ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ THÚY MAI
BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ THÚY MAI
BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
TRONG KHÔNG GIAN HOLDER
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Công thức Green thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Công thức Green thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Lớp hàm Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

cần phải trình bày một cách hệ thống lý thuyết Schauder về tính giải được
của phương trình elliptic cấp hai trong không gian Holder.
2. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chính được sử dụng trong Luận văn là các đánh giá
tiên nghiệm đối với thế vị Newton và sử dụng phương pháp liên tục để
chuyển các kết quả cho phương trình Poisson sang loại phương trình tổng
quát.
3. Mục đích của Luận văn
Trình bày tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
cấp hai dạng tổng quát.
4. Nội dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận
và Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kết
quả chính của Luận văn. Trước hết trình bày công thức tích phân từng
phần, sau đó trình bày các công thức Green thứ nhất, công thức Green
thứ hai và công thức tích phân từng phần. Tiếp theo giới thiệu về lớp hàm
Holder, đánh giá của Schauder đối với thế vị Newton và hai phương pháp
quan trọng là phương pháp liên tục và phương pháp làm trơn hàm số.
Chương 2. Giới thiệu các đánh giá của Schauder đối với nghiệm của
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bài
toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tiếp theo
trình bày về tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình
Poisson và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
cấp hai dạng tổng quát.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo
của PGS.TSKH Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòng
biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến

) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại x, dσ(x)
là phần tử diện tích của ∂Ω.
Với u(x), v(x) ∈ C
1
(Ω) ∩ C
0
(Ω) ta có công thức tích phân từng phần
sau đây:

Ω
∂u(x)
∂x
k
v(x)dx = −

Ω
u(x)
∂v(x)
∂x
k
dx +

∂Ω
u(x)v(x)ν
k
dσ(x). (1.1)
1.2 Công thức Green thứ nhất
Bổ đề 1.2.1. Giả sử u(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C

trong đó ∇u = (
∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
d
) ,
∂u
∂ν
z
=
d

k=1
∂u
∂x
k
ν
k
= (∇u, ν
z
) là đạo hàm của
u theo hướng ν
z
.
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Chứng minh. Ta có:


∂Ω
v(z)

d

k=1
∂u(z)
∂x
k
ν
k

dσ(z)
= −

Ω
∇u(x).∇v(x)dx +

∂Ω
v(z)
∂u
∂ν
z
(z)dσ(z).
Do đó ta có công thức (1.2).
1.3 Công thức Green thứ hai
Bổ đề 1.3.1. Giả sử u(x), v(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C

v(z)
∂u
∂ν
z
(z)dσ(z).
Đổi vai trò hàm u(x) và v(x) ta có:

Ω
u(x)∆v(x)dx +

Ω
∇v(x).∇u(x)dx =

∂Ω
u(z)
∂v
∂ν
z
(z)dσ(z).
Trừ các vế của hai phương trình trên ta có (1.3).
1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số
Định lý 1.4.1. Nếu u ∈ C
2
(Ω), ta có:
u(y) =

∂Ω

u(x)
∂Γ

là thể tích của hình cầu đơn vị trong R
d
.
Chứng minh. Với  > 0 đủ nhỏ, tồn tại hình cầu tâm y bán kính 
B(y, ) ⊂ Ω
(vì Ω mở ). Áp dụng (1.3) cho v(x) = Γ(x, y) và Ω \ B(y, ). Do Γ là hàm
điều hòa theo biến x trong Ω \ {y}, ta thu được:

Ω\B(y,)
Γ(x, y)∆u(x)dx =

∂Ω

Γ(x, y)
∂u
∂ν
x
(x) − u(x)
∂Γ(x, y)
∂ν
x

dσ(x)
+

∂B(y,)

Γ(x, y)
∂u
∂ν




≤ dω
d

d−1
Γ() sup
B(y,)
|∇u| → 0.
Ngoài ra,
−

∂B(y,)
u(x)
∂Γ(x, y)
∂ν
x
dσ(x) =
∂
∂
Γ()

∂B(y,)
u(x)dσ(x)
=
1
dω
d


(Ω).
Nếu f liên tục Holder tại x
0
thì f liên tục tại x
0
.
Trong (1.7) nếu α = 1 thì f được gọi là liên tục Lipschitz tại x
0
.
Ta định nghĩa chuẩn:
|f|
C
α
(Ω)
= sup
x,y∈Ω
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
(1.8)
f
C
α
(Ω)
= f
C
0
(Ω)
+ |f|
C

|D
α
f|
C
α
(Ω)
. (1.10)
Ta thường viết C
α
thay cho C
0,α
.
Không gian C
k,α
(Ω) với chuẩn (1.10) là không gian Banach.
Bổ đề 1.5.4. Nếu f
1
, f
2
∈ C
α
(G) trên G ⊂ R
d
. Khi đó f
1
f
2
∈ C
α
(G) và:

|f
1
|
C
α
(G)
.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Chứng minh. Ta có:
|f
1
(x)f
2
(x) − f
1
(y)f
2
(y)|
|x − y|
α
≤
|f
1
(x) − f
1
(y)|
|x − y|
α
|f

x∈Ω
|f(x)| < ∞), thì u ∈ C
1,α
(Ω) và:
u
C
1,α
(Ω)
≤ c
1
sup |f| với α ∈ (0; 1). (1.12)
b. Nếu f ∈ C
α
0
(Ω), thì u ∈ C
2,α
(Ω) và:
u
C
2,α
(Ω)
≤ c
2
f
C
α
(Ω)
với α ∈ (0; 1), (1.13)
trong đó C
α

1
) − v
i
(x
2
)| ≤ sup
Ω
|f|.

Ω




x
i
1
− y
i
|x
1
− y|
d
−
x
i
2
− y
i
|x

d
−
x
i
2
− y
i
|x
2
− y|
d




≤
c
3
|x
1
− x
2
|
|x
3
− y|
d
. (1.15)
Ta đặt δ = 2|x
1

Không mất tính tổng quát ta lấy δ < R. Ta có:
I
1
≤ 2

B(x
3
,δ)
1
|x
2
− y|
d−1
dy = 2ω
d
δ, (1.17)
và do (1.15) ta có :
I
2
≤ c
4
δ(log R − log δ)
.
Do đó:
I
1
+ I
2
≤ c
5


|x − y|
2
δ
ij
− d(x
i
− y
i
)(x
j
− y
j
)

1
|x − y|
d+2
f(y)dy.
Trong công thức trên đã bỏ qua thừa số mà chỉ phụ thuộc vào d. Tuy nhiên
ta vẫn cần chỉ ra rằng tích phân này là hữu hạn nếu giả thiết f ∈ C
α
0
(Ω)
cố định.
Đầu tiên ta đặt f(x) = 0 với x ∈ R
d
\ Ω. Điều này không ảnh hưởng
đến tính liên tục Holder của f. Ta viết:
K(x − y) =

.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Ta có

R
1
<|y|<R
2
K(y)dy =

|y|=R
2
y
j
R
2
.
y
i
|y|
d
−

|y|=R
1
y
j
R
1

1
; x
2
] tồn tại x
3
sao cho:
|K(x
1
− y) − K(x
2
− y)| ≤
c
7
|x
1
− x
2
|
|x
3
− y|
d+1
. (1.22)
Đặt δ = 2|x
1
− x
2
|. Do (1.21) ta có:
w
ij

= I
1
+ I
2
. (1.23)
Ở đây I
1
ký hiệu là tích phân trên B(x
1
, δ) và I
2
là tích phân trên R
d
\
B(x
1
, δ). Do |f(y) − f(x)| ≤ f
C
α
.|x − y|
α
ta có:
|I
1
| ≤ f
C
α

B(x
1


R
d
\B(x
1
,δ)

f(x
2
) − f(x
1
)

K(x
1
− y)dy
+

R
d
\B(x
1
,δ)

f(y) − f(x
2
)

K(x
1

C
α

R
d
\B(x
1
,δ)
|x
1
− y|
α−d−1
≤ c
11
δ
α
f
C
α
. (1.26)
Bất đẳng thức (1.13) được suy ra từ (1.23), (1.24), (1.26).
1.7 Phương pháp liên tục
Định lý 1.7.1. Giả sử L
0
, L
1
: B
1
→ B
2

Chứng minh. Giả sử L
τ
là toàn ánh với một giá trị nào đó τ ∈ [0; 1].
Theo (1.28), khi đó L
τ
là đơn ánh. Vì vậy L
τ
là song ánh. Do đó có toán
tử nghịch đảo:
L
−1
τ
: B
2
→ B
1
Với t ∈ [0; 1], ta viết lại phương trình:
L
τ
u = f với f ∈ B
2
(1.29)
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
thành phương trình sau:
L
τ
u = f + (L
τ
− L

1
.
Ta có
Λu − Λv ≤ L
−1
τ
(L
0
 + L
1
)|t − τ|u − v.
Theo (1.28), L
−1
τ
 ≤ c. Do đó ta chọn được:
|t − τ| ≤
1
2
(c(L
0
 + L
1
))
−1
= η.
Và thu được điểm cố định cần tìm. Có nghĩa là nếu L
τ
u = f giải được thì
L
t

h
d

R
d
(
x − y
y
)u(y)dy, x ∈ Ω,
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
trong đó u(y) được hiểu là bằng không bên ngoài Ω. Khi đó hàm u
h
(x) ∈
C
∞
0
(R
d
).
Bổ đề 1.8.1. Với u ∈ C
0
(Ω), khi h → 0, u
h
hội tụ đều tới u trên tập bất
kỳ Ω

⊂⊂ Ω.
Chứng minh. Ta xét
u

Ω

|u − u
h
| ≤ sup
x∈Ω


|z|≤1
(z)|u(x) − u(x − hz)|dz,
≤ sup
x∈Ω

sup
|z|≤1
|u(x) − u(x − hz)|.
Do u liên tục đều trên tập compact {x : dist(x, Ω

) ≤ h}, ta suy ra:
sup
Ω

|u − u
h
| → 0 với h → 0.
Bổ đề 1.8.2. Giả sử u ∈ L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞. Với h → 0, khi đó ta có:
u − u
h



|z|≤1
(z)dz

p
q

|z|≤1
(z)|u(x − hz)|
p
dz
=

|z|≤1
(z)|u(x − hz)|
p
dz.
Ta chọn tập Ω

bị chặn với Ω ⊂⊂ Ω

.
Nếu 2h < dist(Ω, ∂Ω

) thì

Ω
|u
h

0
(Ω

) với
u − w
L
p
(Ω

)
< ε.
Theo Bổ đề 1.8.1, với h đủ nhỏ, ta có:
w − w
h

L
p
(Ω

)
< ε.
Áp dụng (1.31) với u − w, ta thu được:

Ω
|u
h
(x) − w
h
(x)|
p

p
(Ω)
≤ 2ε + u − w
L
p
(Ω

)
≤ 3ε.
Vì vậy u
h
hội tụ tới u với chuẩn tương ứng .
p
. Do đó dãy con của u
h
hội
tụ tới u tại hầu khắp nơi. Khi đó dãy u
h
hội tụ tới u khi h → 0.
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Chương 2
Bài toán biên Dirichlet cho phương
trình elliptic tuyến tính cấp hai
2.1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirich-
let cho phương trình Poisson
Xét phương trình Poisson sau trong miền Ω ⊂ R
d
∆u(x) = f (x), x ∈ Ω. (2.1)
Ta ký hiệu H

i
.
∂v
∂x
i

dx.
Cho f(x) ∈ L
2
(Ω), hàm số u(x) ∈ H
1
(Ω) được gọi là một nghiệm yếu
của phương trình (2.1) nếu:
−

Ω
n

i=1
∂u
∂x
i
∂v
∂x
i
dx =

Ω
f(x)v(x)dx (2.2)
với mọi v(x) ∈ H


f
C
0
(Ω)
+ u
L
2
(Ω)

. (2.3)
(b) Nếu f ∈ C
α
(Ω), thì u ∈ C
2,α
(Ω) và
u
C
2,α
(Ω
0
)
≤ c
13

f
C
α
(Ω)
+ u

η
C
k,α
(B(0,R
2
))
≤ c
14
(R
2
− R
1
)
−k−α
. (2.5)
Ta đặt
φ = ηu. (2.6)
Khi đó φ triệt tiêu ở phía ngoài của B(0, R
2
) và do
ϕ(y) =

Ω
Γ(x, y)∆ϕ(x)dx,
ta có:
φ(x) =

Ω
Γ(x, y)∆φ(y)dy. (2.7)
Ở đây

C
α
+ u
C
1,α

. (2.10)
Ở đây tất cả các chuẩn được tính toán trên B(0, R
2
). Từ Định lý 1.6.2 và
(2.9) và (2.10), ta thu được:
φ
C
1,α
≤ c
17

∆u
C
0
+ η
C
2
u
C
1

, (2.11)
và
φ

0
(B(0,R
2
))
+
1
(R
2
− R
1
)
2
u
C
1
(B(0,R
2
))

,
(2.13)
và
u
C
2,α
(B(0,R
1
))
≤ c
20

C
1,α
(Ω)
+ N(ε)u
L
2
(Ω)
, (2.15)
với mọi u ∈ C
1,α
(Ω). Nếu không ta có thể tìm thấy một dãy hàm (u
n
)
n∈N
⊂
C
1,α
(Ω) với
u
n

C
1
(Ω)
= 1,
u
n

C
1

1
(Ω)
= 1. Tuy nhiên từ (2.16) kéo
theo u
L
2
(Ω)
= 0, do đó u ≡ 0, do vậy u
C
1
(Ω)
= 0 (mâu thuẫn). Do vậy
(2.15) được chứng minh.
Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được
u
C
2
(Ω)
≤ εu
C
2,α
(Ω)
+ N(ε)u
L
2
(Ω)
. (2.17)
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Ta đặt

3
u
C
1,α
(B(0,R
1
))
. (2.18)
Và để chứng minh (b) ta chọn R
1
sao cho:
A
2
≤ 2(R − R
1
)
3
u
C
1,α
(B(0,R
1
))
. (2.19)
Khi đó (2.13) và (2.15) kéo theo:
A
1
≤ c
21
(R − R

)
2
N(ε)u
L
2
(B(0,R
2
))

≤ c
22
(R − R
1
)
3
(R − R
2
)
3
.
ε
(R
2
− R
1
)
2
.A
1
+ c

.
Chọn R
2
(R
1
< R
2
< R), và ε thích hợp, hệ số của A
1
ở vế phải nhỏ hơn
1
2
. Khi đó ta được:
u|
C
1,α
(B(0,r))
≤
1
(R − r)
3
A
1
≤ c
25

∆u
C
0
(B(0,R))

1
(Ω) ta xét u
h
như trong chương 1.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Giả sử 0 < h < dist(Ω
0
, ∂Ω). Khi đó:

Ω
Du
h
.Dv = −

Ω
f
h
v với mọi v ∈ H
1,2
0
(Ω).
Và do u
h
∈ C
∞
, ta cũng có ∆u
h
= f
h

C
1,α
(Ω
0
)
≤ c
27

f
h
1
− f
h
2

C
0
(Ω)
+ u
h
1
− u
h
2

L
2
(Ω)

, (2.22)

h
2

L
2
(Ω)

. (2.23)
Hàm giới hạn u được chứa trong C
1,α
(Ω
0
) hoặc C
2,α
(Ω
0
) và thỏa mãn (2.3)
và (2.4).
Định lý 2.1.2. Giả sử u là một nghiệm yếu của ∆u = f trong Ω (Ω
là miền bị chặn trong R
d
), f ∈ L
p
(Ω) với p > d, Ω
0
⊂⊂ Ω. Khi đó
u ∈ C
1,α
(Ω) với α phụ thuộc vào p và d, và
u

− y
i
(x − y)
d
f(y)dy.
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta thu được:
|v
i
(x)| ≤ f
L
p
(Ω)


dy
|x − y|
(d−1)
p
p−1

p−1
p
.
Biểu diễn này là hữu hạn vì p > d. Bằng cách tương tự ta cũng chứng
minh được rằng
∂
∂x
i
w = const v
i


.
Nếu f ∈ C
∞
(Ω), u cũng vậy.
Chứng minh. Do u ∈ C
2,α
(Ω) nên theo Định lý 2.1.1, ta biết rằng nó là
nghiệm yếu của
∆
∂
∂x
i
u =
∂
∂x
i
f.
Từ Định lý 2.1.1 kéo theo:
∂
∂x
i
u ∈ C
2,α
(Ω) (i ∈ {1, , d}),
và vì vậy u ∈ C
3,α
(Ω).
2.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet
cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

(A) Tính elliptic: Tồn tại λ > 0 sao cho với mọi x ∈ Ω, ξ ∈ R
d
ta có
d

i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ λ|ξ|
2
.
Hơn nữa a
ij
(x) = a
ji
(x) với mọi i, j, x.
(B) Hệ số liên tục Holder: Tồn tại K < ∞ sao cho:
a
ij

C
α
(Ω)
, b
i


C
α
(Ω)
+ u
L
2
(Ω)

, (2.26)
trong đó c
1
là hằng số phụ thuộc vào Ω, Ω
0
, α, d, λ, K.
Chứng minh. Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.3. Giả sử có ma trận đối xứng (A
ij
)
i,j=1, ,d
thỏa mãn:
λ|ξ|
2
≤
d

i,j=1
A
ij
ξ
i

(Ω
0
)
≤ c
2

f
C
α
(Ω)
+ u
L
2
(Ω)

. (2.29)
Chứng minh. Ta sẽ dùng chú ý sau:
A = (A
ij
)
i,j=1, ,d
, D
2
u =

∂
2
u
∂x
i




λ
−
1
2
1
.
.
.
λ
−
1
2
1




23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
(λ
1
, , λ
d
là các giá trị riêng của A) với ma trận trực giao R. Bằng cách
này ta thu được phương trình
∆v(y) = f (B
−1

∈ Ω
0
. Ta viết lại phương trình vi phân Lu = f như
sau:

i,j
a
ij
(x
0
)
∂
2
u(x)
∂x
i
∂x
j
=

i,j
(a
ij
(x
0
) − a
ij
(x))
∂
2

(a
ij
(x
0
) − a
ij
(x))
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
. Giả sử
B(x
0
, R) ∈ Ω. Theo Bổ đề 1.5.4, ta có:





i,j
(a
ij
(x
0
) − a
ij

C
α
(B(x
0
,R))
+

i,j
|a
ij
|
C
α
(B(x
0
,R))
sup
B(x
0
,R)
|D
2
u|. (2.33)
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
Vì vậy, ta cũng có:





(x)|u
C
2,α
(B(x
0
,R))
+ c
3
u
C
2
(B(x
0
,R))
(2.34)
trong đó c
3
phụ thuộc vào chuẩn C
α
của a
ij
.
Tương tự,





i
b

5
u
C
α
(B(x
0
,R))
. (2.36)
Do vậy, ta thu được:
ϕ
C
α
(B(x
0
,R))
≤ sup
i,j,x∈B(x
0
,R)
|a
ij
(x
0
) − a
ij
(x)|u
C
2,α
(B(x
0

ij
(x
0
) − a
ij
(x)|u
C
2,α
(B(x
0
,R))
+c
8
u
C
2
(B(x
0
,R))
+ c
9
f
C
α
(B(x
0
,R))
(2.38)
Do a
ij

(B(x
0
,R))
+ 2c
9
f
C
α
(B(x
0
,R))
. (2.40)
Do (2.17), với mọi ε > 0, tồn tại N(ε) sao cho:
u
C
2
(B(x
0
,R))
≤ εu
C
2,α
(B(x
0
,R))
+ N(ε)u
L
2
(B(x
0