ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN HUY HỒN
BÀI TỐN DIRICHLET
CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

THÁI NGUN – 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />i



LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan, Luận văn này là cơng trình nghiên cứu của tơi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong q trình nghiên cứu đề tài Luận văn, tơi đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà Tốn học và các nhà Khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Thái Ngun, tháng 5 năm 2014
Tác giả Trần Huy Hồn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />iii


LỜI CẢM ƠN

Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận được sự hướng dẫn và
giúp đỡ của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Tốn học Việt Nam). Tơi xin chân

2
CHƯƠNG I NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TỐN DIRICHLET
2
1.1 Nghiệm yếu của bài tốn Dirichlet trong nửa hình cầu
2
1.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu
5
1.3 Các đánh giá tiên nghiệm
7
1.3.1 Hệ tốn tử biên chuẩn tắc 7
1.3.2 Biến đổi Fourier và một số khơng gian hàm 11
1.3.3 Đ
ánh giá tiên nghiệm 14
1.4 Trường hợp hình cầu có bán kính đủ nhỏ
18
CHƯƠNG II TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM YẾU
21
2.1 Các tốn tử compact
21
2.2 Phép nhúng compact
24
2.3 Một số bổ đề
30
2.4 Độ trơn của nghiệm yếu
35
2.5 Sự tồn tại của nghiệm trơn vơ hạn
40
KẾT LUẬN
42
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1 NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TỐN DIRICHLET

1.1 Nghiệm yếu của bài tốn Dirichlet trong nửa hình cầu
Trước hết ta nhắc lại các ký hiệu
(
)
12
, , , , .
n
n
xxx x t=∈∈

()
{
}
2
122
,; ,0.
n
R
xt x t R t
σ
+
=∈ +<>

nn
n
zz
ξξξ ξ ξ
=∈∈∈× 

()
12 1 2
, , , , .
n
nn
µ
µµ µ µ µ µ µ
=∈=+++

12
12
.
n
n
µ
µµ
µ
ξ
ξξ ξ
=

()
12
, , , ; ; .

)
(
)
,, (,, , ) , .
k
xt k xt
km
P
xtD Pxt D D a xt D D
µ
µ
µ
+≤
==
∑

(
)
(
)
,, , , .
k
k
km
P
xt z a xt z
µ
µ
µ
ξξ

kxt
km
P
xtD a xtD D
µ
µ
µ
+≤
=
∑
(1.1)
trong đó các hệ số được giả thiết thuộc
(
)
.
R
C
σ
∞

Trong miền
R
σ
ta xét bài tốn Dirichlet sau đây:

(,, )(,) (,),
P
xtDuxt f xt=

(,)

phương trình đối với z sau đây có r nghiệm với phần ảo
dương và r nghiệm với phần ảo âm:
(
)
2
,, , 0.
r
Pxt z
ξ
=

Với mỗi
(
)
R
fC
σ
∞
∈
ta hy vọng rằng ta có thể tìm ra lời giải trong
(
)
m
R
C
σ
. Chúng
ta thấy rằng thậm chí với một bài tốn đơn giản nhất như trên cũng sẽ u cầu có
phương pháp giải nhất định.
Trước hết ta phân tích để đưa ra khái niệm nghiệm yếu.

R
C
ϕ
σ
∈
là
một hàm số bất kỳ trong
()
m
R
C
σ
và triệt tiêu trong lân cận
1
R
σ
∂
. Nhân hai vế của
phương trình (1.2) với hàm
()
,
x
t
ϕ
và lấy tích phân từng phần, ta có:

(
)
,
(P x,t,D u, ) ( , )
0
(,),
m
k
tk
k
Du
ϕ
=
=
∑

trong đó
,
[[ ],
k
kx
mk
Da
µ
µ
µ
ϕ
ϕ
≤−
=
∑


ttk
kj
uP xtD i D uD dx
σ
ϕϕ ϕ
−−
==
∂
=−
∑∑
∫

0
1
1
(, '(,, )) ,
R
mm
jkj
ttk
jkj
uP xtD i D u D dx
σ
ϕϕ
−−
==
∂
=−
∑∑
∫

j
tj
j
PxtDu uP xtD i D N dx
σ
ϕ
ϕϕ
−
=
∂
=−
∑
∫
(1.4)
trong đó
,
0
[]
mj
k
jk
jxt
kmjk
NDDa
µ
µ
µ
ϕ
ϕ
−

ϕ
ϕ
=

Từ các dẫn dắt ở trên ta đưa ra khái niệm nghiệm yếu của Bài tốn (1.2), (1.3) như
sau:
Định nghĩa 1.1 Hàm số
(
)
(
)
2
,
R
uxt L
σ
∈
được gọi là nghiệm yếu của Bài tốn (1.2),
(1.3) nếu với mọi
()
(
)
,
m
R
xt C
ϕ
σ
∈
triệt tiêu trong lân cận của

R
C
ϕ
σ
∈
mà bằng khơng trong lân cận của
1 R
σ
∂
và thỏa mãn (1.6) trên
0
,
R
σ
∂
trong đó
.
là chuẩn trong khơng gian
(
)
2
.
R
L
σ

Chứng minh
Nếu u thỏa mãn phương trình (1.7), ta có:

() ()

tốn (1.2), (1.3) có nghiệm yếu hay khơng? Chúng ta sẽ tiến hành như sau:
Giả sử W là một tập hợp các hàm số
(,)
x
t
ψ
liên tục trong
R
σ
sao cho tồn tại hàm
số
(
)
m
R
C
ϕ
σ
∈
mà bị triệt tiêu trong lân cận
1 R
σ
∂
, thỏa mãn điều kiện (1.6) và sao
cho:

'( , , ) .PxtD
ϕ
ψ
=

L
σ
là khơng gian Hilbert, theo Định lý Riez thì tồn tại
Wu ∈
thỏa mãn
() (,)Gu
ψ
ψ
=

W,
ψ
∈

do đó
(, '(,, ) ) ( , )uP xtD f
ϕ
ϕ
=
(1.10)
được thỏa mãn với mọi
(
)
m
R
C
ϕ
σ
∈
mà bị triệt tiêu trong lân cận


0
().
R
C
ϕ
σ
∞
∈

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />7

Điều này cho thấy u là một nghiệm của phương trình (1.2). Tiếp theo, từ (1.4) ta
có:

0
1
1
R
m
j
tj
j
D
uN dx
σ
ϕ
−
=
∂

1
1
0
R
r
j
tj
j
DuNdx
σ
ϕ
−
=
∂
=
∑
∫

được thỏa mãn với
ϕ
như trên. Người ta chứng minh được rằng đối với mọi hàm
số
10
( ), , ( ) ( )
n
r
gx gx C
∞
∈


j
Dugdx
σ
−
=
∂
=
∑
∫

thỏa mãn đối với mọi
0
()
n
j
gC
∞
∈

đã triệt tiêu tại
.
x
R
=
Điều này cho thấy u thỏa
mãn điều kiện (1.3). Vì vậy, thuật ngữ “nghiệm yếu” là phù hợp. Vậy Định lý đã
được chứng minh.


1.3 Các đánh giá tiên nghiệm

R≤
Một hệ chuẩn tắc gồm r tốn tử được gọi là một hệ Dirichlet cấp r
nếu tất cả các tốn tử của hệ có cấp đều nhỏ hơn r.
Vì hệ có r phần tử và các cấp của chúng đơi một khác nhau nên các cấp có thể
được sắp xếp theo thứ tự từ 0,1,….r-1 và các cấp được lấy từ tập hợp
{
}
0,1, , 1 .r −

Giả sử rằng
(,, )
j
QxtD
có cấp (j -1). Chúng ta sẽ ln giả thiết điều này khi nói về
hệ Dirichlet.
Ví dụ 1.1 Hệ tốn tử
(
)
1j
jt
QD D
−
=

1,jr=
là một hệ Dirichlet.
Ví dụ 1.2 Hệ các tốn tử
(
)
,,

j
j
tjkxk
k
DxDQxDjr
−
=
=Λ ≤≤
∑
(1.13)
trong đó
jk
Γ
và
jk
Λ
là các tốn tử đạo hàm riêng đối với biến x, với các hệ số khả
vi vơ hạn lần có cấp
.jk≤−
Đối với mỗi j,
jj
Γ
và
jj
Λ
là các hàm số khác khơng
trong miền
x
R≤
. Hơn nữa, ta có:

thức (1.13), (1.14), (1.15) bằng phép quy nạp. Các cơng thức này hiển nhiên đúng
đối với j = 1.
Giả sử đối với hệ
12
, , ,
jj r
QQ Q
++
là đúng. Ta chứng minh nó cũng đúng với hệ
,1 2
, , , .
jj j r
QQ Q Q
++

Theo cơng thức (1.12) và giả thiết quy nạp

1
1
1
(,0, )
i
ik
iiitikt
k
Qx D D D
−
−
=
−Γ = Γ

ii
ii
Λ=
Γ
và

1
,1 .
i
il ii ik kl
kl
li
−
=
Λ=−Λ ΓΛ ≤<
∑

Điều này suy ra j = i và kéo theo các cơng thức (1.14) và (1.15) cũng như vậy.
Thực vậy, ta có

1ii
ik kl ii il ik kl il
kl kl
δ
−
==
ΓΛ =ΓΛ + ΓΛ =
∑∑

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />10

==
=Λ Γ −Λ Γ Λ Γ =
∑∑

bằng giả thiết quy nạp. Vậy Định lý đã được chứng minh.


Hệ quả 1.1 Nếu
1
' ( , , ), , ' ( , , )
r
Q xtD Q xtD
là một hệ Dirichlet bất kỳ cấp r thì

1
'(,0, ) (, ) (,0, ),
j
jjkxk
k
Qx D xDQxD
=
=Θ
∑

1 jr≤ ≤

trong đó
jk
Θ
là một tốn tử đạo hàm riêng có cấp


1
1
'( ,0, ) '
j
k
jjkt
k
QxD D
−
=
=Γ
∑11
'(,0,)
j
k
jk ki i
ki
Qx D
==
=Γ Λ
∑∑1
(' )(,0,).
jj

. Khi đó tồn tại một hàm số
(
)
R
vC
σ
∞
∈
, bằng
khơng trong lân cận
1
R
σ
∂
và thỏa mãn:
(,0, )(,0) (),1 .
jj
Qx Dvx gx j r=≤≤

Chứng minh
Theo Định lý 1.2, ta chỉ cần tìm một hàm số
()
R
vC
σ
∞
∈
triệt tiêu trong lân cận
1
R

δ
>

đủ nhỏ để hình trụ
1
,0xR t
δ
≤≤≤
nằm trong
R
σ
. Giả sử
()t
ζ
là một hàm số trong
tập
0
(,)C
δ δ
∞
−
và bằng 1 khi t = 0. Đặt:
1
1
() ()
(,) ()
(1)!
k
r
k

+
=×


() ( )
()
()
() ()
{
}
1
,,, ,,,
,;,,,;C0:1 ,;,.
m
n k
km x t km
SxtC km xtDDvxtCxt
β
αβ αβ
ϕαβ
∞+
Ω= ∈ ∀ ∃ > + + ≤ ∀ ∈ΩB. Khơng gian
()
2
L Ω

Định nghĩa 1.3 Trong

(
)
S Ω
theo chuẩn (*).

C. Biến đổi Fourier
Định nghĩa 1.4 Giả sử
(
)
(
)
,.
nn
vx S
ξ
∈∈
Biến đổi Fourier của hàm v(x) ký hiệu
là
(
)
(
)
(
)
Fv x
ξ
hoặc
()
v
ξ

(
)
n
S 
có các tính chất sau:
C1. Là một song ánh từ
()
n
S 
vào
(
)
n
S 
đồng thời ánh xạ ngược được xác định
bởi cơng thức sau:
()
()
()
()
,
1
.
2
n
ixt
n
vx e v d
ξ
ξ

n
vx xdx v d
ξ
ξξ
π
=
∫∫



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />13

C4. Quan hệ giữa các chuẩn trong
(
)
2
n
L 

()
2
2
1
,
2
n
vv
π
=


,
0, .
vx x
vx
x
∈Ω⎧
⎪
=
⎨
∉Ω
⎪
⎩


Khi đó,
(
)
(
)
n
vx S∈


và do đó biến đổi Fourier có thể định nghĩa cho mọi
(
)
(
)
0
.vx C

2
n
s
n
s
vx x v d
ξ
ξξξ
π
=+
∫


(1.15’)
và chuẩn tương ứng
(
)
()
2
22
1.
n
s
s
vvd
ξ
ξξ
=+
∫


(
)
,
rs
b
H Ω

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />14

Định nghĩa 1.6 Giả sử b là một số dương nào đó hoặc có thể là
.+∞
Ta định nghĩa
(
)
{
}
,: ,0 .
n
b
x
tx tb
Ω= ∈ <<


Cho
s ∈ 
và
r ∈ 
. Trong
(

0
b
r
k
t
rs
rks
k
vDvdt
−+
=
=
∑
∫

trong đó,
()
,w
s
v
và
2
s
v
được xác định tương ứng bởi (1.15’) và (1.15”).
Nhận xét
Khi r = 0 thì ta có

() ()
0,ss

σ
∈
mà triệt tiêu trong lân cận
1
R
σ
∂
và
thỏa mãn điều kiện (1.6). Thác triển các hàm
ϕ
như vậy bằng khơng ở ngồi
R
σ
và
giả sử
R
H
là bao đóng của
R
D
đối với chuẩn
,0m
. Nếu R(x,t,D) là một tốn tử bất
kỳ có cấp
m≤
với các hệ số bị chặn trên
R
σ
, chúng ta có thể mở rộng miền xác
định R(x,t,D) lên

của các hàm số trong
R
D

hội tụ tới u trong H. Theo bất đẳng thức (1.16), dãy
{
}
(,, )
k
RxtD
ϕ
hội tụ trong
2
()
R
L
σ
tới một hàm số w. Ta gọi R(x,t,D)u là w. Để thấy rằng định nghĩa này là có
ý nghĩa, ta phải chỉ ra rằng định nghĩa này khơng phụ thuộc vào dãy riêng
{
}
k
ϕ
.
Thật vậy, nếu
{
}
k
ψ
là một dãy khác của hàm số trong

HL
σ
⊂
.
Tiếp theo, lưu ý rằng bất đẳng thức (1.16) suy ra:

,0
(,, )
m
RxtDv Cv≤

.
R
vH
∈
(1.17)
Nếu
{
}
k
ϕ
là một dãy số khác của hàm số trong
R
D
hội tụ tới v trong H
R
thì
,0
(,, )
kk

(1.19)
Từ bất đẳng thức (1.18) ta thấy rằng để bất đẳng thức (1.8) thỏa mãn, điều kiện
cần là
()
,' 0
R
fN
=
(viết tắt là
'
R
f
N
⊥
). Đây là điều kiện cần và do đó từ thời điểm
này ta giả thiết rằng điều kiện (1.19) ln được thỏa mãn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />16

Rõ ràng,
'
R
N
là khơng gian con của
2
()
R
L
σ
. Chúng ta sẽ chứng minh tại Mục 2.2
Định lý 1.3 Đối với R vừa đủ nhỏ,

'
R
vN
⊥
(1.20)
thì bất đẳng thức (1.18) được thỏa mãn với mọi
R
vH
∈
.
Chứng minh
Nếu
R
vH
∈
, thì
12
vv v
=+
, trong đó
2
'
R
vN
∈
và
1
'
R
vN

vCPxtDv
≤

R
vH∈
;
'
R
vN⊥
(1.21)
thì bất đẳng thức (1.18) được thỏa mãn đối với mỗi
'
R
f
N⊥
.
Từ Hệ quả 1.2, ta thấy rằng nếu muốn bất đẳng thức (1.8) thỏa mãn đối với mỗi
'
R
f
N⊥
, ta cần chứng minh bất đẳng thức (1.21). Trước hết ta phát biểu định lý và
bổ đề sau:
Định lý 1.4 Với giả thuyết nêu trong Mục 1.1, tồn tại các hằng số R > 0 và C, sao
cho

,0
('(,,) )
m
CPxtD


Như chúng ta đã lưu ý trước đây, bất đẳng thức (1.22) suy ra:
,0
('(,,) )
m
vCPxtDvv≤+

.
R
vH∈
(1.23)
Ta sẽ chứng minh Định lý 1.4 ở phần cuối của phần này và Bổ đề 1.3 ở mục 2.2.
Bây giờ chúng ta sử dụng Định lý và Bổ đề trên để chứng minh
Định lý 1.5
Với giả thuyết nêu trong Mục 1.1, tồn tại các hằng số R >0 và C, sao cho:

,0
'( , , )
m
vCPxtDv≤

R
vH∈

'.
R
vN⊥
(1.24)
Chứng minh
Giả sử bất đẳng thức (1.24) khơng được thỏa mãn. Do đó sẽ có một dãy

L
σ
. Ở đây, ta chỉ quan tâm tới dãy
con này. Vì vậy, chúng ta giả sử rằng tồn bộ dãy con sẽ hội tụ trong
2
()
R
L
σ
. Theo
bất đẳng thức (1.23):

(
)
,0
'( , , )[ ] 0.
jk jk jk
m
vv CPxtDvv vv−≤ −+−→

Vì vậy, v
k
hội tụ trong
R
H
tới hàm số
R
vH∈
. Vì mỗi hàm số v
k

Tuy nhiên:

,0
,0
lim 1.
k
m
m
vv==

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />18

Mâu thuẫn này đã chứng minh cho bất đẳng thức (1.24). Vậy Định lý đã được
chứng minh.


Hệ quả 1.3 Với giả thiết nêu trong Mục 1.1, tồn tại các hằng số R > 0 và C, sao
cho bất đẳng thức (1.18) thỏa mãn đối với mỗi
'
R
f
N
⊥
.
Chứng minh
Kết hợp Hệ quả 1.2 và Định lý 1.5.
Từ Định lý 1.4 ta suy ra định lý sau đây
Định lý 1.6 Với các giả thiết của Mục 1.1, có các hằng số R >0 và C thỏa mãn:
,0
((,,) )

để bất đẳng thức (1.22) được thỏa mãn.
Lưu ý rằng
R
D
chứa
1
R
D
đối với mọi
1
R
R<
nào. Vì vậy, bất đẳng thức (1.22) thỏa
mãn đối với bất kỳ một giá trị
R
đủ nhỏ nào. Từ đây suy ra bất đẳng thức (1.24)
cho bất kỳ giá trị
R
đủ nhỏ nào và suy ra Bài tốn (1.2), (1.3) có nghiệm yếu đối
với mỗi
'
R
f
N⊥
cho mỗi giá trị
R
đủ nhỏ. (thơng qua bất đẳng thức (1.18)).
Bây giờ chúng ta đưa ra chứng minh bất đẳng thức (1.16). Bất đẳng thức (1.16) là
một hệ quả của
0

0
(2 ) ( , )
kk
xt t
DD DF t d dt
µπµ
ϕ
πξϕξξ
∞
−
=
∫∫2
2
0
(,)
k
t
CDFtddt
µ
ξ
ϕξ ξ
∞
≤
∫∫

2
,mo

k
xt k xt
P
xtD DD a b D D
µµ
µ
µ
ϕϕϕ
=
∑∑

trong đó
,k
b
µ
nằm trong
()
R
C
σ
∞
. Lưu ý:
,
,
(,)
k
k
baxt
µ
µ

µµµ
=−

km
µ
+ ≤

và

1,
(,, ) (,)
k
kxt
R
xtD c xtDD
µ
µ
=
∑

do đó

11
'( , , ) ( ) ( , , )P xtD PD R xtD=+

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />20

và các hệ số của
1
(,, )

k
cxt
µ
triệt tiêu tại gốc tọa độ nên chúng ta có thể
lấy
0R >
đủ nhỏ để:
,
01
1
(,) ,
2
k
cxt
CC
µ
≤

km
µ
+ ≤

vì vậy
,0
1
1
(,, ) ,
2
m
RxtDSố hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />