trực giao nên
toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ là bậc −2, tức là Λ(

k
V
∗

.
Toán tử Hodge ∗ liên kết với (V, , , vol) được mở rộng C-tuyến tính tới
∗ :

k
V
∗
C
→

2n−k
V
∗
C
. Trên

∗
V
∗
C
, hai toán tử có quan hệ với nhau bởi
α ∧ ∗β = α, β
C
· vol, ∀α, β ∈
∗

V
∗
C
.

p,q
V
∗
là trực giao đối với , 
C
.
ii) Toán tử Hodge ∗ là các ánh xạ từ

p,q
V
∗
tới

n−q,n−p
V
∗
, trong đó
n = dim
C
(V, I).
24
iii) Toán tử Lefschetz đối ngẫu Λ là song bậc (−1, −1), tức là
Λ(

p,q
V
∗
) ⊂

p−1,q−1

1
+ p
2
, q
1
+ q
2
)  (n, n). Khẳng định (iii) được suy ra từ (i) và Λ là liên
hợp của L đối với , 
C
. 
Định nghĩa 2.22. Ánh xạ H :

∗
V →

∗
V được gọi là toán tử đếm xác định bởi
H|

k
V
= (k − n) · id, trong đó dim
R
V = 2n. Rõ ràng:
H =
2n

k=0
(k − n) · Π

1
, , 
1
, I
1
) ⊕ (W
2
, , 
2
, I
2
). Khi đó

∗
V
∗
=

∗
W
∗
1
⊗

∗
W
∗
2
và đặc biệt
