Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 16/1/2012
Buổi 1
Đề khảo sát

Cõu 1: a, cho A = 4 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ …

+ 2
20

Hỏi A có chia hết cho 128 không?
b, Tính giá trị biểu thức
104.2
65.213.2
10
1212
+
+
49
1010
2.3
5.311.3 +
Bài 2 : a, Cho A = 3 + 3
2

10
12
+
16.3
16.3
9
10
= 3 + 3 = 6
0.5
0.5
0.5
0.5
2 a, Tìm được n = 2010
b, Gọi số phải tìm là
abc
theo bài ra ta có a + b +
1
0.5

1
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

c

9 và
2b = a + c nên 3b

9
⇒
b

⇒
p + 8 là hợp số
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a
≤
b) ta có (a,b) = 1 nên
a = 6a
/
b= 6b
/
trong đó (a
/
,b
/
) = 1 ( a,b,a
/
,b
/
∈
N)
⇒
a
/
+ b
/
= 14

0.5
0.5
0.5

2
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 23/1/ 2012
Buổi 2:
Ôn tập số hữu tỉ số thực
Phần 1: Lý thuyết
1. Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ
Với x=
a
m
, y=
b
m
( a,b,m
∈
Z m
0
≠
)
a b a b
x y
m m m
a b a b
x y
m m m

Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y
Q∈
Ta có

x y x y+ ≤ +
( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y
0≥
)

x y− ≥
x y−
( // … // )
Phần II: Bài tập vận dụng
Bài 1. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +

3
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp71 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
12 5 12 4 10 3 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9

0 => x
≥
- 2.
+ Nếu x
≥
-
2
3
thì
2x3x2 +=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2
≤
x < -
2
3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2

4
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

=> x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x −+−

x x
+ +
− − − =
- GV: Hướng dẫn giải a,

( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2
3,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2
3
x
x
x
x

x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

5
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7( )
( )
( )
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x
x

2,06 0,54 2 3
7 1 23
(5 2 0,5) : 2
8 4 26
A
B
+ −
= − +
+
= − −
a, Rút gọn A và B
b, Tìm x
Z∈
để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=
2002 2001x x− + −

6
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 2 /2/2012
Buổi 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

CI.Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x
Q∈
Ta có
 x neỏu x ≥ 0

hoặc x=
1
2
−
HS tính giá trị trong 2 trường hợp +/ Với x=
1
2
thì A=
3
4
+/ Với x=
1
2
−
thì A=
11
4
b, B=
3 2
6 3 2 4x x x− + +
với x= -2/ 3
c, C=
2 3x y−
với x=1/2 và y=-3
d, D=
2 2 3 1x x− − −
với x=4
e, E=
2
5 7 1

2
1
≤⇔ x

7
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=
3
8
(loại do không thoả mãn điều kiện x
2
1
≤
)
Trường hợp 2:
x – 7 = 2x -1
⇒
x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
b,
2 3 2x x x− − = −
c,
xxx 313 =+++
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày
Bài 3: Tìm x và y biết
a,
1
2 2 3
2
x − =

c, C=
4 3 5 7,5 17,5x y− + + +
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau, 5,5 2 1,5
, 10,2 3 14
, 4 5 2 3 12
a D x
b E x
c F x y
= − −
= − − −
= − − − +

`

8
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 10 /2/2012
Buổi 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x
Q∈
Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x = 

2
y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0;
d)
;0
11
=−
yx
d)
.01 =+
y
x
Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a;
e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|;
c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20.
Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu
=≤≥
,,
để các khẳng định sau đúng với mọi a
và b.


Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.

10
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 15 /10/ 2012
Buổi 5: Luỹ thừa của số hữu tỉ
A Lý thuyết
.
1, .
2, : ( 0, )
3,( )
4,( . ) .
5,( ) ( 0)
1
6,
m n m n
m n m n
m n m n
m m m
m
m
m
n
n
x x x
x x x x m n
x x
x y x y

n
có chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1, 5, 6
2)Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A
2k
có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1
3)Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A
4k
có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1, 1, 6
*Áp dụng:
VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
19
2008
; 12
100
;

12
103

Lời giải:
a) 19
2008
=19
2.1004
=(19
2
)
1004
=361
1004


12
103
=12
3
. 12
102
có tận cùng là 8.

11
Giỏo ỏn : Bi dng hc sinh gii lp7

VD2: Tỡm ch s tn cựng ca lu tha sau:
17
2007
, 19
21
; 13
1003
Li gii:
Ta s tỡm cỏch liờn h cỏc lu tha trờn vi lu tha dng A
2k
, A
4k
vn dng
cỏc ý trong nhn xột trờn õy.
Tht vy, 17
2007
=17. 17
2006

13
1003
=13
3
. 13
4.250
suy ra 13
1001
cú tn cựng l 7.
VD3: Chng minh rng 33
66
+77
55
2 chia ht cho 5
Li gii:
Ta chng minh 33
66
+77
55
-2 cú tn cựng l 0 sau ú vn dng du hiu chia ht cho 5
Tht vy, 33
66
cú cựng ch s tn cựng vi 3
66
, m 3
66
=9
33
=9.9
2.16

100
d) 5
100
; e) 6
100
; f) 7
100
g) 8
100
; 9
100
Ta nhn thy cỏc lu tha 5
100
, 6
100
thuc v dng c bn trỡnh by trờn
nay cũn li cỏc lu tha m c s l 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9
2/Tỡm ch s tn cựng ca:
a) 7
1992
(HD: = 7
4
tn cựng bng 1)
b) 9
101
c) 24
100
d) 1945
1945
; e) 2

1997
= 1292
4. 499

+1
= (1292
4
)
499
.1292 =
21292.6 MA =
b) 3333
1997
= 3333
4. 499 +1
=(3333
4
)
499 +1
. 3333 =
)1(B
499
.3333 =
3D
c) 1234
1997
= 1234
4 .499 +1
= (1234
4

tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng của tổng là 4)
Các bài toán cụ thể : Hãy chứng minh
a) 1292
1997
+ 3333
1997


5
Theo bài toán trên ta có
1292
1997
=
2M
3333
1997
=
3D
như vậy tổng của hai số này sẽ có tận cùng là 5
⇒
1292
1997
+ 3333
1997


5
a) Chứng minh 1628
1997
+ 1292

-9
10
chia hết cho 45
c) 7
1000
-7
1000
chia hết 10
d) (2
10
+ 2
11
+2
12
) chia hết cho 7
e) 8
10
-8
9
-8
8
chia cho 45 là một số tự nhiên
Giải:
a) 43
43
= 43
4
)
10
.43

c) 7
1000
=(7
4
)
250
= ( 1)
250
= tận cùng bằng 1
3
1000
= (3
4
)
250
=( 1)
250
tận cùng bằng 1
Vậy hiệu tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
d) Đặt thừa số chung
e) Đặt thừa số chung
f) Chứng minh: 17
5
+24
4
-13
21
M
10
g) Chứng minh: 7

Ví dụ 1 : So sánh 16
19
và 8
25
- Cách giải : Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 nên ta
tìm cách đưa 16
19
và 8
25
về luỹ thừa cùng cơ số 2
- Giải : So sánh 16
19
và 8
25
Ta có :
16
19
= ( 2
4
)
19
= 2
4.19
= 2
76
8
25
= ( 2
3
)

= 2
3.100
= 8
100
3
200
= 3
2.100
= 9
100
Vì 8
100
< 9
100
nên 2
300
< 3
200
Ví dụ 3: So sánh 31
11
và 17
14
- Cách giải: Ta thấy bài toán này không dùng cách như ví dụ 1 và ví dụ 2 được, nên phải
tìm cách so sánh gián tiếp qua một số khác ( hoặc có thể thêm, bớt, vận dụng một số tích
chất khác )
- Giải: : So sánh 31
11
và 17
14
Ta có :

> 2
56
Mà 2
56
> 2
55
Nên 31
11
< 17
14
III. Các bài tập: So sánh hai số sau
a) 25
5
và 125
7
; 5
36
và 11
24
; 3
2n
và 2
3n
( n là số tự nhiên khác 0 )
b) 5
23
và 6.5
22
; 7.2
13

m
> a
n

( a >
1 )
Nếu a > b thì a
n
> b
n
( n >
0 )
Giỏo ỏn : Bi dng hc sinh gii lp7

Tính tổng: G= 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
2008
Lời giải:
3G = 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3

2009

Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:
Tính tổng:
G= a + a
2
+ a
3
+ a
4
++a
n
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Lời giải:
aG = a
2
+ a
3
+ a
4
+a
5
+ +a
n
(a-1)G = aG G = (a
2
+ a
3

Tính tổng
H =
200832
5
1

5
1
5
1
5
1
++++
Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt
a=
5
1
thì
H = a + a
2
+ a
3
+ a
4
++a
2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5.H =
200732
5

5
1
++++
)
= 1-
2008
5
1
=
2008
2008
5
15


H =
2008
2008
5.4
15
Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
H =
a
aaaa
1

111
32
++++

aaaa
1

111
32
++++
)
=1-
n
a
1
=
n
n
a
a 1


H =
n
n
aa
a
)1(
1


Từ kết quả của bài toán 3 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Bài toán 4:
a. Chứng minh rằng:


3
3
3
2
3
1
++++
<
4
3
Đây là một bài toán khó hơn với lời giải nh sau:
3K=
20072
3
2008

3
3
3
2
1 ++++
2K = 3K K = (
20072
3
2008

3
3
3


2K <
200732
3
1

3
1
3
1
3
1
1 +++++
( *)
Đặt: L =
200732
3
1

3
1
3
1
3
1
++++
Ta có: 3L=
20062
3
1

2007
3
1
1
< 1

16
Giỏo ỏn : Bi dng hc sinh gii lp7
L <
2
1
Từ (*) ta có: 2K< 1+L < 1+
2
1
=
2
3


I <
4
3
Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:
Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a

1 thì:
a.

5 3
,(3 ) (2 ) ( 5 )
1 1 1
,2 3.( ) ( ) .4 ( 2) : :8
2 2 2
1
,(4.2 ) : (2 . )
16
a
b
c


+ + GV : Yờu cu hc sinh lm v gi hc sinh lờn bng trỡnh by

Bi 2: Thc hin phộp tớnh :
a-
)
1
3
1
(:1
3
1
.3
3
1

23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2



















3






+
b,
675.4
15.1681.10
4
24

Gv: Hng dn hc sinh gii
a,
( )
4
8
0
15
12
6
.
3
1
.9.
3
1
15

−
=
238
224444
5.3.2
5.3.23.5.2 −
=
238
22224
5.3.2
)13.5(5.3.2 −
=….
=
3.2
124
4
=
3.2
7.2
4
5
=
3
2
4
3
14
=
Bài 4: a)Tính tổng A = 1+5+5
2

2B+B= 2
101
-2
3B = 2( 2
100
-1)
Suy ra B = 2(2
100
-1)/3
C, Bài tập về nhà
Bài 1: Tính tổng C = 3
100
- 3
99
+ 3
98
- 3
97
+…. +3
2
- 3 + 1
Bài 2: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x
2
+ x
4
+ x
6
+ x
8

.80
4
; c)
2 5
20
8 .4
2
; d)
11 17
10 15
81 .3
27 .9
.
Bài 3: Cho x ∈ Q và x ≠ 0. Hãy viết x
12
dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x
9
?
b) Luỹ thừa của x
4
?
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x
15
?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008
(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9)
;
b) B = (1000 - 1

+ 2
2
) – (19
2
+ 17
2
+ 15
2
+ … + 3
2
+ 1
2
);
c) P = (-1)
n
.(-1)
2n+1
.(-1)
n+1
.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)
3
= 27; b) x
2
+ x = 0; c) (2x + 1)
2
= 25; d) (2x – 3)
2
= 36;

x
x
x
x
x
+
+
−
−
−
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 99
20
và 9999
10
; b) 3
21
và 2
31
; c) 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10
.


– 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết
bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2.
Ngày dạy : 17/11 Buổi 7
Chuyên đề: biểu thức đại số ( tiết 1)
I. Mục tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :
- Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài toán
về dãy có quy luật
- Một số bài toán khác về biểu thức đại số
Kĩ năng : Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản. Biết vận
dụng vào các bài toán khác tương tự. Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng
quát hóa cho các bài toán

20
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến, không
nao núng khi làm bài
IIChuẩn bị:
GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các bài
tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan .
III.Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật
A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập áp dụng

50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1. ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
Bài 5: Cho
1
2
3
4
1 2,
3 4 5,
6 7 8 9,
10 11 12 13 14,

S
S
S
S
= +
= + +
= + + +
= + + + +
Tớnh
100
S
?
Hướng dẫn: Số số hạng của S
1
, , S
99
theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S

D E F
Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a)
2 3
1
n
S a a a a= + + + + +
, với (
2, a n N≥ ∈
)
b)
2 4 6 2
1
1
n
S a a a a= + + + + +
, với (
2, a n N≥ ∈
)
c)
3 5 2 1
2

n
S a a a a
+
= + + + +
, với (
*
2, a n N≥ ∈

( 1) 1
k
k
n n n n
 
= × −
 ÷
+ +
 
.
3)
1 1 1 1
( )n n k k n n k
 
= × −
 ÷
+ +
 
.
4)
1 1
( )
k
n n k n n k
 
= −
 ÷
+ +
 
.

, Nn k
∗
∈
,
1n
>
)
2. Bài tập
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tớnh tổng :
Lời giải :
Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn
chỳt xớu.
Bài 1 : Tớnh tổng :
Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :
Hơn nữa ta cú :
ta cú bài toỏn
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khú”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :

23
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

khụng phải là số nguyờn.
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a
1

2
; a
3
; ; a
44
; a
45
thỏa món a
1
< a
2
a
3
< < a
44
< a
45

và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài toán : Tính nhanh:
a)
2 3 4 7 8
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
A = + + + + + +L
.
b)
2 3 4 2007 2008
1 1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 4.5
b)
1 1 1 1
; ; ; ,
6 66 176 336
Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đó số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toỏn 4: Tính tổng:
a)
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
S = + + + +L
.
b)
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008
S = + + + +L
.

24
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

c)
1 1 1 1
; ( )
1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1).( 2)
S n N
n n n
∗
= + + + + ∈

1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100
(1 ) ( ) ( ) ( )
99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
+ + + + + + + + = + + +L L
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
b) Biến đổi số chia:
100 1 100 2 100 3 100 99
1 2 3 99
100 100 100 100 1 2 3 99
1 2 3 99 1 2 3 99
1 1 1 1 1 1 1
100 100 99 1 100
2 3 99 2 3 99 100
− − − −
+ + + + =
   
= + + + + − + + + + =
 ÷  ÷
   
   
= + + + + − = + + + + +
 ÷  ÷
   
L
L L
L L
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy
1
100
B =

3
1
2
1
1 ++++= A
. Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số tự
nhiờn.
Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu cỏc phõn số của A ta chọn mẫu chung là tớch của 2
6

với cỏc thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k
1
, k
2
, …, k
100
là cỏc thừa số phụ tương ứng, tổng
A cú dạng:

25