CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
I. Các kiến thức lượng giác cơ bản :
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
•
2 2
sin cos 1
α α
+ =
•
sin
tan
cos
α
α
α
=
( với
2
k
π
α π
∀ ≠ +
,k ∈ Z )
•
cos
cot
sin
α
α

α
+ =
( với
x k
π
∀ ≠
,k ∈ Z )
•
tan cot 1
α α
=
( với
2
k
π
α
∀ ≠
,k ∈ Z )
Cung hơn kém k2π và kπ :
•
( )
sin 2 sinx k x
π
+ =
•
( )
cos 2 cosx k x
π
+ =
•

( )
cos cosx x
π
− = −
•
( )
tan tanx x
π
− = −
•
( )
cot cotx x
π
− = −
Cung phụ :
•
sin cos
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
1

•
cos sin
2
x x

+ =
 ÷
 
•
cos sin
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
•
tan cot
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
•
cot tan
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 

•
( )
tan tan
tan , ,
1 tan tan 2
x y
x y x y x y k
x y
π
π
±
 
± = ∀ ± ≠ +
 ÷
 
m
•
( ) ( )
cot cot 1
cot , ,
cot cot
x y
x y x y x y k
y x
π
± = ∀ ± ≠
±
m
Công thức nhân đôi :
•

− −
= = ∀ ≠
2

Công thức chia đôi :
•
1 cos
sin
2 2
x x−
= ±
•
1 cos
cos
2 2
x x
+
= ±
•
1 cos 1 cos
tan
2 1 cos sin
x x x
x x
− −
= ± =
+
Công thức nhân ba :
•
3

x x
x x x k
x
π
−
= ∀ ≠
−
Công thức hạ bậc :
•
( )
2
1
sin 1 cos2
2
x x
= −
•
( )
2
1
cos 1 cos2
2
x x
= +
•
2
1 cos2
tan
1 cos2 2
x

−
=
•
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
+
=
Công thức theo
tan
2
x
t
=

:
•
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
•

( ) ( ) ( )
1
sin cos sin sin
2
x y x y x y x y
= + + − >
 
 
•
( ) ( ) ( )
1
cos sin sin cos
2
y x x y y x y x
= + − − >
 
 
•
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
x y x y x y
= + + −
 
 
•
( ) ( )
1
sin sin cos cos

x y x y
x y
+ −
− = −
•
( )
sin
tan tan ,
cos cos 2
x y
x y x y k
x y
π
π
±
 
± = ∀ ≠ +
 ÷
 
•
( )
( )
sin
cot cot ,
sin sin
y x
x y x y k
x y
π
±

2
tan cot
sin 2 2
x x x k
x
π
 
− = ∀ ≠
 ÷
 
•
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
x x x
+ = +
•
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
x x x
+ = +
•
2
1 sin 2cos
4 2
x
x

 
+ =
•
2 sin
4
1 tan
cos
x
x
x
π
 
−
 ÷
 
− =
Các hằng đẳng thức trong tam giác :
•
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + =
•
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + = +
•

trọng. Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong
phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau :
• Để tan x có nghĩa, điều kiện là
( )
2
x k k
π
π
≠ + ∈
¢
• Để cot x có nghĩa, điều kiện là
( )
x k k
π
≠ ∈ ¢
Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường
được tiến hành như sau :
• Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
• Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng.
• So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai.
Một số chú ý :
• Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt
điều kiện.
• Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan và cot, dùng cung
bù cho hàm cos.
III. Xác định số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác :
5

Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường
hợp sau đây :


¢
•
( )
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∀ ∈

= − +

¢
•
( )
tan tan ,
2
v l
u v k l
u v k
π
π
π


( )
sin 1 2
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
sin 1 2
2
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 0
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 1 2u u k k
π

¢
•
( )
cot 0
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∈
¢
1. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác của u :
Có dạng:

=
+ =
−
=
+ =
≠ →
+ = −
=
+ =
−
=
Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện
1
b
a
−
≤
Chọn α sao cho
[ ]
[ ]
sin ; ;
2 2
cos ; 0;
tan ; ;
2 2
cot ; 0;
b
a
b
a

2
sin sin 0
cos cos 0
; 0
tan tan 0
cot tan 0
a u b u c
a u b u c
a
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
≠
+ + =
+ + =
. Đặt
sin
1
cos
tan
cot
u t
t
u t
u t
u t
=

≤

cos 0
2
x
≠
thì đặt
tan
2
x
t
=
ta có:
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
;
2
2
1
cos
1
t
x
t
−

thì
2
1
sin cos
2
t
x x
 
−
= ±
 ÷
 
Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với
sin x
và
cos x

:
2 2
sin sin cos cos 0a x b x x c x
+ + =
Cách 1 :
• Tìm nghiệm thỏa
cos 0x
=
.
• Với
cos 0x
≠
thì chia hai vế của

+ + + +
sin cos 0e x f x
+ + =

Cách giải tương tự như phương trình thuần
nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho
3
cos x

hoặc
3
sin x
và chú ý áp dụng các hằng đẳng
thức lượng giác cơ bản.
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
Bảng giá trị lượng giác đặt biệt:
8

α
( )
0
0 0
( )
0
30
6
π
( )
0
45

( )
0
180
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
α
1
3
2
2
2
1
2

3
0 -
1
3
-1 -
3
P
 Hệ thức lượng cơ bản:
1)
2 2
sin cos 1
α α
+ =
4)
2
2
1
1 tan
cos
α
+ =
2)
sin
tan
cos
α
α
α
=


≠ ∈
6)
tan .cot 1
α α
=
 Các cung có liên quan đặt biệt:
1) Hai cung đối nhau:
àv
α α
−
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− =
− = −
− = −
2) Hai cung bù nhau:
àv
π α α
−
2)Hai cung bù nhau:
àv
π α α
−

π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
4) Hai cung phụ nhau:
à
2
v
π
α α
−
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
 

± =
±
± =
m
m
10

Công thức nhân đôi, nhân ba:
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2
2
2
cos sin
cos 2 2cos 1
1 2sin
α α
α α
α

−

= −


−

2
2 tan

α
α
−
=
2
1 cos 2
cos
2
α
α
+
=
2
1 cos2
tan
1 cos 2
α
α
α
−
=
+
 Công thức biến đổi tích thành tổng:
( )
1
cos .cos cos cos( )
2
a b a b a b= + + − 
 
( )

2 2
a b a b
a b
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
   
− = −
 ÷  ÷
   
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b

α π
α
π α π
= +

= ⇔

= − +

tan tanx x k
α α π
= ⇔ = +
2
cos cos
2
x k
x
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔

= − +

cot cotx x k
α α π
= ⇔ = +

= ⇔ =
= − ⇔ = +
Công thức tính theo
tan
2
t
α
 
=
 ÷
 
11
2
π
2
π

2
2
sin
1
t
t
α
=
+
2
2
1
cos

+ = ⇔ + − − =
*
( )
sin cos sin cosa x x b x x c− + =
Đặt t=sinx - cosx dk:
| | 2t ≤
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at c b
−
+ = ⇔ − + − =
 Phương trình lượng giác giải theo hằng đẳng thức:
( )
( )
( ) ( )
3 3 2 2
4 4 2 2 2 2
a b a b a ab b
a b a b a b
± = ± +
− = + −
m
( ) ( )
( )
6 6 2 2 4 2 2 4
2

k k= ≠ π ∈
a
a a
a
¢


2
2
1
1 tan , , .
os 2
k k
c
π
+ = ≠ + π ∈a a
a
¢

2
2
1
1 cot , , .
sin
k k+ = ≠ π ∈a a
a
¢

II. Công thức cộng .


3
sin 3 3sin 4sin= −a a a
. ( ba sin trừ bốn sỉn).

3
os3 4 os osc c=a a - 3c a
. (bốn cổ trừ ba cô).
V. Công thức hạ bâc.
13
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân


2 2
1 1
os (1 os2 ), os (1 os4 )
2 2
c c c c= + = +a a 2a a
.


1
os .cos = os( + )+cos( - ) .
2
c ca b a b a b
(cos nhân cos bằng
1
2
cos cộng cộng cos
trừ)

[ ]
1
sin .sin = os( )-cos( ) .
2
ca b a - b a + b
(sin nhân sin bằng
1
2
cos trừ trừ cos
cộng)

[ ]
1
sin .cos = sin( )+sin( - ) .
2
a b a +b a b
(sin nhân cos bằng
1
2
sin cộng cộng sin

2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
∞
cot
∞
3
1
3
3
0
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
Bảng giá trị lượng giác đặt biệt:
α
( )
0

135
4
π
( )
0
5
150
6
π
( )
0
180
π
14
Chú ý: Các công thức này
quan trọng khi áp dụng giải
các bài toán về nguyên hàm và
tích phân

sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3

1
3
P
-
3
-1 -
1
3
0
cot
α
P
3
1
1
3
0 -
1
3
-1 -
3
P
 Hệ thức lượng cơ bản:
1)
2 2
sin cos 1
α α
+ =
4)
2

α
α
+ =
3)
cos
cot
sin
α
α
α
=

( )
,k k Z
α π
≠ ∈
6)
tan .cot 1
α α
=
 Các cung có liên quan đặt biệt:
1) Hai cung đối nhau:
àv
α α
−
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
α α

− = −
3) Hai cung hơn kém nhau
: àv
π π α α
+
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
4) Hai cung phụ nhau:
à
2
v
π
α α
−
sin cos
2

Công thức cộng:
15

( )
sin( ) sin .cos sin .cos
cos( ) cos .cos sin .sin
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m
16

Công thức nhân đôi, nhân ba:
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2
2
2
cos sin

3
2
3tan tan
t an3 =
1 3tan
α α
α
α
−
−
 Công thức hạ bậc:
2
1 cos2
sin
2
α
α
−
=
2
1 cos 2
cos
2
α
α
+
=
2
1 cos2
tan


=


− − + 
 


[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
 Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
   
+ =

sin
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
 Cách giải phương trình lượng giác:
2
sin sin
2
x k
x
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔

= − +

tan tanx x k
α α π
= ⇔ = +
2
cos cos
2

x x k
π
π
π
π
π
π
π
π
π π
= ⇔ =
−
= − ⇔ = +
= ⇔ = +
= ⇔ = +
= ⇔ =
= − ⇔ = +
Công thức tính theo
tan
2
t
α
 
=
 ÷
 
17
2
π
2

−
 Phương trình vế trái đối xứng với sinx và cosx:
*
( )
sin cos sin cosa x x b x x c+ + =
Đặt t=sinx +cosx dk:
| | 2t ≤
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at c b
−
+ = ⇔ + − − =
*
( )
sin cos sin cosa x x b x x c− + =
Đặt t=sinx - cosx dk:
| | 2t ≤
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at c b
−
+ = ⇔ − + − =

u = - v + k2
u = v + k2
2 / osu=cosv
u = -v + k2
3/ tan tan u = v + k
cot cot u = v + k
u v
c
u v
u v
π

= ⇔

π π

π

⇔

π

= ⇔ π
4/ = ⇔ π
2. Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

x = + k2 x = + k2
2 2
1/ sin sin 2 ,
2 2

 
π π π
 
 
¢
¢

19

x = k
2x = 0 + k2
3/ sin 2 0 sin 2 sin 0 ,
2x = + k2
x = + k
2x = - + k2 x = - + k
2 4
4 / sin 2 1 sin 2 sin ,
2
2x = + k2 x = + k
2 4
x = + k2 x = + k2
1
6 6
5/ sin sin sin
2 6
x = - + k2
6
x x k
x x k
x x

π π

π
= ⇔ = ⇔ ⇔

π

π π


¢
¢
,
x = + k2
6
3x = + k2 x = + k
3
3 9
6 / sin 3 sin 3 sin 2 ,
2 3 2
3x = - + k2 x = + k
3 9
k
x x x k k


∈

5π


c x x c x k k
π

π

π
= ⇔ ∈

π

π


π

= ⇔ = ⇔ ⇔ = π ∈

π

¢
¢

2x = + k2 x = + k
2 4
3/ os2 0 os2 os ,
2
2x = - + k2 x = - + k
2
x = + k
2x = + k2


π π

= − ⇔ = π ⇔ ⇔ ∈


π π π


π


π π

π π

π
= ⇔ = ⇔ ⇔

π

π


¢
¢
,
+ k
6
2x = + k2


π π


π π




¢
¢
201/ tanx=tan , .
4 4
2 / tan x=1 tanx=tan , .
4 4
3/ tan x= 3 tanx=tan , .
3 3
4 / tan 2x= 3 tan2x=tan , .
3 3 6
x k k
x k k
x k k
x k x k k
π π
⇔ = + π ∈
π π
⇔ ⇔ = + π ∈

⇔ ⇔ 2 = + π ⇔ = + ∈
3
¢
¢
¢
¢
Dạng 2: Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác:

2
2
2
2
1/ sin sinx+c=0
2 / os osx+c=0
3/ tan tan +c=0
4 / cot cot +c=0
a x b
ac x bc
a x b
a x b x
+
+
+
+
. Chú ý:
1 sinx 1
1 osx 1c
− ≤ ≤



¢
¢

( )
( )
2
2
2
2
1/ os 2 osx+1=0 s 2 osx+1=0 cosx=1 x 2 ,
cos2x=1 x=k ,
cos 2 3 os2x+1=0 s 2 3 os2x+1=0
1
cos2x= 2 x= +k
2 3 6

c x c co x c k k k
k
x c co x c
x k
− ⇔ − ⇔ ⇔ = 0+ π = 2π ∈
⇔ π ∈


2/ 2 − ⇔ 2 − ⇔
π π

⇔ 2 = + π ⇔ π

¢



¢
21

Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sin cà cos có dạng: asinx+bcosx=c.
Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
.
 Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
.
 Pt
2 2 2 2 2 2
b c
sinx+ osx=
a a
a
c
a b b b
⇔
+ + +
.
 Do
2 2
2 2 2 2
b

+

(hoặc ngược lại).
 Pt trở thành:
2 2 2 2
c c
sinx.cos +cosx.sin = sin(x+ )=
a ab b
α α ⇔ α
+ +
 Giải pt tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình:

1/ 3 os2 sin 2 1, 3, 1, 1.c x x a b c+ = = = =
Giải
- Chia hai vế pt cho
( )
2
2 2 2
3 1 3 1 4 2a b+ = + = + = =
.

3 1 1
Pt os2 sin 2
2 2 2
1
sin . os2 os .sin 2
3 3 2
1
sin( +2x)=

+ = + π = − + π
 
⇔ ⇔
 
π π π π
 
+ = π− + π = − + π
 
 
π
π


= − + π
= − + π


⇔ ⇔

π π π

= + π ⇔ = + = + π



, k ∈



¢

x c
x c x
x c x
k x k x k
k x k x
1
⇔ −
2
π π
⇔ − =
π π
⇔ − =
π
⇔
π π
⇔
π π π π π π
 
= + π = + + π = +
 
6
⇔ ⇔ ⇔
 
π π π π π
 
= π− + π = + + π =
 
 
, k
k

2 2
3
4 2
3
6
,
12 2
Pt c
c
c
x c c x
x k
x x k
x k
x k
x k
k
x k
⇔
π π
⇔
π π
⇔
π π
   
⇔ + = ⇔ +
 ÷  ÷
   
π



∈¢
23

Phần II: Giải các phương trình lượng giác bằng các phép biến đổi.
1/
2sinx.cosx= 2 sinx.
Giải

Pt 2sinx.cosx- 2 sinx=0
sinx(2cosx- 2)=0
sinx=sin0
sinx=0
2
2cosx- 2 0
cosx=
2
2
0 2
2
2
,
2
4
osx=cos
4
2
x k
x k
x k


⇔ ⇔ ∈
= + π


π


π
 
= − + π

 4
¢
2/
5 osx=cos2x+3c
. Chú ý:
2
os2x=2cos 1c x −
Giải

( )
2
2
2
5 osx=2cos x-1+3
2cos x-5cosx+2=0
2 cosx -5cosx+2=0
cosx=2 (loai)
1

2
sin
5sinx-2=3 (1 sinx)
os x
3sin
5sinx-2= (1 sinx)
1 sin
3sin
5sinx-2= (1 sinx)
(1 sinx)(1 sinx)
x
Pt
c
x
x
x
⇔ −
⇔ −
−
⇔ −
− +
2
2
2 2
2 2
2
3sin
5sinx-2=
1 sinx
(5sinx-2)(1 sinx) 3sin

⇔ ⇔


π π

= + π = + π

⇔ ⇔

π

= π− + π =


,
2
6
k
k


∈

π

+ π


¢
4/

4
2
3
,
c
c
c
x
x k
x k
k
x k



⇔ ⇔




π


⇔

= −

π

= ± + π

c x c
c x

−


−


.
- Giải
( )
( )
3 2
3 2
3 2
2
2
cos x-3cosx-4 2cos 1 3 osx-4=0
4cos 3 osx-8cos 4 3 osx-4=0
4cos 8 os x=0
4cos x osx-2 0
osx=0
4 os x=0
cosx=2 (loai)
cosx-2=0
cosx=0 x= .,
2
Pt x c
x c x c

x c x c c
c x x

= − = − +


= − = − +


.
Giải
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 sinx sin 1 osx os
(1 sinx)(1 os ) (1 osx)(1 sin )
(1 sinx)(1 osx)(1 osx) (1 osx)(1 sinx)(1 sinx)
(1 sinx)(1 osx)(1 osx) (1 osx)(1 sinx)(1 sinx) 0
(1 sinx)(1 osx) 1 osx 1 sinx 0
(1
x c c x
c x c x
c c c
c c c
c c
− = +
⇔ − − = + −
⇔ − − + = + − +
⇔ − − + − + − + =

π
 
= − + π
 
 
7/
os3x+cos2x-cosx-1=0c
.KD – 2006
2
2
2
os3x-cosx+cos2x-1=0
-sin2xsinx+1-2sin 1 0
2sin 2 .sinx 2sin 0
sin 2 .sinx+sin 0
sinx(sin2x+sinx)=0
sinx=0
sin2x+sinx=0
x=k
sin2x=-sinx=sin(-x)
2 2
2 2
2
2
c
x
x x
x x
x k
x x k

= π+
, k



∈


π

¢
Chú ý: Biến đổi hiệu thành tích.
3x+x 3
os3x-cosx=-2sin sin
2 2
2sin 2 .sinx
x x
c
x
−
   
 ÷  ÷
   
= −
8/
1 sinx+cosx+sin2x+cos2x=0+
. Khối B năm 2005.
2
1+sinx+cosx+2sinxcosx+2cos x-1=0
sinx+cosx cosx.sinx+2cosx.cosx=0


⇔
an(- )
4
2
cosx=cos( - )=cos
3 3
4
,
2
2
3
x k
k
x k
π



π π

π


π

= − + π

⇔ ∈
