ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Mở đầu 2
1 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai 4
1.1 Không gian W
1
2
(Ω),
˚
W
1

1
Mở đầu
Bài toán biên Dirichlet thường xuất hiện nhiều trong những bài toán ứng
dụng của lý thuyết cơ học chất lỏng, điện-từ trường v v Đa số các bài toán này
tương đối phức tạp thường không có phương pháp giải đúng. Chúng ta thường
chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm theo nghĩa nghiệm suy rộng. Nghiệm này chỉ
có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà không áp dụng được vào thực tiễn. Do vậy trong
thực tế để sử dụng nghiệm này chúng ta phải tìm nghiệm xấp xỉ của chúng.
Để đáp ứng một phần nhỏ yêu cầu của việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán
biên. Trong luận văn này trình bày "phương pháp sai phân giải gần đúng bài
toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai". Nội dung luận văn chủ
yếu dựa theo tài liệu tham khảo [8] của O.A. Ladyzhenskaya.
Luận văn với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên
cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày về phương pháp
sai phân để đưa bài toán biên về một bài toán đại số (hệ đại số tuyến tính). Bài
toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm được nghiệm gần đúng cho
bài toán ban đầu của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai.
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai.
Trong chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản về đạo hàm
suy rộng dựa trên tài liệu tham khảo [3] của Nguyễn Mạnh Hùng, khái niệm
2
không gian W
1
2
(Ω) và
˚
W
1

1.1 Không gian W
1
2
(Ω),
˚
W
1
2
(Ω) và các tính chất cơ
bản
1.1.1 Đạo hàm suy rộng
Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω ⊂ R
n
và v(x)
triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v ∈
˙
C
∞
(Ω)), bằng cách tích phân từng
phần k lần ta có:

Ω

u
∂
k
v
∂x
k
1

1
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x) ∈ L
1
(Ω) nếu:

Ω

u
∂
k
v
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
+ (−1)
k+1
vω
k
1
k
n

dx = 0,
với mọi v ∈
˙

k
(Ω) thì ω
k
1
k
n
= ∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
. Rõ
4
ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm
riêng liên tục của dạng ∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
.

2
u
2
)
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
= c
1
∂
k
u
1
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
+ c
2
∂
k

˚
W
1
2
(Ω)
Định nghĩa 1.1.2. [3] Không gian W
1
2
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm
u(x) ∈ L
2
(Ω) sao cho tồn tại đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α|  1, thuộc L
2
(Ω)
và được trang bị chuẩn:
||u||
(1)
2,Ω
=


Ω
(u
2
+ u
2
x
)dx

1/2

2
(Ω) được xác định bởi:
(u, v)
(1)
2,Ω
=

Ω
(uv + u
x
v
x
)dx. (1.1.1)
Qui ước: u
x
v
x
=

n
k=1
u
x
k
v
x
k
, u
2
x

1
2
(Ω). Ta có:

Ω
u
2
dx  c
2
Ω

Ω
u
2
x
dx, (1.1.3)
(bất đẳng thức Poincare-Friedichs), c
Ω
là một hằng số phụ thuộc trên Ω.
Ta chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈
˙
C
∞
(Ω), sau đó có thể thu được (1.1.3) với
∀u(x) ∈
˚
W
1
2
(Ω) bởi "sự đóng đơn theo chuẩn W

theo chuẩn W
1
2
(Ω). Ta được (1.1.3) với u(x).
Ta sẽ thường xuyên sử dụng tính chất đóng như trên trong chứng minh bất
đẳng thức:
u
B
1
 c u
B
2
, (1.1.4)
với mọi u ∈ B
2
, trong đó B
1
, B
2
là hai không gian Banach.
Trước tiên, ta sẽ chứng minh (1.1.4) với tập M nào đó (gồm những phần tử
thường là các hàm trơn) trù mật trong B
2
và đóng theo chuẩn của B
2
.
Bây giờ ta trở lại với chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈
˙
C
∞

dy
1
, (1.1.5)
trong đó x

1
= (x
2
, , x
n
) ∈ Π
1
= {x

1
: 0 < x
i
< l
i
; i = 2, , n} và giả sử u(x) = 0
với x /∈ Ω.
Bình phương hai vế của (1.1.5), lấy tích phân trên Π và áp dụng bất đẳng
thức Cauchy ở vế phải ta được:

Π
u
2
(x)dx =

l

1
0
dx
1

Π
1

x
1

l
1
0

∂u
∂y
1

2
dy
1

dx

1
=
l
2
1

˚
W
1
2
(Ω)
||u||
2,Ω
≤ c|Ω|
1/n
||u
x
||
2,Ω
. (1.1.6)
1.1.3 Các tính chất cơ bản
Định lý 1.1.1. [8] (Định lý F-Rellich): Giả sử rằng Ω là miền bị chặn. Khi đó
một tập bị chặn trong
˚
W
1
2
(Ω) là tiền compact trong L
2
(Ω).
Định lý này thường được phát biểu:
˚
W
1
2
(Ω) được nhúng compact trong L

2,Ω
tương ứng.
Ta phân tích Π thành các hình hộp cơ bản ω
i
với cạnh l
k
/N (k = 1, 2, . . . , n)
và các mặt song song với mặt phẳng tọa độ.
Áp dụng bất đẳng thức Poincare với hàm tùy ý u(x) trong W
1
2
(ω
i
):

ω
i
u
2
dx ≤
1
|ω
i
|


ω
i
udx


2
dx ≤
N
n

i=1
1
|ω
i
|


ω
i
udx

2
+
n
2N
2

Ω
n

k=1
l
2
k
u

||u
(p)
− u
(q)
||
2
2,Ω
=
N
n

i=1
1
|ω
i
|


ω
i
(u
(p)
− u
(q)
)dx

2
+
n
2N

L
2
(Π). Hay ||u
(p)
− u
(q)
||
2
2,Ω
tiến về 0 khi p, q tiến về 0.
Do vậy

u
(m)

hội tụ trong L
2
(Π). Định lý được chứng minh.
Công thức tích phân từng phần trong lý thuyết bài toán biên đúng với các
phần tử của
˚
W
1
2
(Ω), với mọi u(x) ∈
˚
W
1
2
(Ω) và mọi v(x) ∈ W

thể được xấp xỉ bởi các hàm

w
(m)

(m = 1, 2, ) trong
˙
C
∞
(Ω) theo hướng sau:
w
(m)
→ w trong L
1
(Ω) và ∂w
(m)
/∂x
i
→ ∂w/∂x
i
trong L
1
(Ω). (1.1.11) đúng với
w
(m)
do vậy nếu ta lấy giới hạn khi m → ∞ ta được (1.1.11) với w.
Nếu w ∈ L
1
(Ω) triệt tiêu ở gần ∂Ω và có đạo hàm ∂w/∂x
i

/∂x
i
hội tụ về u và ∂u/∂x
i
theo chuẩn của L
2
(Ω), thì (1.1.10) đúng
với u và v với bất kì giá trị của i. Hàm w
(m)
= u
(m)
v trong L
1
(Ω), triệt tiêu ở gần
∂Ω và có đạo hàm suy rộng ∂w
(m)
/∂x
i
= u
(m)
∂v/∂x
i
+ ∂u
(m)
/∂x
i
v trong L
1
(Ω),
do vậy (1.1.11) đúng với w

l
|


Π
l
udx

2
+
n
2

Π
l
n

k=1
l
2
k
u
2
x
k
dx, (1.1.7’)
với Π
l
= {x : 0 < x
i

u
2
dy ≤


Π
1
udy

2
+
n
2

Π
1
u
2
y
dy, (1.1.7”)
với hàm u(y) = u(l
1
y
1
, , l
n
y
n
) trong khối lập phương Π
1

= (y

1
, y

2
, , y
n
), , y
(n)
= y

. Theo Định lý
Newton-Laibnit
u(y

) − u(y) =

y
(1)
y
u
τ
1
(τ
1
, y
2
, y
n

τ
n
(y

1
, y

2
, τ
n
)dτ
n
. (1.1.7”’)
Bình phương hai vế của bất đẳng thức này và áp dụng bất đẳng thức Cauchy
cho vế phải ta được:
u
2
(y

) − 2u(y

)u(y) + u
2
(y) ≤ n


1
0
u
2



Π
l
u(y)dy

2
≤ n

Π
l
n

k=1
u
2
y
k
dy.
Bất đẳng thức này trùng với (1.1.7”).
Ta trở lại với không gian W
1
2
(Ω) cho các miền Ω khác nhau. Ta bắt đầu với
trường hợp đơn giản nhất, khi Ω là hình hộp Π
l
= {x : 0 < x
i
< l
i

1
2
(Ω) đến một số miền

Ω ⊃ Ω (xem §5,
chương I và công thức (5.3), (5.4) [8]) với m = 2 và Ω = Π
l
. Sau đó tương tự như
phần mở rộng hình Π
l
⊃ Ω. Từ đó và từ phép nhúng của W
1
2
(Π
l
) trong L
2
(Π
l
)
sau đó nhúng compact W
1
2
(Ω) trong L
2
(Ω). Hơn nữa thấy rằng đây là tính chất
vẫn được giữ lại cho miền Ω như vậy Ω được biểu diễn dưới dạng

N
i=1

1
2
(Ω) là tiền compact trong L
2
(Ω).
Ta trở lại với các câu hỏi của vết của các phần tử u(x) trong W
1
2
(Ω) trên
mặt ngoài của thứ nguyên n − 1 đầu tiên ta xét với một hàm trơn u(x) trong
W
1
2
(Ω) và một tập Γ là miền trên siêu phẳng. Để thuận tiện giả sử Γ là miền
của x

1
= (x
2
, , x
n
) nằm trên mặt phẳng x
1
= 0, và giả sử hình trụ Q
δ
=
Q
δ
(Γ) = {x : 0 < x
1

Nếu bình phương (1.1.13), lấy tích phân trên Γ và áp dụng Bất đẳng thức Cauchy
thì ta thu được:


u(x
1
, x

1
) − u(0, x

1
)


2
2,Γ
=

Γ


x
1
0
∂u
∂τ
dτ

2

Γ
u
2
(0, x

1
)dx

1
=
1
δ

Q
δ
(Γ)

−u(x) +

x
1
0
∂u
∂τ
dτ

2
dx

2


2
δ

Q
δ
(Γ)
u
2
dx +
2
δ

Γ
dx

1

δ
0
x
1

τ
0

∂u
∂τ

2

u
(m)
(x)

chúng hội tụ
đến u(x) trong L
2
(Q
δ
) và thấy rằng u
(m)
x
1
cũng hội tụ đến u
x
1
trong L
2
(Q
δ
). Từ
đây và từ (1.1.15) thấy rằng u
(m)
(0, .) hội tụ ở trong L
2
(Γ). Nó được xét tự nhiên
các hàm xác định trên Γ như là giới hạn của u
(m)
(0, .) trong L
2

(Γ) nó phụ thuộc liên tục trên các tham số x
1
∈ [0, δ]. Do vậy ta
có chứng minh định lý sau:
Định lý 1.1.3. [8] Với mỗi hàm u ∈ L
2
(Q
δ
) với u
x
1
∈ L
2
(Q
δ
) tồn tại một vết cùng
một phần tử của L
2
(Γ), trên mặt cắt của Q
δ
bởi mặt phẳng x
1
= x
0
1
, x
0
1
∈ [0, δ] và
vết tùy thuộc vào sự liên tục trên x

bởi
mặt phẳng x
1
= x
0
1
, giới hạn của dãy

u
(m)
(x
0
1
, x

1
)

trong chuẩn của L
2
(Γ).
Chú ý 1.1.1. Dễ thấy các vết của phần tử u(x) của W
1
2
(Ω), định nghĩa trên Γ
12
cùng một phần tử của L
2
(Γ), không phụ thuộc vào cách chọn thứ tự của các hàm
trơn

(m)

theo chuẩn của
W
1
2
(Ω) ta có thể chọn một dãy con hội tụ đều trong L
2
(Ω) với điểm x
0
1
∈ [0, δ].
Sự thật ||u
(m)
||
(1)
(2,Ω)
≤ c. Theo định lý 1.1.2 dãy

u
(m)

là tiền compact trong
L
2
(Q
δ
(Γ)).
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng dãy


δ
(Γ)
≤

2
, ∀p, q, ta có thể tìm
thấy N

như vậy ∀p, q ≥ N

, đầu tiên ta sẽ được với /2 cùng một cách nói
||u
(p)
− u
(q)
||
2
2,Γ
≤ , ∀p, q ≥ N

.
Ta có ||u
(p)
(x
1
, .)−u
(q)
(x
1
, .)||

Nếu Q
δ
= {x : x
1
∈ (0, δ), x

1
∈ Γ} thì ta chỉ rõ W
1
2,0
(Q
δ
) là không gian đóng
của W
1
2
(Q
δ
) với một tập các hàm khả vi vô hạn.
Ta có thể xác định chúng không giao nhau trên bề mặt S
δ
= {x : x
1
∈ (0, δ), x

1
∈ ∂Γ}
của hình trụ Q
δ
(thấy rõ ràng như sau W

), Q
δ
=

x : x
1
∈ (0, δ), x

1
∈

Γ

với mọi

Γ ⊃ Γ. Ở đây chuẩn trong W
1
2,0
(

Q
δ
) là ||u||
(1)
2,Q
δ
. Từ định lý (1.1.2), (1.1.4) ta có:
Hệ quả 1.1.1. [8] Cho phần tử của dãy

u

∈ [0, δ] (không hạn chế
trên miền Γ bị chặn).
Mọi kết quả ta thiết lập cho mặt phẳng Γ có thể chuyển được sang cho Γ là
miền siêu diện trơn, bao gồm một phần biên của Ω. Cho Γ là phép chiếu trên siêu
diện (không có giới hạn tổng quát, ta thấy đây là siêu phẳng x
1
= 0) trong miền
Γ
(1)
do vậy Γ có phương trình x
1
= f(x

1
), x

1
∈ Γ
(1)
, f ∈ C
1
(
Γ
(1)
) và để cho "đường
cong hình trụ" Q
δ
(Γ) =

x : f(x

(

Q
δ
). Ở đây

Q
δ
=

y : 0 < y
1
< δ, x

1
∈ Γ
(1)

do vậy nó sẽ thỏa mãn (1.1.14), (1.1.15) trong điều kiện của tọa độ y.
Nếu ta trở lại với bất đẳng thức:

Γ
[u(x + le
1
) − u(x)]
2
ds  cl

Q
l

của f (x

1
) trong (1.1.16) và (1.1.17) sự tịnh tiến của Γ và của Argument của u(x)
được thực hiện theo các trục x
1
. Điều này có thể thực hiện dọc theo các phần
mà không phải là tịnh tiến của Γ nếu thay cho x tọa độ y biên khác với biên
Jacobiou |∂y/∂x| và |∂x/∂y| .
Ví dụ ta có thể giả định (1.1.16) rằng e
1
là một vecto chuẩn của Γ với điểm
x và thấy rằng Q
l
(Γ) là một đường cong hình trụ hình thành bởi các phân đoạn
của chuẩn, của độ dài l xuất phát từ một điểm của Γ.
14
Nếu u ∈ W
1
2
(Ω), và trên ∂Ω của nó (hay một phần Γ đã nói) là một phần đa
diện trơn, lúc đó nếu ta giữ trong bất đẳng thức dạng (1.1.16) và (1.1.17) với
u(x) thì ta sẽ nói rằng giá trị biên của nó (hay là vết của nó) trên ∂Ω trên Γ cho
ta một phần tử của L
2
(∂Ω) [L
2
(Γ)] và thấy rằng chúng là có nghĩa ở "trong hình
vuông".
Điều này xảy ra nếu Ω có từng mảnh biên trơn, ∂Ω, nghĩa là nó có thể bao

2,Ω
δ
+ δ||u||
2
2,Ω
δ

. (1.1.19)
Trong đó Ω
δ
là tập hợp các điểm của Ω có khoảng cách tới ∂Ω không vượt
quá δ (một tập như vậy được gọi là giải biên có chiều rộng δ) trong đó δ là một
số đủ nhỏ, ở đây n là pháp tuyến của ∂Ω đã được thiết lập từ Định lý 1.1.3
Định lý 1.1.5. [8] Với mỗi phần tử u(x) ∈ W
1
2
(Ω) vết được định nghĩa trên miền
Γ của đa diện trơn trong Ω cùng với các phần tử của L
2
(Γ) và chúng phụ thuộc
liên tục (cùng các phần tử của L
2
(Γ)) trên một sự thay thế của Γ với các vết ta
có bất đẳng thức của dạng (1.1.16), (1.1.17). Nếu ∂Ω (hoặc một phần tử của Γ)
là một phần tử của L
2
(∂Ω) (hoặc L
2
(Γ)) ta có bất đẳng thức (1.1.18), (1.1.19),
(1.1.16), (1.1.17) với các vết.

i
)) là compact.
15
Chú ý 1.1.2. Mỗi phần tử u(x) của
˚
W
1
2
(Ω) biên trơn trên Ω không có vai trò
trong cách lấy đạo hàm của bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17), mỗi hàm có thể mở
rộng đến 0 bên ngoài Ω và xem xét như là các phần tử của
˚
W
1
2
(K), trong đó K là
quả cầu chứa Ω, bởi vì tập hợp các phần tử

u
(m)

của
˚
W
1
2
(Ω) đã được mở rộng
đến 0 ở bên ngoài Ω sẽ compact trong L
2
(Γ). Ở đây Γ là một số giao điểm mịn

2
(Q
l
(Γ)) thì (1.1.20) đúng với mọi u(x) trong
˚
W
1
2
(Ω).
Rõ ràng

Γ
u
2
(x − ln)ds → 0 khi l → 0.
Trở lại với công thức:

Ω
∂u
∂x
i
vdx = −

Ω
u
∂v
∂x
i
vdx +


(m)

trong Ω
và viết (1.1.21) cho u
(m)
, v
(m)
lấy giới hạn khi m → ∞. Ta chú ý

W
1
2
(Ω) = W
1
2
(Ω)
với ∂Ω trơn. Công thức (1.1.21) đúng hàm u, v trơn với miền Ω với Ω = Ω
1

Ω
2
.
Trong đó miền Ω
i
có biên trơn, ngay cả khi Ω
1
và Ω
2
có thể cắt nhau. Để chứng
minh điều này ta chú ý (1.1.21) đúng cho phần giao Ω

thuộc vào ∂Ω thì hủy bỏ. Do vậy (1.1.21) đúng với Ω có thể bao phủ không chỉ
bởi hai mà còn bởi một số hữu hạn miền Ω
i
⊂ Ω với các biên trơn. Đối với các
miền (1.1.21) đúng không chỉ với các hàm u, v trơn mà còn đúng ∀u, v ∈ W
1
2
(Ω),
có thể lặp lại việc kiểm tra bằng cách xấp xỉ u, v theo chuẩn của W
1
2
(Ω
i
) bởi các
hàm trơn. Thay vì xét Ω
i
với các biên trơn ta có thể xét các loại khác của khối
đa diện.
Ta trở lại với (1.1.21) cho miền hình trụ Ω = {x : 0 < x
1
< l
1
, x

1
∈ Γ}. Trong
đó Γ là miền (n − 1) chiều trên mặt phẳng x
1
= 0 và u, v ∈ L
2

(m)
x
1
hội tụ tương ứng trong L
2
(Ω)
đến u, v, u
x
1
, v
x
1
. Ta phải giữ lại (1.1.21) với i = 1 cho u
(m)
, v
(m)
khi m → ∞
theo sự suy xét ở trên. Quá trình lấy giới hạn có thể hợp lý cho mỗi trường hợp.
Do vậy ta có (1.1.21) cho u, v. Thật vậy:

Ω
∂u
∂x
i
vdx = −

Ω
u
∂v
∂x

(Ω) và với miềm Ω biên trơn từng khúc. Để
chứng minh ta phải bao ∂Ω bởi một số miền hữu hạn Γ
i
và dựng hình trụ cong
Ω
δ
(Γ) giống cách trong (1.1.17) thì với Q
δ
(Γ) ta phải kiểm tra tính hợp lệ của
bất đẳng thức trong (1.1.17) với chuẩn L
1
để thế cho L
2
, chính xác hơn:
||u||
1,Γ
i
 c

1
δ
||u||
1,Q
δ
(Γ
i
)
+ ||u
x
||

| + v
2
)dx
 c
1

Ω


c
1
v
2
x
+

c
1
4
+ 1

v
2

dx ≡

Ω

v
2

i
u

+ b
i
u
x
i
+ au = f +
∂f
i
∂x
i
, (1.2.1)
u|
S
= 0. (1.2.2)
Giả sử (1.2.1) là phương trình elliptic và các hệ số là các hàm bị chặn, đo
được, nghĩa là:
νξ
2
 a
ij
ξ
i
ξ
j
 µξ
2
, ν, µ = const > 0, a




n

i=1
(a
i
− b
i
)
2
 µ
2
, µ
3
 a(x)  µ
4
. (1.2.4)
Giả sử các hàm f và f
i
trong (1.2.1) khả tổng bình phương trong Ω, nghĩa
là:
||f||
2,Ω
< ∞, ||f ||
2,Ω
≡



Ω

a
ij
u
x
i
η
x
j
+ a
i
uη
x
i
− b
i
u
x
i
η − auη

=

Ω
(−fη + f
i
η
x
i

i
u)
x
i
η và (f
i
)
x
i
η. Nếu
hệ số a
ij
, a
j
có đạo hàm suy rộng cấp một bị chặn, nếu f
i
có đạo hàm suy rộng
∂f
i
/∂x
i
trong L
2
(Ω) và nếu u ∈ W
1
2
(Ω)

W
2

˙
C
∞
(Ω), và (1.2.1) được
suy ra từ (1.2.6’) với hầu hết x thuộc Ω, vì Lu − f − ∂f
i
/∂x
i
∈ L
2
(Ω

), ∀ Ω

⊂ Ω
và
˙
C
∞
(Ω

) trù mật trong L
2
(Ω

).
Từ cách xác định trực tiếp và cách xác định ngược lại ngược ta thấy: với
a
ij
, a

2
(Ω).
19
Tính chất 1.2.1. Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất cho nghiệm suy rộng của bài
toán (1.2.1) trong W
1
2
(Ω).
(ν − 
1
− 
3
)||u
x
||
2

1
4
2
||f||
2
+
1
4
3
||f ||
2
+


x
j
+ (a
i
− b
i
)u
x
i
u − au
2
]dx
≥

Ω
[vu
2
x
− µ
4
u
2
]dx − µ
2
||u||.||u
x
||
≥ (ν − 
1
)||u

2
− (µ
4
+
µ
2
2
4
1
)||u||
2
. (1.2.8)
Theo bất đẳng thức (1.1.3) trong phần 1.1, ta thấy vế phải của (1.2.7) không
nhỏ hơn biểu thức [(ν − 
1
)c
−2
Ω
− µ
4
− µ
2
2
/(4
1
)]||u||
2
, ∀
1
∈ (0, ν]. Do vậy:

> 0 sử dụng (1.2.8), (1.2.9) ta có thể chặn ||u
x
||
2
trong các số hạng
của L(u, u) ta đươc:
ν
2
||u
x
||
2
 L(u, u)

1 + δ
−1
1
max

0; µ
4
+
µ
2
2
2ν

tương đương
δ
2

2
(Ω) thì
theo (1.2.6) ta có u(x) thỏa mãn
L(u, u) = −(f, u) + (f
i
, u
x
i
)  ||f||.||u|| + ||f ||.||u
x
||
 
2
||u||
2
+
1
4
2
||f||
2
+ 
3
||u
x
||
2
+
1
4

+

µ
4
+
µ
2
2
4
1
+ 
2

||u||
2
, (1.2.14)
với mọi 
i
> 0, i = 1, 2, 3.
Với 
1
+ 
2
< ν cho ta tính bị chặn của ||u
x
|| theo ||u||, ||f||, ||f ||.
Chú ý 1.2.1. Đăc biệt 
1
= 
3


||u||
2
, (1.2.15)
với mọi 
2
> 0.
Các bất đẳng thức (1.2.14), (1.2.15) cho phép ta tìm được một giới hạn của
chuẩn ||u
x
|| cho nghiệm u(x) của bài toán (1.2.1), (1.2.2).
Định lý 1.2.1. [8] Bài toán (1.2.1), (1.2.2) không thể có nhiều hơn một nghiệm
suy rộng trong W
1
2
(Ω) nếu (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn và nếu δ
1
> 0.
Chứng minh. Nếu δ
1
> 0 ta có bất đẳng thức (1.2.9), (1.2.11) với δ
i
> 0, i = 1, 2.
Áp dụng vào (1.2.13) và (1.1.3) với (1.2.11) ta có:
δ
2
||u
x
||
2

2
Ω
= δ
2
/4, ta có
||u
x
||
2

2
δ
2
2
[c
2
2
||f||
2
+ ||f ||
2
]. (1.2.17)
Từ đây ta thấy f = f = 0, nghiệm u(x) = 0, và do đó bài toán (1.2.1), (1.2.2)
không thể có nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) khi δ
1
> 0. Nếu có
u

∂f
i
∂x
i
với λ đủ lớn. Điều kiện đủ được xác định bởi điều kiện δ
1
> 0, trong đó δ
1
được
xác định bởi (1.2.10).
1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian
W
1
2
(Ω). Ba định lý Fredholm
Ta sẽ chỉ ra bài toán (1.2.1), (1.2.2) là giải được Fredholm trong không gian
W
1
2
(Ω).
Ta đưa vào
˚
W
1
2
(Ω) tích vô hướng mới:
[u, v] =

Ω
a

22
Trong đó
l(u, η) ≡

Ω
(a
i
uη
x
i
− b
i
u
x
i
η − auη)dx, (1.3.3)
theo giả thiết (1.2.4)
|l(u, η)|  µ
1
||u||.||η
x
|| + µ
1
||u
x
||.||η|| + max(|µ
3
|, |µ
4
|)||u||.||η||

với chuẩn không vượt quá c trong (1.3.4). Tổng −(f, η) + (f
i
, η
x
i
) cũng xác định
một hàm tuyến tính trong
˚
W
1
2
(Ω) theo η, và theo định lý Riesz tồn tại duy nhất
phần tử F ∈
˚
W
1
2
(Ω) sao cho:
−(f, η) + (f
i
, η
x
i
) = [F, η], (1.3.6)
với mọi η ∈
˚
W
1
2
(Ω). Theo (1.3.5) và (1.3.6) đẳng thức (1.3.2) tương đương với