LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Hà Tiến
Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy
trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất
nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng
dạy chuyên nghành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp
đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác
giả học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Dương Thanh Nga
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Dương Thanh Nga
Mục lục
Mở đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Thế vị Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson . . . . . . . 7
1.2.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

n
+
nửa không gian R
n
= {x ∈ R
n
|x
n
> 0}
∂S tập của các điểm trên biên
¯
S bao đóng của S, = ∂S ∩ S
C
0
(Ω) tập các hàm liên tục trên Ω
C
0
(
¯
Ω) tập các hàm liên tục trên
¯
Ω
C
k
(Ω) tập các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k trong Ω
với (k ≥ 0, k ∈ Z hoặc k = ∞)
C
k
(Ω) tập tất cả các hàm trong C
k

rằng khi các hệ số và vế phải của phương trình chỉ là các hàm số liên
tục thì nghiệm của nó có thể không phải là hàm khả vi hai lần liên tục.
Xuất phát từ lí do nói trên chúng tôi mạnh dạn chon đề tài cho
luận văn của mình là “Lớp nghiệm H¨older của bài toán Dirichlet
cho phương trình tuyến tính cấp hai”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older và độ trơn của nghiệm
trong không gian H¨older.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Không gian H¨older
2. Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson
3. Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai
trên không gian H¨older
4. Phương pháp tiếp cận Schauder và các đánh giá tiên nghiệm
5. Tính giải đươc của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
2
tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older
6. Độ trơn của nghiệm thuộc không gian H¨older
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Không gian gian Holder, bài toán Drichlet cho phương trình Poisson,
bài toán Dirichlet cho phương trình ellliptic tuyến tính cấp hai.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích , tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm Holder của phương
trình elliptic tuyến tính loại hai.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về lớp nghiệm H¨older của phương trình tuyến tính cấp
hai.
Chương 1

, n > 2
1
2π
log |x − y| , n = 2
(1.1)
trong đó ω
n
là thể tích của hình cầu đơn vị trong R
n
. Hàm số Γ(x) là
hàm điều hòa tại điểm x = 0.
Cho mỗi hàm f khả vi trên miền Ω, thế vị Newton của hàm f là
hàm ω(x) được định nghĩa trên R
n
bởi
ω (x) =

Ω
Γ (x − y) f(y)dy (1.2)
Trong biểu diễn của công thức Green ta có với mọi u(x) ∈ C
2
(Ω) ∩
3
4
C(
¯
Ω)
u(y) =

∂Ω

Ω
Γ (x − y) f (y) dy =

R
n
Γ (x − y) f (y) dy
=

R
n
Γ (z) f (x − z) dz
ta thấy ω ∈ C
∞

¯
Ω

. Mặt khác, nếu f liên tục thì thế vị Newton ω không
nhất thiết phải khả vi hai lần. Đã chỉ được ra rằng, có một lớp các hàm
f thuận lợi để làm việc. Đó là lớp hàm H¨older liên tục được giới thiệu
dưới đây.
Cho x
0
∈ R
n
và f là một hàm xác định trên tập bị chặn D có
chứa điểm x
0
. Nếu 0 < α < 1, chúng ta nói hàm f liên tục H¨older với số
mũ α tai x

5
Ví dụ: f là hàm xác định trong B
1
(0), f (x) = |x|
β
, 0 < β < 1 là
liên tục H¨older với hệ số β tại điểm x = 0.
Khi β = 1 thì f liên tục Lipschitz.
Khái niệm liên tục H¨older là dễ dàng mở rộng trên toàn bộ tập
D (không nhất thiết bị chặn). Hàm f là liên tục H¨older với số mũ α
trong tập D nếu
[f]
α;D
= sup
x,y∈D,x=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
(1.5)
(0 < α < 1) là hữu hạn.
Ta nói f là liên tục H¨older địa phương với số mũ α trong D nếu
hàm f liên tục H¨older với số mũ α trên mọi tập compact của D.
Chú ý:
Hai khái niệm trên là trùng nhau khi D là tập compact.
Ta chú ý rằng liên tục địa phương H¨older là tính chất mạnh hơn liên
tục H¨older theo từng điểm trong tập compact.
Một hàm liên tục H¨older địa phương sẽ là liên tục H¨older theo
từng điểm trong D và nó cũng bị chặn trong D. Liên tục H¨older được
chứng minh là một đại lượng định tính của tính liên tục, nó đặc biệt phù
hợp với việc nghiên cứu của các phương trình vi phân đạo hàm riêng.


= C
α

¯
Ω

C
0,α
(Ω) = C
α
(Ω)
6
(với 0 < α < 1)
Cũng tương tự ta thiết lập
C
k,0

¯
Ω

= C
k

¯
Ω

C
k,0
(Ω) = C

=


D
k
u


0;Ω
= sup
|β|=k
sup
Ω


(D
β
u)


(1.6)
[u]
k,α;Ω
=

D
k
u

α;Ω

j=0


D
k
u


0;Ω
(1.7)
||u||
C
k,α
(
¯
Ω
)
= |u|
k,α;Ω
= |u|
k;Ω
+ [u]
k,α;Ω
= |u|
k;Ω
+

D
k
u


C
k
(
¯
Ω
)
= |u|

k,Ω
=
k

j=0
d
j
[u]
j,0;Ω
=
k

j=0
d
j

D
j
u

0;Ω

.
7
Các không gian C
k

¯
Ω

, C
k,α

¯
Ω

được trang bị chuẩn bên trên
là các không gian Banach.
Chú ý: Tích của các hàm liên tục H¨older là liên tục H¨older.
Thật vậy, u ∈ C
α

¯
Ω

, v ∈ C
β

¯
Ω

; uv ∈ C

¯
Ω
)
(1.9)
||uv||

C
γ
(
¯
Ω
)
≤ ||u||

C
α
(
¯
Ω
)
||v||

C
β
(
¯
Ω
)
.
Chúng ta chỉ quan tâm các miền Ω mà thỏa mãn quan hệ bao

< 1},
với mỗi β, 1 < β < 2 cho u (x, y) = (sgnx) y
β
nếu y ≥ 0, y ≤ 0. Rõ ràng
u ∈ C
1

¯
Ω

. Tuy nhiên nếu 1 > α > β/2, dễ dàng thấy được u
¯
∈ C
α

¯
Ω

và do đó C
1

¯
Ω

¯
⊂C
α

¯
Ω

b
a
f (x) g

(x) dx (1.11)
• Trường hợp nhiều biến (n ≥ 2)
Giả sử Ω là miền bị chặn trong R
n
, với biên trơn ∂Ω. Với x ∈ ∂Ω,
ta kí hiệu ν (x) = (ν
1
(x), ν
2
(x), , ν
n
(x)) là vecto pháp tuyến ngoài đơn
vị tại x = (x
1
, x
2
, , x
n
). Khi đó ta có

Ω
f
x
j
(x) g (x) dx =


ω
n
|x − y|
−n
(1.13)


D
β
uΓ(x − y)


≤ C|x − y|
2−n−|β|
C = C(n, |β|).
Bổ đề 1.1. Cho f là một hàm bị chặn và khả tích trong Ω, ω là thế vị
Newton của f thì ω ∈ C
1
(R
n
) và mọi x ∈ Ω,
D
i
ω (x) =

Ω
D
i
Γ (x − y) f (y) dy, (i = 1, 2, , n) (1.14)
9

Γη
ε
f(y)dy,
Γ = Γ(x − y), η
ε
= η(|x − y| /ε).
Rõ ràng, ω
ε
∈ C
1
(R
n
) và
v(x) − D
i
ω
ε
(x) =

|x−y|≤2ε
D
i
{(1 − η
ε
)Γ}f(y)dy
sao cho
|v(x) − D
i
ω
ε

(R
n
) và D
i
ω = v.
Bổ đề 1.2. Cho f là một hàm bị chặn và liên tục H¨older địa phương
(với số mũ α ≤ 1) trong Ω và cho ω là thế vị Newton của f. Khi đó
ω ∈ C
2
(Ω), ∆ω = f trong Ω và với mọi x ∈ Ω:
D
ij
ω(x) =

Ω
0
D
ij
Γ(x − y)(f(y) − f(x))dy (1.15)
10
−f(x)

∂Ω
0
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y

Γν
j
(y)dS
y
,
cho v = D
i
ω và xác định với ε > 0
v
ε
(x) =

Ω
D
i
Γn
ε
f(y)dy,
ở đây η
ε
là hàm được đưa ra Bổ đề trước. Rõ ràng, v
ε
∈ C
1
(Ω) , ta thu
được
D
j
v
ε

=

Ω
0
D
j
(D
i
Γη
ε
)(f(y) − f(x))dy − f(x)

∂Ω
0
D
i
Γν
j
(y)dS
y
,
với ε là nhỏ tùy ý. Do đó, phép trừ
|u(x) − D
j
v
ε
(x)| =




α
+ 4)[f]
α;x
(2ε)
α
với 2ε < dist(x, ∂Ω). Do đó D
i
v
ε
hội tụ đều đến u trên tập con compact
của Ω khi ε → 0, và từ v
ε
hội tụ đều đến v = D
i
ω trong Ω, ta thu được
11
ω ∈ C
2
(Ω) và u = D
ij
ω. Hơn nữa, đặt Ω
0
= B
R
(x) trong (1.15), ta có
với R đủ lớn,
∆ω(x) =
1
nω
n

nếu:
i) w
+
i
(x) (w
−
i
(x)) là hàm trên (hàm dưới) trong Ω tương đối với ϕ
trong Ω
ii) w
+
i
→ ϕ (x
0
),(w
−
i
→ ϕ (x
0
)) khi i → ∞.
Nếu cả barrier trên và barrier dưới cùng tồn tại tại một điểm
thì nó sẽ barrier tại một điểm.
Định nghĩa 1.2. Xét điểm x
0
∈ Ω là chính quy tại x
0
∈ ∂Ω nếu tồn tại
một barrier tại điểm đó.
Định lí 1.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson trong miền bị
chặn là giải được với giá trị biên liên tục tùy ý nếu và chỉ nếu mọi điểm

2
), 0 < α < 1 và ω là thế vị Newton của f
trong B
2
. Khi đó ω ∈ C
2,α
(
¯
B
1
) và


D
2
ω



0,α;B
1
≤ C|f|

0,α;B
2
(1.16)


D
2

ij
ω(x) =

B
2
D
ij
Γ(x−y)(f(y)−f(x))dy−f(x)

∂B
2
D
i
Γ(x−y)ν
j
(y)dS
y
do đó bằng (1.13)
|D
ij
ω(x)| ≤
|f(x)|
nω
n
R
1−n

∂B
2
dS

= C
1
(n, α).
Tiếp theo cho bất kì điểm ¯x ∈ B
1
, từ công thức (1.15) ta có:
D
ij
ω(¯x) =

B
2
D
ij
Γ(¯x − y)(f(y) − f(¯x))dy
−f(¯x)

∂B
2
D
i
Γ(¯x − y)ν
j
(y)dS
y
.
Đặt δ = |x − ¯x|, ξ =
1
2
(x + ¯x), chúng ta thu được kết quả từ phép

6
được cho bởi,
I
1
=

∂B
2
(D
i
Γ(x − y) − D
i
Γ(¯x − y)ν
j
(y)) dS
y
I
2
=

∂B
2
D
i
Γ (¯x − y) ν
j
(y)dS
y
I
3

I
6
=

B
2
−B
δ
(ξ)
(D
ij
Γ (x − y) − D
ij
Γ (¯x − y))(f(¯x) − f(y)))dy.
Có thể đánh giá các tích phân như sau:
|I
1
| ≤ |x − ¯x|

∂B
2
|DD
i
Γ(ˆx − y)| dS
y
cho ˆx nằm giữa x và ¯x,
≤
n
2
2

n−1
|I
3
| ≤

B
δ
(ξ)
|D
ij
Γ(x − y)| |f(x) − f(y)| dy
≤
1
ω
n
[f]
α;x

B
3δ/2
(x)
|x − y|
α−n
dy =
n
α

3δ
2


−B
δ
(ξ))
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y




≤





∂B
2
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y





1−n

∂B
δ
(ξ)
dS
y
= 2
n
.
|I
6
| ≤ |x − ¯x|

B
2
−B
δ
(ξ)
|DD
ij
Γ (ˆx − y)| |f(¯x − f(y))| dy,
cho ˆx nằm giữa x và ¯x,
≤ cδ

|y−ξ|≥δ
|f(¯x) − f(y)|
|ˆx − y|
n+1

≤
c

1 − α
2
n+1
(
3
2
)
α
δ[f]
x;α
, c

= n
2
(n + 5).
Kết hợp lại ta có:
|D
ij
ω (¯x) − D
ij
ω (x)| ≤ C
2

R
−α
|f(x)| + [f]
α;x


, ω là thế vị Newton của f trên Ω
2
thì Bổ đề 1.3 vẫn đúng
với Ω
1
, Ω
2
thay thế B
1
, B
2
tương ứng trong (1.16) là :


D
2
ω



0,α;Ω
1
≤ C|f|

0,α;Ω
2
Từ Bổ đề này sẽ có những đánh giá H ¨older cho nghiệm của
phương trình Poisson.
Bổ đề 1.4. Giả sử u ∈ C


0,α;B
≤ C|f|

0,α;B
; C = C(n, α) (1.19)
|u|

1;B
≤ CR
2
|f|
0;B
; C = C(n).
15
Định lí 1.4. Cho Ω là một miền trong R
n
và u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C
α
(Ω)
thỏa mãn phương trình Poisson ∆u = f trong Ω. Khi đó u ∈ C
2,α
(Ω) và
với bất kì hai hình cầu đồng tâm B
1
= B
R
(x

và ω là thế vị Newton của f trong B
2
. Từ Bổ đề 1.1 và 1.3, ta có
R|Dω|
0;B
1
+ R
2


D
2
ω



0,α;B
1
≤ CR
2
|f|

0,α;B
2
R|Dv|
0;B
1
+R
2


, x
2
) ta có thể xét u là nghiệm
của phương trình Poisson trong một hình cầu trong R
3
và bất đẳng thức
thực hiện theo cùng một cách. Đánh giá cho u thu được bằng cách kết
hợp các bất đẳng thức.
Hệ quả 1.1. Bất kì dãy nghiệm bị chặn của phương trình Poisson ∆u =
f trong miền Ω với f ∈ C
α
(Ω) chứa một dãy con hội tụ đều trên mọi
miền con compact đến một nghiệm nào đó của phương trình này.
Cho x, y ∈ Ω mà có thể phù hợp với bất kì tập con mở của
R
n
, đặt d
x
= dist(x, ∂Ω) , d
x,y
= min(d
x
, d
y
). Ta định nghĩa cho u ∈
C
k
(Ω), C
k,α
(Ω),

[u]
∗
j;Ω
;
[u]
∗
k,α;Ω
= sup
x,y∈Ω,|β|=k
d
k+α
x,y


D
β
u(x) − D
β
u(y)


|x − y|
α
, (0 < α ≤ 1) (1.21)
|u|
∗
k,α;Ω
= |u|
∗
k;Ω

k,α;Ω
≤ max

1, d
k+α

|u|
k,α;Ω
. (1.22)
Nếu Ω

⊂⊂ Ω và σ = dist

Ω

, ∂Ω

, khi đó
min

1, σ
k+α

|u|
k,α;Ω

≤ |u|
∗
k,α;Ω
. (1.23)

1
= B
R
(x), B
2
= B
2R
(x)
ta có đạo hàm cấp một Du và đạo hàm cấp hai D
2
u
d
x
|Du(x)| + d
2
x


D
2
u(x)


≤ (3R)|Du|
0;B
1
+ (3R)
2



|u|
0;Ω
+ |f|
(2)
0,α;Ω

. (1.25)
Đánh giá [u]
∗
2;α;Ω
ta cho x, y ∈ Ω với d
x
≤ d
y
. Khi đó
d
2+α
x,y


D
2
u(x) − D
2
u(y)


|x − y|
α
≤ (3R)


|u|
0;B
2
+ R
2
|f|

0,α;B
2

+ 6[u]
∗
2;Ω
≤ C

|u|
0;Ω
+ |f|
(2)
0,α;B
2

( do (1.24)).
Định lí 1.6. Cho B là một hình cầu trong R
n
và f là một hàm trong
C
α
(B) với sup

R
2
− r
2

β
.
Bằng cách tính toán trực tiếp, ta có với r < R
∆ω(x) = −2β(R
2
− r
2
)
β−2

n(R
2
− r
2
) + 2 (1 − β) r
2

≤ −4β(1 − β)R
2
(R
2
− r
2
)
β−2

0
Nω + u = 0 trên ∂B
∆(C
0
Nω − u) ≤ 0 trên B và C
0
Nω − u = 0 trên ∂B.
Do vậy, theo nguyên lí cực đại
|u(x)| ≤ C
0
Nω(x) ≤ CNd
β
x
(1.27)
với x ∈ B, hằng số C = 2/β(1 − β).
Cuối cùng cho thấy sự tồn tại của u, ta có
f
m
=












|f
m
(x)| ≤ CN
do đó dãy {u
m
} là đều bị chặn và ∆u
m
= f trong B
k
, với m ≥ k. Do đó
từ Hệ quả 1.1, áp dụng tiếp cho dãy các hình cầu B
k
, một dãy con của
{u
m
} hội tụ trong B đến u ∈ C
2
(B) thỏa mãn ∆u = f trong B. Thì khi
đó, |u(x)| ≤ CNd
β
x
và do đó u = 0 trên ∂B.
1.2.6 Tính chất liên tục H¨older của nghiệm trên biên
Ta đưa ra một số kí hiệu sau:
19
R
n
+
kí hiệu nửa mặt phẳng x
n

, B
+
1
= B
1
∩ R
n
+
.
Bổ đề 1.5. Cho f ∈ C
α
(
¯
B
+
2
), ω là thế vị Newton của f trong B
+
2
thì
ω ∈ C
2,α
(
¯
B
+
1
) và



+
2
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y

=

∂B
+
2
D
i
Γ(x − y)ν
i
(y)dS
y

trên T triệt tiêu kể từ khi ν
i
hoăc ν
j
= 0. Đánh giá trong Bổ đề 1.3 cho
D
ij
ω (i hoặc j = n) khi đó tiến hành đúng như trước với B
2

(
¯
B
+
2
), f ∈ C
α
(
¯
B
+
2
) thỏa mãn ∆u = f
trong B
+
2
, u = 0 trên T . Khi đó u ∈ C
2,α
(
¯
B
+
1
) và có
|u|

2,α;B
+
1
≤ C(|u|

+
2
20
Một số đánh giá đơn giản (mở rộng công thức (1.19))


D
2
u



0,α;B
+
2
≤ C|f|

0,α;B
+
2
. (1.30)
Trong trường hợp này chúng ta có công thức biểu diễn sau
u(x) = ω(x) =

B
+
2
[Γ(x − y) − Γ(x
∗
− y)] f(y)dy (1.31)

= sup
x∈Ω,|β|=k
¯
d
k
x


D
β
u(x)


, (k = 0, 1, 2 )
|u|
∗
k;Ω∪T
= |u|
∗
k,0;Ω∪T
=
k

j=0
[u]
∗
j;Ω∪T
[u]
∗
k,α;Ω∪T

0,α;Ω∪T
= sup
x∈Ω
¯
d
k
x
|u(x)| + sup
x,y∈Ω
¯
d
k+α
x,y
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
.
Định lí 1.9. Cho Ω là một tập mở trong R
n
+
với một phần biên T trên
x
n
= 0 và cho u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
o
(Ω ∪ T ), f ∈ C
α
(Ω ∪ T ) thỏa mãn ∆u = f

¯
B).