Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGÔ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Phương pháp liên tục đối với bài tốn Dirichlet . . . . . . . 7
1.2.1 Đặt bài tốn Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Khơng gian H¨older C
k,α
(Ω). . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Nội dung của phương pháp liên tục. . . . . . . . . . 9
1.3 Đánh giá đối với nghiệm bài tốn Dirichlet trong khơng gian
C
2

Ω

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Bước 1. Đánh giá |u| trong Ω. . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Bước 2. Đánh giá |∇u| trong Ω. . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Bước 3. Đánh giá


D
2
u


trên ∂Ω. . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Bước 4. Đánh giá


D
2

có nghiệm và trường hợp khi t = 1 được tương ứng với bài tốn của chúng
ta. Phương pháp này đòi hỏi phải tiến hành đánh giá tiên nghiệm trong
C
2,α

¯
Ω

đối với nghiệm của bài tốn. Do đó, tồn bộ phần còn lại của
Luận văn là dành cho việc trình bày đánh giá này.
Luận văn gồm hai chương. Trong chương I mơ tả phương trình Monge-
Ampere elliptic, phát biểu bài tốn Dirichlet cho phương trình này và tiến
hành đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn C
2

¯
Ω

đối với nghiệm bài tốn
trong bốn bước.
Phần đầu của chương II trình bày các đánh giá tiên nghiệm đối với
phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Sau đó áp dụng các kết quả này
để đánh giá theo chuẩn C
α
đối với các đạo hàm cấp hai ở bên trong miền Ω
và ở trên biên ∂Ω. Các kết quả này cùng với các đánh giá nhận được trong
chương I sẽ kết thúc việc đánh giá theo chuẩn C
2,α

¯

n
với biên ∂Ω trơn. Phương trình
Monge-Ampère có dạng
det (u
ij
) = f (x) , x ∈ Ω, (1.1)
trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
n
), f(x) là hàm số cho trước Ω, u = u (x) là ẩn
hàm, u
ij
(x) = u
x
i
x
j
(x) là đạo hàm cấp hai của ẩn hàm.
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình Monge-Ampère elliptic nếu
f (x) > 0, ẩn hàm u(x) là hàm lồi và ma trận [u
ij
(x)] là xác định dương
tại mọi điểm x ∈ Ω.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
1.1.2 Một số tính chất của phương trình Monge-Ampère el-
liptic
Tốn tử Monge-Ampère M được xác định bởi

∂
2
F
∂u
ij
∂u
kl
= −u
ik
u
jl
,
trong đó

u
ij

là ma trận nghịch đảo của ma trận Hessian (u
ij
) .
Chứng minh. Chúng ta kí hiệu A =

A
ij

là ma trận các phần bù đại số
của ma trận H = [u
ij
], tức là A = (det H) H
−1

.u
jk
= δ
i
j
=

1, nếu i = j
0, nếu i = j
.
Lấy đạo hàm đẳng thức trên đối với u
pq
, chúng ta có

u
ik

u
pq
.u
jk
+ u
ik
(u
jk
)
u
pq
= 0.
Nhân hai vế với u

u
pl
,
hoặc
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
∂u
ij
∂u
kl
= −u
il
.u
kj
.
Vì thế chúng ta có được
∂
2
F
∂u
ij
∂u
kl
=
∂u
ij
∂u
kl
= −u
il

u
ij

trở thành ma
trận đường chéo diag

λ
1
, , λ
n

với λ
i
> 0, i = 1, , n. Do đó, chúng
ta có
∂
2
F
∂u
ij
∂u
kl
.m
ij
.m
kl
= −u
il
.u
kj

2
ij
≤ u
ii
.u
jj
.
Bất đẳng thức Cauchy sẽ cho ta kết quả bên trên.
Bây giờ chúng ta quay trở lại phương trình Monge-Ampège
det (u
ij
) = f.
Chúng ta viết lại nó như sau
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
F

D
2
u

= log det (u
ij
) = log f,
cho u lồi ngặt
Giả sử ∂ là một đạo hàm theo hướng tùy ý trong R
n
. Áp tốn tử ∂ vào
hai vế của phương trình trên, chúng ta có được
u

kl
= ∂
2
log f,
hoặc
L

∂
2
u

= u
il
u
kj
∂u
ij
∂u
kl
+ ∂
2
log f.
Số hạng đầu tiên bên phải là dương, khi u là lồi ngặt. Khi đó chúng ta có
L

∂
2
u

≥ ∂

là khơng gian các hàm liên tục trên
¯
Ω với chuẩn
u
C
0
(
¯
Ω
)
= max
¯
Ω
|u (x)|.
Người ta thường viết C
0

¯
Ω

= C

¯
Ω

.
Định nghĩa
C
k




D
β
u


C
(
¯
Ω
)
.
Ở đây ta dùng các kí hiệu sau
β = {β
1
, β
2
, , β
n
}, β
j
∈ N,
|β| = β
1
+ β
2
+ + β
n
,

α,Ω
= sup
x,y∈
¯
Ω
x=y
|u(x)−u(y)|
|x−y|
α
.
Khi đó
C
α

¯
Ω

=

u ∈ C

¯
Ω

; [u]
α,Ω
< +∞

,
với chuẩn

Ω

; [D
α
u]
α,Ω
< +∞, ∀|α| = k

,
với chuẩn
u
k+α,Ω
= u
C
k,α
(
¯
Ω
)
= u
C
k
(
¯
Ω
)
+

|α|=k
[D

một hàm số lồi ngặt với u
0
= ϕ trên ∂Ω. Chúng ta có thể dễ dàng tìm
được một hàm u
0
như vậy sao cho
f
0
≡ det

u
0
ij

≥ f trong Ω.
Với mỗi t ∈ [0, 1], chúng ta tìm một nghiệm lồi ngặt u
t
∈ C
2+α

Ω

của
bài tốn Dirichlet sau
det

u
t
ij


ij
) u
ij
∂
ij
v.
Do u một hàm lồi ngặt, G
u
là một tốn tử tuyến tính elliptic đều với các
hệ số C
α
. Theo lý thuyết cổ điển Schauder, G
u
là một tốn tử khả nghịch
với mọi điều kiện biên ϕ cố định. Giả sử t
0
∈ I, G (u
t
0
, t
0
) = 0 đối với một
hàm số lồi ngặt u
t
0
∈ C
2+α

Ω


đoạn [0, 1] . Hàm u
1
là nghiệm mà chúng ta mong muốn của (1.2).
Do đó, phần còn lại của Luận văn là thiết lập đánh giá tiên nghiệm sau
u
2+α,Ω
≤ K, (1.4)
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
cho các nghiệm của (1.2), các hằng số K chỉ phụ thuộc vào Ω, các chuẩn
|f|
3
của f, max f
−1
và |ϕ|
4
.
Chúng ta đánh giá nghiệm theo chuẩn C
2+α
trong hai bước. Trong Bước
1 ở Mục 1.3 chúng ta ước lượng theo chuẩn trong C
2

¯
Ω

u
2,Ω
≤ K
2

det (u
ij
) ≥ det (v
ij
) trong Ω,
u ≤ v trên ∂Ω.
Khi đó u ≤ v trong Ω.
1.3 Đánh giá đối với nghiệm bài tốn Dirichlet trong
khơng gian C
2

Ω

Mục đích chính của mục này là trình bày định lý sau đây về đánh giá
đối với nghiệm bài tốn Dirichlet trong chuẩn của C
2

Ω

.
Định lý 1.4. Giả sử rằng Ω ⊂ R
n
là miền lồi ngặt bị chặn trong R
n
với
biên trơn ∂Ω và u, f, ϕ là hàm trơn trong Ω sao cho u là lồi ngặt và f là
dương trong Ω. Giả sử u thỏa mãn
det u
ij
= f(x) trong Ω,

0
= det

u
0
ij

≥ f trong Ω.
Chúng ta chia làm 4 bước sau
Bước 1. Đánh giá |u| trong Ω.
Bước 2. Đánh giá |∇u| trong Ω.
Bước 3. Đánh giá


D
2
u


trên ∂Ω.
Bước 4. Đánh giá


D
2
u


trong Ω.
Bây giờ chúng ta thực hiện từng bước.

≤ u
v
≤ u
0
v
trên ∂Ω. (1.8)
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
Do đó, chúng ta có được
|Du| ≤ K
1
trên ∂Ω và do đó trong Ω. (1.9)
Các hằng số K
1
phụ thuộc vào


u
0


1
.
1.3.3 Bước 3. Đánh giá


D
2
u


∂
ij
(x
l
u
k
) = u
ij
∂
i
(δ
jl
u
k
+ x
l
u
jk
)
= u
ij
(δ
jl
u
ik
+ δ
il
u
jk
+ x

− x
k
u
l
) = (x
l
∂
k
− x
k
∂
l
) log f. (1.11)
Điều này đơn giản là phản ánh thực tế rằng tốn tử (x
l
∂
k
− x
k
∂
l
) là đạo
hàm theo góc (trên |x| = constant) và biểu thức det (u
ij
) là bất biến đối
với phép quay.
Ta xét điểm bất kỳ trên biên mà khơng mất tính tổng qt, chúng ta
có thể lấy nó làm gốc tọa độ và trục x
n
là pháp tuyến trong. Khi đó, gần

] là ma trận xác định dương. Trong các
tổng trên chữ Hy Lạp α, β. . . được lấy từ 1 đến n – 1. Trên ∂Ω, chúng ta
có
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
u −ϕ = 0,
hoặc
(u −ϕ) (x
,
, ρ (x
,
)) = 0 với x

nhỏ.
Nhớ lại ϕ là xác định cả trong Ω. Vì vậy có được bằng cách đạo hàm đối
với x
α
và sau đó x
β
(∂
α
+ ρ
α
∂
n
) (u − v) = 0 trên ∂Ω,
và
(∂
β
+ ρ

Bây giờ chúng ta thiết lập đánh giá sau

α,β<n
u
αβ
(0) ξ
α
ξ
β
≥ C
0
> 0, (1.14)
cho bất kỳ véc tơ đơn vị ξ = (ξ
1
, , ξ
n−1
). Khơng làm mất tính tổng qt,
chúng ta giả định ξ
1
= 1. Chúng ta sẽ chứng minh
u
11
(0) ≥ C
0
> 0. (1.15)
Chúng ta giả sử
u (0) = 0, u
α
= 0 với α = 1, , n − 1. (1.16)
Để chứng minh (1.14) chúng ta xây dựng hàm chắn và chỉ ra cận dưới của


1<j≤n
a
1j
x
1
x
j
+ C



1<β<n
x
2
β
+ x
2
n


. (1.18)
Để chứng minh (1.17) chúng ta phân tích Taylor của ˜u (x
,
, ρ (x
,
)). Do (1.11)
và (1.15) nên khơng có số hạng nhỏ hơn bậc hai. Với các số hạng bậc hai
của x
α

=
2x
n
B
11
−

(α,β)=(1,1)
B
αβ
B
11
x
α
x
β
+ O

|x
,
|
3

.
Do đó chúng ta có
x
3
1
=
2x

có mặt trong tổng thứ nhất ở vế phải của (1.17). Phần còn
lại của các số hạng bậc ba trong ˜u (x
,
, ρ (x
,
)), có dạng x
2
1
x
α
,x
1
x
α
x
β
và
x
γ
x
α
x
β
. Với bất kỳ 1 < α, β < n chúng ta có
x
2
1
x
α
≤

Số hạng bậc bốn, chúng ta chú ý với i ≥ 2,
x
4
1
+


x
3
1
x
i


≤

1<α<n
x
2
α
+ x
2
n
.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
Do đó, (1.17) được chứng minh với x ∈ ∂Ω gần gốc tọa độ. Qua tính lồi
ngặt của ∂Ω, chúng ta có x
n
≥ a > 0 cho bất kỳ x ∈ ∂Ω khác gốc tọa độ.

1j
x
2
1
+

1<j≤n
a
1j
x
1
x
j
+
B
2

1<j≤n
x
2
j
.
Trên ∂Ω, cho x gần gốc tọa độ, chúng ta cần
−εx
n
+ δ|x|
2
≥ 0,
điều này tương đương với
x


1<j≤n
a
2
1j
a
12
a
1n
a
12
B
.
.
a
1n
B






=







) = 2δ

2δ + B +
1
B

1<j≤n
a
2
ij

(2δ + B)
n−2
.
Trong thực tế, giá trị riêng của (h
ij
) được cho bởi
2δ, 2δ + B +
1
B

1<j≤n
a
2
1j
, 2δ + B, , 2δ + B.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
Do đó h là lồi ngặt trong Ω và thỏa mãn
det (h

(0). Xem xét các
trường véc tơ (đạo hàm theo hướng)
T = ∂
α
+

β<n
B
αβ
(x
β
∂
n
− x
n
∂
β
).
Từ (1.10), chúng ta có
L (T u) = T (log f).
Điều này suy ra
L (T (u −v)) = LT u −L (T u) = T (log f) −u
ij
∂
ij
(T ϕ).
Do

u
ij

.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
Điều này suy ra
|T (u − ϕ)| ≤ C|x|
2
trên ∂Ω. (1.20)
Đầu tiên chứng minh (1.19) cho bất kỳ x ∈ ∂Ω gần gốc tọa độ. Sau đó nó
là đúng với x
n
≥ a > 0.
Bây giờ, ta xét một hàm chặn có dạng
ω = −a|x|
2
+ bx
n
,
với a, b là hằng số dương thích hợp như một hàm số chặn. Đầu tiên chúng
ta có
Lω = −2a

u
ii
,
và do đó với a lớn
|L (T (u −ϕ))| + Lω ≤ −2a

u
ii
+ C (1 +

≤ bx
n
.
Từ Ω là lồi ngặt, chúng ta có thể lựa chọn b đủ lớn sao cho
|T (u − ϕ)| ≤ ω trên ∂Ω.
Từ Ngun lý cực đại, chúng ta có được
|T (u − ϕ)| ≤ ω trên Ω.
Bằng cách lấy x
,
= 0 rồi chia cho x
n
và sau đó cho x
n
→ 0, chúng ta nhận
được
|∂
n
T (u − ϕ)| ≤ b tại 0,
hoặc





∂
αn
(u −ϕ) (0) −

β<n
B

tiên trong tổng là bị chặn và vì vậy ta có
A
nn
(0) u
nn
(0) ≤ C.
Từ (1.13) chúng ta nhận được cận dưới đối với A
nn
(0). Do đó chúng ta
có được
u
nn
(0) ≤ C.
Khi có một cận trên cho các giá trị riêng của H = (u
ij
), chúng ta có giá
trị cận dưới cho mỗi chúng bởi vì khi tích của nó bằng f. Do đó chúng ta
có
u
nn
(0) ≥ C
0
> 0.
1.3.4 Bước 4. Đánh giá


D
2
u


≤ K trong Ω.
Vì (u
ij
) là xác định dương, chúng ta có u
ii
> 0 và
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
|u
rr
| ≤ K trong Ω.
Định lý 1.4 được chứng minh.
Nhận xét 1.1. Do các giá tri riêng của D
2
u bị chặn trên bởi K và tích
của chúng là bằng f, chúng ta nhận được đại lượng chặn dưới dương cho
mỗi giá trị. Vì thế các tốn tử tuyến tính hóa L là elliptic đều. Cho T là
đạo hàm theo hướng cố định T =

c
j
∂
j
với

c
2
j
= 1. Chúng ta có
L(T

Đánh giá đạo hàm cấp hai của
nghiệm bài tốn Dirichlet trong
khơng gian H
¨
older
2.1 Đánh giá chuẩn H¨older đối với nghiệm của phương
trình elliptic tuyến tính và đạo hàm cấp một
của nó.
Trong phần này, chúng ta lấy đưa ra bất đẳng thức Harnack và các hệ
quả của nó cần thiết cho phần sau.
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
và xét một tốn tử tuyến tính
elliptic L trong Ω
L ≡ a
ij
(x) D
ij
,
ở đây, hệ số a
ij
là liên tục trên Ω. Điều kiện elliptic có nghĩa rằng ma trận
A = (a
ij
) là xác đinh dương ở khắp mọi nơi trong Ω. Chúng ta giả sử L là
elliptic đều theo nghĩa sau đây
λE ≤ (a
ij
) ≤ ΛE,
ở đây λ và Λ là hai hằng số dương, E là ma trận đơn vị. Điều này có nghĩa

(D
ij
u) là khơng dương trên Γ
+
. Trong thực tế, các tập tiếp xúc trên có thể
được xác định cho các hàm số u liên tục bằng cách sau đây
Γ
+
=
{y ∈ Ω; ∃p = p (y) ∈ R
n
sao cho u (x) ≤ u (y) + p (x −y) ∀ x ∈ Ω }.
Rõ ràng, u là lõm nếu và chỉ nếu Γ
+
= Ω. Nếu u ∈ C
1
(Ω) thì p (y) =
Du (y) và bất kỳ siêu phẳng giá nào đều là tiếp xúc với đồ thị.
Bây giờ chúng ta xem xét phương trình sau đây
Lu = f trong Ω,
với f ∈ C (Ω).
2.1.1 Bất đẳng thức Harnack
Định lý 2.1. ([1]) Giả sử Lu = f trong B
R
với u ≥ 0 trong B
R
với
f ∈ C (B
R
). Khi đó có

osc
B
r
u ≤ C

r
R

α

osc
B
R
u + Rf
L
n
(B
R
)

cho bất kỳ r ≤ R,
ở đây C = C (n, λ, Λ) là một hằng số dương, osc
B
R
u = sup
B
R
u −inf
B
R

(M (r) − u) ≤ C

inf
B
r
2
(M (r) − u) + rf
L
n
(B
r
)

,
M (r) − m

r
2

≤ C

M (r) − M

r
2

+ rf
L
n
(B

r
2

≤ C

ω (r) −ω

r
2

+ rf
L
n
(B
r
)

,
hoặc
ω

r
2

≤ γω (r) + Crf
L
n
(B
r
)


r
R

α
ω (R) + σ

r
µ
R
1−µ

,
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
ở đây C = C (γ, τ) và α = α (γ, τ, µ) là các hằng số dương. Trong thực tế
α = (1 −µ) log γ/ log τ.
Chứng minh. Ta cố định một số r
1
≤ R. Khi đó cho bất kỳ r ≤ r
1
chúng
ta có
ω (τr) ≤ γω (r) + σ (r
1
),
do σ là khơng giảm. Bây giờ chúng ta lặp lại bất đẳng thức này với một
số k dương bất kỳ
ω


r
1
< r ≤ τ
k−1
r
1
.
Do đó chúng ta có
ω (r) ≤ ω

τ
k−1
r
1

≤ γ
k−1
ω (R) +
σ(r
1
)
1−γ
≤
1
γ

r
r
1


R
1−µ
)
1−γ
.
Bổ đề 2.1 được chứng minh.
2.1.3 Đánh giá chuẩn H¨older trên biên đối với đạo hàm cấp
một theo pháp tuyến của nghiệm
Trong phần này, chúng ta xét một ứng dụng khác của Bất đẳng thức
Harnack để đánh giá đạo hàm theo pháp tuyến của nghiệm trên biên.
Chúng ta định nghĩa các khái niệm B
+
r
và Γ
r
như sau
B
+
r
= {(x
,
, x
n
) = x; |x| < r, x
n
> 0},
Γ
r
= {(x
,