ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÔ THỊ HUỆ
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN
ỨNG DỤNG
Bộ môn : Giải tích
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn
TS.TRƯƠNG VĂN THƯƠNG
Huế, Khoá học 2007-2011
1
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 3
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Phương trình hàm 9
2.1 Phương trình hàm loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Dạng phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hàm loại I . . 10
2.1.3 Một số ví dụ về phương trình hàm loại I . . . . . . . . . 10
2.2 Phương trình hàm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Dạng phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Một số tính chất của phương trình hàm loại II với hạt
nhân là toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Một số bài toán liên quan đến phương trình hàm 29
3.1 Các bài toán liên quan đến toán tử compact . . . . . . . . . . . 29
3.2 Một số phương trình hàm sơ cấp có liên quan . . . . . . . . . . 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

Huế, ngày 5 tháng 5 năm 2011
Tác giả
3
CHƯƠNG 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian định chuẩn, X được gọi là một
không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm của
nó.
Ví dụ 1.1.2.
1. X = C
[a,b]
là tập hợp các hàm số liên tục trên [a, b] và  x = max
t∈[a,b]
| x(t) |
, với mọi x ∈ X. Khi đó (X,  . ) là một không gian Banach.
2. X = l
2
= {x = (x
n
)
n
⊂ K |
∞

n=1
| x
n
|
2


E
| f |
2
dµ)
1
2
.
Mệnh đề 1.1.3. X là không gian Banach, M là không gian con đóng của X.
Khi đó M là một không gian Banach.
4
1.2 Toán tử tuyến tính liên tục
Ta kí hiệu L(X, Y ) là không gian gồm các toán tử A : X → Y tuyến tính
liên tục .
Định lí 1.2.1. Giả sử A : X → Y là toán tử tuyến tính có toán tử ngược
A
−1
: Y → X liên tục. Khi đó
(∀x ∈ X)  Ax ≥ m  x , với mọi m ≤ A
−1

−1
Ngược lại, giả sử A toàn ánh và tồn tại m
0
> 0 sao cho
(∀x ∈ X)  Ax ≥ m
0
 x 
thì A
−1

là các
vector độc lập tuyến tính trong X. Khi đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính
liên tục x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
∈ X
∗
sao cho
x
∗
i
(x
j
) =



1, nếu i = j
0, nếu i = j
, (i, j = 1, n).
1.3 Toán tử compact
Định nghĩa 1.3.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến
tính A : X → Y được gọi là toán tử compact nếu A ánh xạ hình cầu đóng đơn
vị B

−1
. Tập
hợp các giá trị chính quy của A được ký hiệu là ρ(A).
Định lí 1.3.6. Cho X là một không gian Banach, A là một toán tử compact
trong X và λ = 0. Khi đó không gian vectơ con đóng
N(A − λI) = {x ∈ X : (A − λI)x = 0} = {x ∈ X : Ax = λx}
có số chiều hữu hạn.
6
Định nghĩa 1.3.7. (Toán tử liên hiệp). Cho X, Y là hai không gian định
chuẩn, A : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục.
Lúc đó toán tử tuyến tính liên tục A
∗
: Y
∗
→ X
∗
được gọi là toán tử liên hiệp
của toán tử A nếu
∀y
∗
∈ Y
∗
, ∀x ∈ X, (A
∗
y
∗
)(x) = y
∗
(Ax).
Định lí 1.3.8. Giả sử X là một không gian định chuẩn, A là toán tử compact.

2
hội tụ.
Định nghĩa 1.4.2. (Toán tử liên hiệp trong không gian Hilbert). Cho X, Y là
hai không gian Hilbert, A : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục.
Lúc đó toán tử tuyến tính liên tục A
∗
: Y
∗
→ X
∗
được gọi là toán tử liên hiệp
của toán tử A nếu
∀x ∈ X, y ∈ Y : x, A
∗
y = Ax, y.
Định nghĩa 1.4.3. (Toán tử tự liên hiệp trong không gian Hilbert). Cho X là
một không gian Hilbert, A ∈ L(X). A được gọi là toán tử tự liên hiệp nếu:
∀x, y ∈ X : x, Ay = Ax, y.
7
Định lí 1.4.4. Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là toán tử tự liên
hiệp và µ là một giá trị riêng của A thì µ là một số thực.
Định lí 1.4.5. Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là một toán tử
compact tự liên hiệp. Khi đó với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất một phần tử
x
0
∈ X mà A(x
0
) = 0 sao cho x được biểu diễn dưới dạng
x =
∞

.
Định lí 1.4.7. Cho A ∈ L(X) là một toán tử compact tự liên hiệp trong không
gian Hilbert X. Khi đó nếu λ = 0 và λ ∈ σ(A) thì λ là một giá trị riêng của A.
Định lí 1.4.8. Tập hợp tất cả các giá trị riêng khác 0 của một toán tử compact
tự liên hiệp A ∈ L(X) trong không gian Hilbert X là hữu hạn hoặc đếm được.
Nếu đếm được thì tập hợp đó tạo thành một dãy hội tụ về 0.
8
CHƯƠNG 2
Phương trình hàm
2.1 Phương trình hàm loại I
2.1.1 Dạng phương trình tổng quát
Cho X, Y là hai không gian Banach mà phần tử của chúng là các hàm số
Định nghĩa 2.1.1.1. Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục. Phương
trình có dạng:
Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y ) (2.1.1)
được gọi là phương trình hàm loại I
Ví dụ 2.1.1.2. Cho X = Y = C
[1,2]
là không gian định chuẩn gồm các
hàm liên tục trên [1, 2] với  x = max
t∈[1,2]
| x(t) | với mỗi x ∈ X. Khi đó X là
một không gian Banach. Giả sử
A : X → X
x → Ax,
xác định bởi:
Ax(t) = tx(t), với mọi t ∈ [1, 2].
Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục.
Khi đó ta có phương trình:
Ax = y, (y ∈ X)

−1
y = x ∈ X thoả mãn phương trình (2.1.1).
Do đó phương trình (2.1.1) có nghiệm.
2.1.3 Một số ví dụ về phương trình hàm loại I
Ví dụ 2.1.3.1. Cho X = C
[1,2]
là không gian định chuẩn trên trường K gồm
các hàm liên tục trên [1, 2] với  x = max
t∈[1,2]
| x(t) | với mỗi x ∈ X. Khi đó X
là một không gian Banach. Giả sử
A : X → X
x → Ax
xác định bởi:
Ax(t) = x(2) − tx(t), với mọi t ∈ [1, 2].
Hãy giải phương trình
Ax = y, (y ∈ X). (2.1.2)
10
Bài giải:
Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục.
Xét phương trình:
Ax = y
⇔ Ax(t) = y(t), ∀t ∈ [1, 2]
⇔ x(2) − tx(t) = y(t), ∀t ∈ [1, 2]
⇔ tx(t) = x(2) − y(t), ∀t ∈ [1, 2].
Ta có:
x(2) = −y(2).
Do đó
tx(t) = −y(2) − y(t), ∀t ∈ [1, 2]
⇔ x(t) =

⇔ t
2
x(t) + x(1 − t) = 2t − t
4
, ∀t ∈ [0, 1].
Thế t bằng 1 − t ta có:
(1 − t)
2
x(1 − t) + x(t) = 2(1 − t) − (1 − t)
4
.
Theo giả thiết
x(1 − t) = 2t − t
4
− t
2
x(t).
Suy ra:
(1 − t)
2
[2t − t
4
− t
2
x(t)] + x(t) = −t
4
+ 4t
3
− 6t
2

4
+ 2t
3
− t
2
+ 1)x(t) = (1 − t
2
)(−t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 1)
⇔ x(t) =
(1 − t
2
)(−t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 1)
−t
4
+ 2t
3
− t
2

= 2t − t
4
.
Vậy nghiệm của phương trình (2.1.3) là hàm x(t) = 1 − t
2
, với mọi t ∈ [0, 1].
Ví dụ 2.1.3.3. Cho X = C
[0,1]
là không gian định chuẩn gồm các hàm liên
tục trên [0, 1] với  x = max
t∈[0,1]
| x(t) |, với mỗi x ∈ X. Giả sử
A : X → X
x → Ax
xác định bởi:
Ax(t) = x(0) + tx(1), với mọi t ∈ [0, 1].
12
Giải phương trình
Ax = 0. (2.1.4)
Bài giải:
Xét phương trình :
Ax = 0
⇔ Ax(t) = 0, ∀t ∈ [0, 1]
⇔ x(0) + tx(1) = 0, ∀t ∈ [0, 1]
⇒






| x(t) | với mỗi x ∈ X. Giả sử
A : X → X
x → Ax
xác định bởi:
Ax(t) = x(0) − tx(t), với mọi t ∈ [0, 1].
Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục.
Khi đó ta có phương trình hàm loại II
x − Ax = 0
Phương trình này có một nghiệm là hàm x(t) = t, với mọi t ∈ [0, 1].
2.2.2 Một số tính chất của phương trình hàm loại II với hạt nhân
là toán tử compact
Cho X là không gian Banach và A : X → X là toán tử compact. Xét phương
trình:
x − Ax = y, (x, y ∈ X) (2.2.2)
và phương trình liên hợp:
g − A
∗
(g) = f, (f, g ∈ X
∗
). (2.2.3)
Đặt:
T = I − A, T
∗
= I
∗
− A
∗
với I và I
∗
lần lượt là toán tử đồng nhất trong X và X

0
) = inf
x∈Φ(x
0
)
 x ≤ x
0
 .
Do đó Φ là toán tử tuyến tính liên tục. Hơn nữa, với mỗi ¯x ∈ X thì tồn tại
x ∈ X sao cho
¯x = Φ(x),  ¯x ≥
1
2
 x  . (2.2.7)
Xét T : X → X sao cho T (¯x) = T (x), với mọi ¯x ∈ X và x ∈ ¯x.
Lấy y
n
⊂ T(X), giả sử y
n
→ y
0
∈ X.
Ta cần chứng minh y
0
∈ T(X)
Ta có T(X) = T (X) do đó tồn tại x
n
∈ X sao cho y
n
= T (x

} bị chặn, nên dãy {A(
x
n
c
n
)} là dãy hội tụ.
Giả sử A(
x
n
c
n
) → z
Ta có
T (x
n
) = T(x
n
) = y
n
, (n = 1, 2, )
x
n
c
n
= A(
x
n
c
n
) + T (

n→∞
(
y
n
c
n
) = 0 ⇒ z ∈ X
0
.
Mặt khác:
x
n
c
n
= Φ(
x
n
c
n
) −→ Φ(z) = 0.
Điều này mâu thuẫn với 
x
n
c
n
= 1, (n = 1, 2, )
Do đó {x
n
} bị chặn. Từ (2.2.8) suy ra {x
n

n→∞
y
n
= lim
n→∞
T (x
n
) = T (x
0
) ∈ T (X).
Vậy T (X) là tập đóng.
Bổ đề 2.2.2.2. Dãy các tập N(T), N(T
2
), , N(T
n
), là một dãy tăng và chỉ
chứa một số hữu hạn các tập phân biệt.
Chứng minh . Xét x ∈ N(T
n
) khi đó ta có T
n
(x) = 0
suy ra T(T
n
(x)) = T
n+1
(x) = 0 nên x ∈ N(T
n+1
).
Vì vậy

n+1
(T (x)) = 0.
Do đó T(x) ∈ X
n+1
= X
n
⇒ T
n+1
(x) = T
n
(T (x)) = 0
suy ra x ∈ X
n+1
nên X
n+2
⊂ X
n+1
.
Vì vậy
X
n
= X
n+1
= X
n+2
= , (n = 1, 2, ).
16
• Giả sử với mỗi n ta có X
n
= X

m
− T(x
m
) − [x
n
− T(x
n
)] = x
m
− ˜x
trong đó ˜x = T (x
m
) + x
n
− T(x
n
). Ta sẽ chứng minh ˜x ∈ X
m−1
.
Thật vậy:
T
m−1
(˜x) = T
m
(x
m
) + T
m−1
(x
n

) = 0.
Do đó T
m−1
(˜x) = 0 hay ˜x ∈ X
m−1
.
Theo bất đẳng thức (2.2.9) ta có:
 A(x
m
) − A(x
n
)  =  x
m
− ˜x >
1
2
(m > n, n = 1, 2, ). (2.2.10)
Mà {x
n
} là dãy bị chặn và A là toán tử compact do đó ta có thể chọn được
một dãy con hội tụ của dãy {A(x
n
)}. Điều này mâu thuẫn với (2.2.10).
Vậy dãy các tập {X
n
} chỉ chứa một số hữu hạn các tập phân biệt.
Bổ đề 2.2.2.3. Dãy các tập
T (X), T
2
(X), , T

(X) = T
n+2
(X) =
Thật vậy bây giờ ta giả sử T
n
(X) = T
n+1
(X), (n = 0, 1, ).
Theo Bổ đề Riesz ta xây dựng được dãy {x
n
} sao cho
 x
n
= 1, x
n
∈ T
n
(X)\T
n+1
(X), d(x
n
, T
n+1
(X)) >
1
2
, (n = 1, 2, ).
(2.2.12)
Với m > n tương tự Bổ đề 2.2.2.2 ta có:
A(x

n
(X), T (x
m
) ∈ T
m+1
(X) ⊂ T
n+1
(X)
nên ˜x ∈ T
n+1
(X).
Từ (2.2.12) suy ra:
 A(x
n
) − A(x
m
)  =  x
n
− ˜x >
1
2
, (m > n, n = 1, 2, ).
Điều này mâu thuẫn với giả thiết A là toán tử compact và {x
n
} bị chặn.
Vậy bổ đề đã được chứng minh.
Bây giờ ta kí hiệu r là số không âm nhỏ nhất của n sao cho T
n
(X) = T
n+1


. (2.2.13)
Hơn nữa tồn tại M > 0 sao cho
 x

≤ M  x ,  x

≤ M  x  . (2.2.14)
18
d. Toán tử A có thể được biểu diễn dưới dạng:
A = A

+ A

(2.2.15)
trong đó:
A

: X → X

, A

: X → X

compact
và thỏa mãn phương trình:
A

◦ A


Nếu T (x) = 0 với x ∈ X

thì chọn n ≥ r sao cho N(T
n
) = N(T
n+1
). Theo Bổ
đề 2.2.2.2 ta có x ∈ T
n
(X). Do đó tồn tại ˜x ∈ X sao cho x = T
n
(˜x).
Khi đó 0 = T (x) = T
n+1
(˜x) ⇒ ˜x ∈ N(T
n+1
) = N(T
n
) ⇒ x = T
n
(˜x) = 0.
Suy ra T đơn ánh.
Ta có T
r
(X) = T
r+1
(X) ⇒ T(X

) = X


compact. Theo tính chất 3 của Tính chất 1.3.2 ta suy ra
dim X

< +∞.
Nếu r > 0 thì T (X

) = N(T
r−1
), khi đó theo Bổ đề 2.2.2.2 ta có
T (X

) ⊂ N(T
r
) = X

.
Nếu r = 0 thì X

= {0} khi đó T(X

) ⊂ X

.
Do đó T : X

→ X

.
c) Ta kí hiệu T
0


= x − x

= x − T
−r
0
◦ T
r
(x). (2.2.17)
Ta có X

= T
r
(X) và T
−r
0
: X

→ X

suy ra x

∈ X

. Vì
T
r
(x

) = T

.
Giả sử x = x

1
+ x

1
là một biểu diễn khác của x dưới dạng (2.2.13) với
x

1
∈ X

, x

1
∈ X

.
Khi đó T
r
(x) = T
r
(x

1
) + T
r
(x


(x

1
) suy ra x

1
= T
−r
0
◦T
r
(x

1
) = T
−r
0
◦T
r
(x) = x

.
Do đó sự biểu diễn ở (2.2.13) của x là duy nhất.
Ta có T
−r
0
là toán tử liên tục nên T
−r
0
◦ T

≤ M  x  và  x

≤ M  x  .
d) Ta có A = I − T khi đó:
A(x) = x − T (x) ∈ X

, với mọi x ∈ X

nên A là ánh xạ từ X

vào chính nó.
A(x) = x − T (x) ∈ X

, với mọi x ∈ X

20
suy ra A(X

) ⊂ X

.
Với x ∈ X ta có x = x

+ x

, x

∈ X

, x

(x) + A

(x), với mọi x ∈ X.
nên A = A

+ A

và A

(X) ⊂ X

, A

(X) ⊂ X

.
Ta có
A

(X

) = A

(X

) = {0}. (2.2.19)
Do đó A

◦ A


Ta có 0 = T

(x) = x − A

(x) = x

− A(x

) + x

= T (x

) + x

.
Vì T (x

) ∈ X

và sự biểu diễn duy nhất của 0 theo công thức (2.2.13) nên
T (x

) = x

= 0 ⇒ x

= 0 (theo câu a).
Suy ra x = x

+ x


, A

(x) = A(T
−1
0
(y

)).
Ta có
T

(x) = x −A

(x) = T
−1
0
(y

)−A(T
−1
0
(y

))+y

= T ◦ T
−1
0
(y

r+1
(x) = T
r+1
(x

) + T
r+1
(x

) = T
r+1
(x

)
Từ (a) của Định lí 2.2.2.4 ta có x

= 0 do đó x = x

∈ N(T
r
).
Vì vậy m ≤ r.
• Nếu y = T
m
(x) (với x ∈ X), khi đó viết x theo công thức (2.2.13) ta có:
y = T
m
(x) = T
m
(x

∗
) có cùng số chiều hữu hạn.
Chứng minh . Ta có N(T) ⊂ N(T
r
) = X

và theo Định lí 2.2.2.4 thì X

là
không gian hữu hạn chiều do đó N(T ) là không gian hữu hạn chiều. Ngoài ra
vì A
∗
là toán tử compact nên N(T
∗
) cũng là không gian hữu hạn chiều.
Giả sử dim N(T) = n và dim N(T
∗
) = m.
Gọi x
1
, x
2
, , x
n
và g
1
, g
2
, , g
m

Tương tự ta cũng có thể tìm được các phần tử y
1
, y
2
, , y
n
⊂ X sao cho:
g
j
(y
k
) =



1 nếu j = k
0 nếu j = k
, (j, k = 1, 2, , n). (2.2.22)
Trước hết giả sử n < m. Xét toán tử V = A + B trên X, trong đó
B(x) =
n

k=1
f
k
(x)y
k
, với x ∈ X.
Ta có B là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào một không gian hữu hạn
chiều nên nó là compact. Do đó V là compact.

Suy ra
g
s
(T (x
0
)) −
n

k=1
f
k
(x
0
)g
s
(y
k
) = 0 (s = 1, 2, , n). (2.2.25)
Từ (2.2.22) ta có:
g
s
(T (x
0
)) − f
s
(x
0
) = 0 ⇔ T
∗
(g

k=1
α
k
x
k
, khi đó
f
s
(x
0
) =
n

k=1
α
k
f
s
(x
k
) = α
s
23
Từ (2.2.26) kéo theo α
s
= 0 do đó x
0
= 0. Vì vậy (2.2.23) có nghiệm duy nhất.
Theo Định lí 2.2.2.5 suy ra phương trình không thuần nhất tương ứng với
(2.2.23) là giải được với bất kì vế phải. Đặc biệt, phương trình sau có nghiệm:

∗
(g
n+1
)(x
∗
) −
n

k=1
f
k
(x
∗
)g
n+1
(y
k
) = 0
(Vì T
∗
(g
n+1
)(x) = 0, với mỗi x ∈ X và g
n+1
(y
k
) = 0, với mỗi k = 1, n).
Mà g
n+1
(y

và
g
1
, g
2
, , g
n
.
Trong trường hợp thứ hai, điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm của phương
trình (2.2.2) và (2.2.3) tương ứng là:
g
k
(y) = 0, (k = 1, 2, , n)
và
f(x
k
) = 0, (k = 1, 2, , n).
24
Khi các điều kiện này được thỏa mãn thì nghiệm tổng quát của phương trình
(2.2.2) có dạng:
x = x
∗
+
n

k=1
c
k
x
k

(g) = 0.
b. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.2.2) có nghiệm là y ⊥ N(T
∗
).
Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.2.3) có nghiệm là f ⊥ N(T ).
Cho X là một không gian Hlibert, A : X → X là toán tử compact tự liên
hiệp. Xét phương trình:
Ax − λx = y (2.2.27)
trong đó λ = 0 là một số tùy ý cho trước và y ∈ X là một phần tử tùy ý
cho trước. Khi đó nếu đặt T
λ
= A − λI, với I là toán tử đồng nhất trong
X thì phương trình (2.2.27) trở thành phương trình: T
λ
x = y. Ta kí hiệu
N(T
λ
) = T
−1
λ
({0}).
Định lí sau sẽ chỉ rõ dạng nghiệm của phương trình (2.2.27), nếu nghiệm đó
tồn tại.
Định lý 2.2.2.9. Giả sử X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là một toán
tử compact tự liên hiệp và
λ
1
, λ
2
, , λ