Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
BÙI THỊ THANH AN
ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên, 2010
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 5

nghiên cứu bài toán biên cho phương trình elliptic thường là được đưa về
phương trình tích phân trên biên. Trong các giáo trình thông thường, vấn
đề này được trình bày cho các bài toán Dirichlet và Neumann cho phương
trình Poisson.
Vấn đề trên cần được tổng quan và trình bày cho các bài toán biên nói
trên đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.
Bản luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương. Cụ thể là:
Chương 1: Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các
bài toán biên Dirichlet và Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai, công thức Green, hàm số Levi, công thức biểu diễn tích phân Stokes,
nghiệm cơ bản và hàm số Green.
Chương 2: Toán tử tích phân và phương trình tích phân
Chương này giới thiệu một số toán tử tích phân, cụ thể là: toán tử tích
phân miền, toán tử tích phân lớp đơn, toán tử tích phân lớp kép và phương
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trình tích phân trên biên.
Chương 3: Đưa bài toán biên về phương trình tích phân
Chương này trình bày việc đưa các bài toán Dirichlet, Neumann về phương
trình tích phân.
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo
của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi đã bước đầu
làm quen và say mê hơn trong nghiên cứu toán. Nhân đây, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô trong Viện Toán học
Việt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệp
này.
Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - trường
ĐH Sư phạm, ĐH Thái Nguyên, các anh chị học viên lớp cao học toán khoá

k
u
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
, ) = 0
trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó, với kí hiệu
x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
, u(x) = u(x
1
, , x
n
).
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi
là cấp của phương trình.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và
các đạo hàm riêng của ẩn hàm.
Xét m

ik
(x) = a
ki
(x), ta nói M thuộc loại elliptic nếu dạng toàn
phương tương ứng
m

i,k=1
a
ik
(x)ξ
i
ξ
k
với mọi x ∈
¯
Ω, là một dạng xác định mà ta luôn có thể giả thiết là xác định
dương.
M được gọi là elliptic đều trong Ω nếu a
ik
là đo được trong Ω và nếu tồn
tại một hằng số a
0
> 0 sao cho với x ∈ Ω và tất cả các bộ m số thực
(ξ
1
, ξ
2
, , ξ
m

ik
liên tục trong
¯
Ω thì tính elliptic đều là
hệ quả của tính elliptic. Hằng số a
0
gọi là hằng số elliptic của toán tử M.
Định nghĩa 1.1.2. Nếu f(x) là một hàm xác định trong Ω, ta có phương
trình đạo hàm riêng
m

i,k=1
a
ik
∂
2
u
∂x
i
∂x
k
+
m

i=1
b
i
∂u
∂x
i

) (1.4)
trong đó
X
2
1
+ X
2
2
+ X
2
m
= 1.
Ta kí hiệu ν là vectơ đối pháp tuyến (conormal) tại điểm x với các thành
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
phần toạ độ là Y
1
, Y
2
, , Y
m
Y
i
=
1
a
m

k=1
a

∂u(x)
∂x
j
Y
j
(1.6)
Nội dung của bài toán Neumann là tìm nghiệm u(x) của phương trình (1.2)
sao cho
a
du(x)
dν
= ϕ(x), x ∈ ∂T (1.7)
trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T .
1.2 Công thức Green
1.2.1 Công thức Green
Trong mục này giả sử các hàm a
ik
và
e
i
= b
i
−
m

k=1
∂a
ik
∂x
k

Toán tử sau gọi là toán tử liên hợp của toán tử M :
Nv =
m

i,k=1
∂
∂x
k

a
ik
∂v
∂x
i

−
m

i=1
∂
∂x
i
(e
i
v) + cv, (1.10)
Nếu ta bổ sung thêm giả thiết a
ik
và b
i
lần lượt thuộc lớp C

= 0. Ta có:
vMu − uNv =
m

i,k=1
∂
∂x
k

a
ik

v
∂u
∂x
i
− u
∂v
∂x
i

+
m

i=1
∂
∂x
i
(e
i

i=1
e
i
X
i
. (1.13)
(1.12) gọi là công thức Green.
1.2.2 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet
Xét bài toán Dirichlet
Mu = f, x ∈ T
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂T.
Gọi v(x) là nghiệm của bài toán liên hợp thuần nhất
Nv(x) = 0, x ∈ T,
v(x) = 0, x ∈ ∂T.
Khi đó áp dụng công thức (1.12) ta có

T
v(x)f (x)dx =

∂T
−ϕ(x)a(x)
dv
dν
x
dσ
x
Đây là điều kiện cần để bài toán Dirichlet có nghiệm.
1.2.3 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann

rs
),
A là định thức của ma trận (a
rs
), ω
m
là diện tích mặt cầu đơn vị trong không
gian Euclid E
n
. Đặt:
H(x, y) =







1
(m−2)ω
m
√
A(y)

m

r,s=1
A
rs
(y)(x

s
)

−
1
2
với m = 2.
(1.14)
H(x, y) như một hàm của x là một nghiệm của phương trình Mu = 0 khi
a
ik
là hằng số và b
i
, c bằng 0.
Hàm H(x, y) có kì dị khi x → y với đánh giá:
H(x, y) = O(r
2−m
),
∂H
∂x
i
= O(r
1−m
),
∂
2
H
∂x
i
∂x

)
(1.16)
với một λ > 0 nào đó.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bản thân H(x, y) là một hàm số Levi; hơn nữa H(y, x) cũng là hàm Levi
với λ = 1, nếu các hàm a
ik
thuộc lớp C
(2)
trong Ω.
Giả sử rằng hệ số của toán tử M là bị chặn và λ ≤ 1, ta có:
ML =
m

i,k=1
[a
ik
(x) − a
ik
(y)]
∂
2
H
∂x
i
∂x
k
+ O(r
λ−m

s
) < 
2
(1.19)
Nếu T là một miền chứa trong Ω, chúng ta chọn y trong T \ ∂T và  đủ
nhỏ sao cho I(y, ) ⊂ T \∂T và áp dụng (1.12) cho T \I(y, ) như một miền
của tích phân, đường thẳng của miền ngoài vuông góc với T \I với cosin chỉ
hướng X
k
(x) là vectơ l, và hàm Levi L(x, y) như hàm v(x, y). Ta có:

T \I
(LMu − uNL)dx =

∂T ∪∂I

a

L
du
dν
− u
dL
dν

+ buL

dσ. (1.20)
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

) + O(
λ+1−m
),
từ nó

∂I

a

L
du
dν
− u
dL
dν

+ buL

dσ = −
mu(y)

m
ω
m

A(y)
mesI + mes(∂I)O(
λ+1−m
).
Trong đó:

dσ, (1.21)
một công thức mà trong nó tích phân đầu tiên bên vế phải đã được định
nghĩa tốt trong (1.15), (1.16) và (1.18).
(1.21) gọi là công thức Stokes; và với L(x, y) thoả mãn rằng giả sử (1.16)
đúng, nó xác định trong T \y và liên tục trên đó với đạo hàm cấp một, đạo
hàm cấp hai liên tục trong (T \ ∂T ) \ y và mỗi N
x
L là tích phân Lebesgue
trong T , với mọi y ∈ T \∂T .
1.5 Nghiệm cơ bản và hàm số Green
Mọi hàm số Levi L(x, y) là nghiệm của phương trình M
x
L = 0 [N
x
L = 0]
được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Mu = 0 [Nu = 0].
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ví dụ 1.5.1. Nếu a
ik
là hằng số và b
i
= c = 0 thì phương trình Mu = 0
nhận hàm H(x, y) như một nghiệm cơ bản.
Định nghĩa 1.5.2. Hàm số Green của bài toán biên là một hàm số F (x, y)
như một hàm của y, là một nghiệm cơ bản của phương trình liên hợp và
thoả mãn điều kiện biên của bài toán liên hợp thuần nhất.
Do đó hàm số Green F (x, y) cho bài toán Dirichlet của phương trình
Mu = f là một hàm số Levi của y và là một nghiệm của phương trình
N

dν
y
− bF (x, y)

ϕ(y)d
y
σ, (1.25)
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trong khi mỗi nghiệm thuộc lớp C
(1)
trong T của bài toán Neumann được
cho bởi:
u(x) = −

T
F (x, y)f(y)dy +

∂T
F (x, y)ϕ(y)d
y
σ. (1.26)
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Toán tử tích phân và phương trình
tích phân
2.1 Toán tử tích phân miền
Cho L(x, y) là một hàm số Levi xác định trong miền Ω mà trong nó các
hàm số a

∂u
∂x
i
=

T
∂L(x, y)
∂x
i
z(y)dy, (2.2)
với u ∈ H
1,q
(T
1
) trong mọi miền bị chặn T
1
⊂ Ω với q <
n
n−1
nếu p = 1, và
q =
np
n−p
nếu 1 < p < n. Nếu p > n, thì u ∈ C
(1,µ)
(T
1
) với mỗi µ < 1 −
n
p

∂
2
u
∂x
i
∂x
k
= −
1
m
A
ik
(x)z(x) +
∗

T
∂
2
L(x, y)
∂x
i
∂x
k
z(y)dy, (2.4)
trong đó tích phân với dấu sao(*) được dùng như một giá trị chính có nghĩa
là như giới hạn khi  → 0 của tích phân trên T \I(x, ). Cuối cùng dưới giả
thiết rằng đạo hàm bậc hai của L −H thuộc lớp N
(λ,µ)
với µ < λ, ta cũng có
u ∈ C

(λ)
,
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u
2
có tất cả các tính chất chúng ta mong muốn chứng minh cho u và đạo
hàm bậc hai của nó có thể tính toán bằng hai cách khác nhau dưới công thức
tích phân. Với định nghĩa của I(x, ) cho trong mục 1.4 ta đặt:
ϕ
i
(x, ) =

T −I(x,)
∂H(x, y)
∂x
i
z(y)dy.
Do đó ta có:
∂ϕ
i
∂x
k
=

T −I(x,)
∂
2
H(x, y)
∂x

X
k
(y)d
y
σ
−z(x)

∂I(x,)
∂H(y, x)
∂y
i
X
k
(y)d
y
σ,
và của hai tích phân, một tiến đến 0 với  đều tại điểm x với mọi miền chứa
trong T , bởi vì hàm số lấy tích phân là O(
λ+1−m
). Tích phân thứ hai là
hằng số và bằng
z(x)A
ik
(x)
m
.
Bởi vì lim
→0
ϕ
i

dy
+ z(x)

∂T
∂H(y, x)
∂y
i
X
k
(x)d
y
σ +
1
m
A
ik
(x)z(x),
và tính chất đã nói trước kéo theo từ thực tế rằng trong tích phân đầu tiên,
hàm lấy tích phân là O(xy
λ−m
).
Từ chứng minh theo đó mở rộng công thức thành:
∂
2
u
1
∂x
i
∂x
k

(y)d
y
σ (2.6)
trong nó ta dễ dàng công nhận rằng u
1
∈ C
(2,µ)
trong T \∂T với µ < λ, bởi
vì hai tích phân bên vế phải đều là hàm số thuộc lớp C
(0,µ)
trong T \∂T .
Với điều này, định lí của chúng ta có thể hoàn thành chứng minh. Nhận xét
rằng nếu L = H, chúng ta có thể chứng minh định lí đúng với cả µ = λ < 1;
trong các trường hợp quan trọng, ta có thể chứng tỏ rằng u ∈ C
(2,λ)
. Trong
trường hợp tổng quát ta có u ∈ C
(2,µ)
(T ) với µ < λ nếu a
ik
∈ C
(1,µ)
(T )
2
.
Một hệ quả quan trọng của (2.3) và (2.4) là công thức sau:
Mu =




∂
2
L
∂x
i
∂x
k
là khả tích tại y trong T \ I(y, ).
2.2 Toán tử tích phân lớp đơn
Giả sử L(x, y) và T cho giống như trong mục 2.1.
Định nghĩa 2.2.1. Hàm số sau đây được gọi là toán tử tích phân lớp đơn
(tổng quát) của hàm mật độ ζ:
v(x) =

∂T
L(x, y)ζ(y)d
y
σ (2.8)
Nếu ζ ∈ L
1
, v là liên tục với đạo hàm cấp một và cấp hai của nó trong
T \ ∂T và Ω
T
. Với T
1
là một miền chứa trong Ω và chứa trong hoặc trùng
với T , ta có định lí sau:
Định lý 2.2.2. Nếu ζ ∈ L
p
với 1 ≤ p < m − 1, ta có v ∈ L

(T
1
) với µ < 1 −
m−1
p
.
Bởi vì chúng ta có thể tính được
∂v
∂x
i
bằng việc tìm đạo hàm dưới dấu tích
phân, nó kéo theo :
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý 2.2.3. Cho ζ ∈ L
p
với p ≥ 1 ta có
∂v
∂x
i
∈ L
s
(T
1
) với s ≤
pm
m−1
, dấu
bằng đạt được chỉ khi p > 1.
Ta cũng chú ý rằng một trường hợp riêng của định lí 2.2.2,

σ =

∂T
K(x
0
, y)ζ(y)d
y
σ.
Kết quả này đúng nếu ζ ∈ L
1
, trên điều kiện α > 0, α + m > β + 1, và hơn
nữa :
lim
→0

1−m

J(x
0
,)
|ζ(y)|d
y
σ < ∞, (2.10)
hoặc nếu α > 0, α + m ≥ β + 1 và:
lim
→0

1−m

J(x

= δ, x
0
, y

= t, thì nếu T thuộc
lớp A
(1,λ)
ta có thể thử lại rằng với x ∈ l và y ∈ ∂T thì biểu thức
xy
√
t
2
+δ
2
là bị
chặn dưới bởi một số dương. Nó kéo theo, nếu ζ ∈ L
∞
, thì tích phân (2.12)
có thể được làm trội với một số hằng số M, bởi lượng
M
k

0
δ
α
t
m−2
dt
(t
2

trội bởi
M
k

0
δ
α
Z

(t)dt
(t
2
+ δ
2
)
β
2
,
và bởi vì một phép lấy tích phân bởi phần ta công nhận rằng đại lượng này
là O([δ
γ
−δ
α
log δ]), γ là số nhỏ hơn trong hai số α và α + m −β −1, bổ đề
cũng được chứng minh trong trường hợp hai và ba. Trong trường hợp bốn
việc chứng minh là tương tự, tại đó chúng ta biết là Z = O(
n+m−1
).
Lấy x
0

dl

−
và

dv
dl

+
. Nếu l ≡ ν ta có định lí:
Định lý 2.2.6. Nếu ζ ∈ L
1
, ta có với x ở hầu khắp nơi trên ∂T thì:

dv
dν

±
= ∓
ζ(x
0
)
2a(x
0
)
+

∂T
dL(x
0

. Trong trường hợp đặc biệt, nếu ζ ∈ C
(0)
thì tích phân này thuộc
lớp C
(0,µ)
(∂T ) với mọi µ < λ.
Ta dễ dàng thử lại rằng với x ∈ l
1
và y ∈ ∂T ta có thể viết :
dL(x, y)
dν
= A(x, y) + B(x, y),
với B(x, y) ∈ N
(λ+1)
và:
a(x
0
)A(x, y) = −
m

i=1
X
i
(y)(x
i
− y
i
)
ω
m

(m − 2)ω
m

A(x
0
)

m

i,k=1
A
ik
(x
0
)(x
i
− y
i
)(x
k
− y
k
)

2−m
2
.
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên