Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
I ) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm
của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính
toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà
khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu .
Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó .
Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan
hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phương trình . Việc
tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó
khăn vì phương trình đang chứa tham số . Trong trường hợp đó hệ thức Vi
– ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi
cuối cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong
nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào
các trường chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp
thêm 1 số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các
bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
II ) NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0 ) có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
,x x
thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S =
1 2

Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
các nghiệm số là
1 2
1,
c
x x
a
= − = −
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2
nghiệm của phương trình bậc hai :
2
0x Sx P
− + =
B ) BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ BÀI TẬP PHÁT TRIỂN , NÂNG CAO
1, Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương
trình
Bài tập 1:
Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
2
13 40 0x x
− + =
b)
2
5 7 1 0x x
+ + =
c)
2
3 5 1 0x x

= = >
nên 2 nghiệm cùng dấu
S =
1 2
7
0
5
b
x x
a
− −
+ = = <
nên 2 nghiệm cùng dấu âm
c) P =
1 2
1
. 0
3
c
x x
a
−
= = <
nên 2 nghiệm trái dấu
S =
1 2
5
0
3
b

và
2
x
trái dấu
S =
1 2
10x x+ =
nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3
(Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000)
Cho phương trình
2 2
( 1) 2 0x m x m m− − − + − =
(1) (với m là tham số)
a) Giải phương trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu
∀
m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x
1
, x
2

Tìm m để biểu thức
3 3
1 2
2 1
x x
A
x x

2 2 2 2
1 1 3 1 3
2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1
2 4 4 2 4
ac m m m m m m m
 
= − + − = − − + = − − + + = − − +
 
 
3
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
Có
2 2
1 1 3 3 3
0 1 1 1 0
2 2 4 4 4
m m P P m
   
− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤− ⇒ < ∀
 ÷  ÷
   
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
m∀
c, Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x
1
, x
2

Từ kết quả phần b có x
1

1
1
( )
x
x a
⇒ =
−
Có A = -a +
1
a−
mang giá trị âm
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
Có – A = a +
2
1 1a
a a
+
=

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và
1
a
( vì a > 0 và
1
0
a
>
)
Ta có:
1 1

2 1 0
2 1 0
( 1) 0
1
A a
a
a
a
a a a
a a
a a
a
a
=− ⇔− + =−
−
⇔− − =−
⇔− − =−
⇔− + − =
⇔ − + =
⇔ − =
⇔ =
( thoả mãn điều kiện a > 0 )
• Với a = 1 thì
3
1 1
1 2
2 2
( ) 1 1
x x
x x

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x
1
và x
2
tìm giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0

2 2
2
2
2 ( 2)
1 7
( )
4 4
1 7 7
( ) 0
2 4 4
c m m m m
m m
m
=− + − =− − +
=− − + +
−
=− − − ≤ <

 
= − + = − + +
 ÷
 

2
2 11 11
3( )
3 3 3
m
= − + ≥
Vậy Min
( )
2 2
1 2
11
3
x x
+ =
khi m =
2
3

Bài tập 5:
Cho phương trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
− + − + =
Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm
có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia .
6
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
+ = + −
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)
Xét phương trình :
4 2 2
2( 2) 5 3 0x m m− + + + =
(1) với m là tham số
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4
nghiệm phân biệt
2) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Hãy tính theo m
giá trị của biểu thức M =
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + +
Giải :
1) Đặt x
2
= y ( ĐK : y
≥
0 ) Pt (1) trở thành

2 2 2 2
1 1 3 3
( ) 0 ( )
2 2 4 4
m m
− ≥ ⇒ − + ≥
nên
,
0
∆ ≥

Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi – ét có
2
2
1 2
2( 2)
2( 2)
1
b m
S y y m
a
− +
= + = = = +
2
1 2
. 5 3
c
P y y m
a

S y y m
a
−
= + = = +
.
Vì
2 2 2
0 2 2 2( 2) 4m m m
≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥
nên S > 0
1 2
,y y
⇒
cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y
≥
0)
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phương
trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có
1 2 3 4
, , , 0x x x x ≠

và
1 1 2 1
,x y x y
= =−3 2 4 2
,x y x y

= +
+
=
+
=
Thay kết quả S và P vào M ta được
2 2
2 2
2.2( 2) 4( 2)
5 3 5 3
m m
M
m m
+ +
= =
+ +
Kết luận:
2
2
4( 2)
5 3
m
M
m
+
=
+
Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ)
Cho phương trình
2

2 1
m m
m m m
= + −
= + + −

2
2
1
1 1 3
2. .
2 4 4
m m
m m
= + +
= + + +
2
1 3
( )
2 4
m
= + +
Vì
2
1
( ) 0
2
m
+ ≥
nên

+ = = +
P =
1 2
.
c
x x m
a
= =
Vì P = m > 0 nên
2 2
, 0x x
≠
biểu thức A được xác định với mọi giá trị
1 2
,x x
1 2
,x x
tính theo m
9
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
2 2 3( ) 6
.
x x x x x x x x
A
x x
+ + − − + +
=

m
m
+ +
= = = +
= +
Theo bất dẳng thức Cô Si vì
1 1
( ) : 2 .m m
m m
+ ≥
( do m > 0và
1
0
m
>
)
1
2. 1
1
2
1
4( ) 8
m
m
m
m
m
m
⇔ + ≥
⇔ + ≥

1 2 1 2
4x x x x
+ − =

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình
có nghiệm số hữu tỉ
Giải
a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm
0
0
m
≠


∆ ≥

Xét
2
(2 1) 4 ( 2)m m m
∆= − − −

2 2
4 4 1 4 8
4 1
1
0 4 1 0
4
m m m m
m
m m

2 2
1 2 1 2
A x x x x
= + −

2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
( ) 2
( ) 3
x x x x x x
x x x x
= + − −
= + −
Áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK
0
1
4
m
m
≠


 −
≥


)


Có a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m
1
= 1 ( thoả mãn điều kiện m
0
≠
và m
1
4
−
≥
)
m
2
=
1
3
−
( không thoả mãn điều kiện m
0≠
và m
1
4
−
≥
)
Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2

n n n n n n n
− + ∆ − + + + − − + +
= = =
+ +
− − − + −
= = = =
+ + +
2
2
2
1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1
2 2 ( 1) 2 ( 1)
2 4 2 ( 2) 2
2 ( 1) 2 ( 1) 1
n n n n n n n
x
m n n n n
n n n n n
n n n n n
− − ∆ − + − − − − − −
= = =
+ +
− − − + +
= = = −
+ + +
12
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
Vì n
*
N∈

là phân số
Q∈
Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm
số hữu tỉ
3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết
a) x + y = 11 và xy = 28
b) x – y = 5 và xy = 66
Giải :
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của
phương trình x
2
- 11x + 28 = 0
2
4b ac
∆ = −
= 121 – 112 = 9 > 0
3
∆ =
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
1 2
11 3 11 3
7;
2 2
x x
+ −
= = =
= 4
Vậy x = 7 thì y = 4
x = 4 thì y = 7

Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x
2
+ y
2
= 25 và xy = 12
Giải :
13
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
Ta có x
2
+ y
2
= 25 <=> (x + y )
2
- 2xy = 25 <=> (x + y )
2
- 2.12 = 25
(x + y )
2
= 49 <=> x +y =
±
7
* Trường hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x
2
- 7x +12 = 0
2
4b ac
∆ = −
= 49 – 4.12 = 1

3 3 3x x
M
x x x x
+ −
=
+
b) Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ?
Giải
a)
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 ( ) 2 1
3( 1)
( ) ( )
x x x x
x x
M
x x x x x x x x
 
+ − −
+ −
 
= =
+ +
Theo hệ thức Vi ét có
1 2 1 2
; . 1S x x a P x x a

)
b) Ta có
1 2
S x x a
= + =
(1)

1 2
. 1P x x a
= = −
(2)
14
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có
1 2 1 2
1x x x x+ − =
, đây là biểu thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào a
C) CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 1 : Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) x
2
- 6x +8 = 0
b) 11 x
2
+13x -24 =0
c) 2 x

đ)
Cho phương trình x
2
- mx +1 = 0 ( m là tham số )
a) Giải phương trình trên khi m = 5
b) Với m =
5
, giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là
1 2
,x x

Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức
15
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9

2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3x x x x
A
x x x x
+ +
=
+
Hướng dẫn giải:
a) Với m = 5 phương trình trở thành x
2
-5x +1 = 0
∆

1 2 1 2
3 5 3x x x x
A
x x x x
+ +
=
+

2 2
1 1 2 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
3( 2 )
( 2 ) 2
3( )
( ) 2
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + −
=
 
+ + −
 
+ −

, 2 2
( 1) (2 3 1) 0m m m∆ = − − − + ≥

2
0 ( 1) 0 0m m m m m
⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥
hoặc
1 0m
− ≤

0 1m
⇔ ≤ ≤
16
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
c) Khi m
≥
1 , theo hệ thức Vi ét có
1 2
2
1 2
2( 1)
. 2 3 1
S x x m
P x x m m
= + = −
= = − +
2 2
1 2 1 2
. 2( 1) 2 3 1 2 1Q x x x x m m m m m
⇒ = + + = − + − + = − −

 
Vì
2 2 2
1 1 9 1 9 9
2( ) 0 2( ) 0 2( )
4 4 8 4 8 8
m m m Q
− ≥ ⇔− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤
Bài tập 7 : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dương 2003 – 2004 ) (1đ)
Cho phương trình :
2
2 5 1 0x x
− + =
Tính
1 2 2 1
x x x x
+
(Với x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình)
Hướng dẫn giải:
Theo định lý Vi ét ta có
1 2 1 2 1 2
5 1 1
;
2 2
2
x x x x x x

có 2 nghiệm phân
17
Đề tài: Áp dụng hệ thức Vi – et trong giải toán lớp 9
biệt
b) Gọi 2 nghiệm là x
1
, x
2
, Tìm GTNN của biểu thức

1 2 1 2
2 4A x x x x
= + + −
Hướng dẫn giải:
a)
, 2 2 2
2( 2) 4m m m
∆ = − − = − +
Phương trình có 2 nghiệm

2
2
0
0
4
2 2
m
m
m
⇔∆≥

= + − = − + + =− − + ≤
Vậy GTNN của A là
25
4
khi và chỉ khi m = 2
Bài tập 9 : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT năng khiếu Trần Phú)
(2,5đ)
1) Chứng tỏ rằng phương trình
2
4 1 0x x
− + =
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là
2
1
x
và
2
2
x
2) Tìm mđể phương trình
2
2 2 3 0x mx m− + − =
có hai nghiệm cùng dấu .Khi
đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ?
Hướng dẫn giải:
1)

m
m m
m
x x m
m

− + ≥

∆ = − + ≥

⇔ ⇔ ⇔ >
 
= − >
≥



Khi đó
1 2
2 0x x m
+ = >
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương
Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006)
Xét phương trình
2
(2 1) 2 0mx m x m
+ − + − =
vói m là tham số
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là x
1

1) SGK và sách giáo viên lớp 9 cải cách
2) Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9 của Bùi Văn Tuyên
3) Báo toán học và tuổi thơ 2 của Bộ Giáo Dục
4) Các đề thi TS và thi chuyên chọn hàng năm của các tỉnh trên toàn
quốc
5) Bài tập nâng cao Đại số 9 của Vũ Hữu Bình
20
ti: p dng h thc Vi et trong gii toỏn lp 9
Xác nhận của tổ chuyên môn :
Hạ Long, ngày tháng năm
Tổ trởng
Xác nhận của trờng THPT Hòn Gai :
Hạ Long, ngày tháng năm
21