Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG
TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC
CHUYỂN TRỤC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy
là trục đối xứng của nó .
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3. Cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng
nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :
2 1
AB
2 1
. 1
; i:k
êm I d
AB d
k k
y y
vo
Trungdi x x
= −

−
=


- Giả sử trục đối xứng có phương trình :
0
x x=
. Gọi điểm
( )
0
;0I x
- Chuyển
( ) ( )
0
Oxy IXY
OI
x x X
y Y
= +

→ =

=

uuur
- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x
0
;y
0
) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .
* Cách 2. Nếu với
0

y Y
= +

→ =

=

uuur
- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
4 3 2
0 0 0 0
4 3 2 2 3 2 4 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 7 6 4
4 4 6 5 4 5 7 6 4 7 6 4
Y x x x x x x x x
Y X x X x x X x x x X x x x x
= + − + + + − + +
⇔ = + − + − + − + − + − + − +
- Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không :
0
3 2
0 0 0 0
4 3 2
0 0 0 0
4 4 0
4 5 7 6 0 1

0
Oxy IXY
OI
x x X
y Y
= +

→ =

=

uuur
- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
( )
( ) ( )
4 3 2 2 3 2 4 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 4 6 3 4 12 2 4Y X x X x x m X x x mx X x x mx= + + + + + + + + + + +
- Để là hàm số chẵn thì :
( )
0
0
3 2
0 0 0
4 1 0
1
4
4 12 2 0
x
x


→ =

= +

uuur
- Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )
- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả .
Cách 2.
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :

0 0 0
( ) ( ) 2f x x f x x y+ + − =
với mọi x
Trang 2
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) :
2
1
x
y
x
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

( )
( )
0 0
0
0 0
0
1
1
1
1
1
1
Y y x X
x X
Y X x y
X x
+ = + + +
+ −
⇔ = + + − +
+ −
- Để hàm số là lẻ :
( )
0 0 0
0 0
1 0 1
1;2
1 0 2
x y x
I
x y

;I x y
- Chuyển :
( ) ( )
0
0
Oxy IXY
OI
x x X
y y Y
= +

→ =

= +

uuur
- Phương trình (C) trong hệ mới là :
( )
( )
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Y y

C
: y=f(x;m) nhận điểm I(
0 0
; )x y
là tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :
- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)
- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ :
0
0
a x
m
b y
=

⇒

=

2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba .
- Tìm tọa độ điểm uốn :
( )
''( ; ) 0
;
( ; )
y x m x a
J a b
y f x m y b
= =

GIẢI
Ta có :
2
3 6
' 6 '' 6
x x
y mx y m
m m
= − + ⇒ = − +
. Cho y''=0
2
6
6 0;
u
x
m x m x
m
⇔ − + = ⇒ = =
- Tính
( )
( )
6
4 5 2 5
; 3 . 2 2 2 ;2 2
u u
m
y y x m m m m U m m
m
= = − + − = − ⇒ −
- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I :

2
2 4 2 1
2
m
x m x m
y C
x
+ − − +
=
−
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
GIẢI
- Ta viết lại hàm số ;
1
2
2
y x m
x
= + +
−
. Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên
với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 .
- Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)
Trang 4
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
- Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ :
2 2
3
4 1
m

u
y y m m m U m= = − + + + = + ⇔ +
- Để I là tâm đối xứng thì :
1 1
0
6 2 2
m
m
=

⇒ =

+ =

- Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
IV. TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua
điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )
CÁCH GIẢI
- Giả sử
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
; ( ) 1M x y C y f x∈ ⇒ =
- Tìm tọa độ điểm N theo
0 0
,x y
sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d )
Nên ta có :
( ) ( )
2



Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có :
( )
2
0
4 0 3mx + =
Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó :
0
4
x
m
= −
Thay vào (1) ta tìm dược
0
y
. Vậy đáp số : m< 0 .
Trang 5
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
Ví dụ 7. ( ĐH GQTPHCM-97) . Cho hàm số
( )
2
2
1
x x
y C
x
+ +
=
−

2
1 1
1
1
2
1 1
1
1
2
1
1
2
5 2
1
x x
y
x
x x
y
x

+ +
=

−


− +

− =

- Với
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
3 2; 3; 2 , 3;2
3 7; 3;7 , 3; 2
x y M N
x y M N
= − ⇒ = − − − −
= ⇒ = − −
Ví dụ 8. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số
( )
2
1
x
y C
x
=
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x-1 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có hai cách giải .
* Cách 1.
- Viết lại phương trình (C)
1
1
1

 
;
1
d
k =
- Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 2
. 1 1
2
1 :1 1; 1 1 1; . 2 0 (*)
1 1
2
AB d
k k
x x x x x x
x x
I d
= −

⇒ + = − ⇔ − − = − ⇒ − + + =

− −
∈


1 1
2 2
1 1
2
4 0 4 2 0
1 1
6 (**)
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
⇔ + + + + = + −
− −
+ −
⇔ + = ⇔ − + − =
− −
⇔ + =
Từ (*) và (**) ta có hệ :
1 2
0 2
1 2
1 2
6
; à 2 n : 6 4 0
. 4
x x
x x l pt X X
x x

( có hai nghiệm khác 1)
( )
2
( ; ) 2 1 0 (1)g x m x m x m⇒ = − + + =
( có 2 nghiệm khác 1)
Điều kiện :
( )
2
2
1 8 0
6 1 0 3 2 2 3 2 2(*)
(1; ) 2 1 1 0
m m
m m m m
g m m m

∆ = + − >

⇒ − + > ⇔ < − ∨ > +

= − − + = ≠


Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B.
- Gọi I là trung điểm của AB tọa độ I :
1 2
1 2
1 1
2 4 4
2 1 3 1

m m
y x m m
− +
⇔ = − ⇒ = − ⇔ = − ⇒ = −
. Với m=-1 , thỏa mãn (*)
- Khi m=-1 (1) trở thành :
1
1
2
2 2
1 1 1
1
1
1
2 2 2
1
2 2
2 1 0
1 1 1 1
1
1
2 2 2 2
1
2
y
x
x
x y

= − + + = −

=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng nhau
qua đường thẳng d': y= x+3 .
GIẢI
A. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Trang 7
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
b. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình :
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
1 ( ; ) 2 3 2 0 2
1
x x
x m g x m x m x m
x
− +
= − + ⇔ = − + + + =
−
( có hai nghiệm khác 1)
( ) ( )
2
2
3 8 2 0
2 9 ; 1 10 1 10(*)
(1; ) 2 3 2 1 0
m m

= − + = − =


- Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d :
3 3 3
3 3; 2 18; 9
4 4
I I
m m
y x m m
− +
⇔ = + ⇒ = + ⇔ = ⇒ =
- Với m=9 thì (2) trở thành :
1 1
2
2 2
6 14 6 14 12 14
9
2 2 2
2 12 11 0
6 14 6 14 12 14
9
2 2 2
x y
x x
x y

− − −
= → = − + =


y x mx x x m
x m
=

= − = − = ⇔

=

- Để tồn tại cực đại , cực tiểu :
0m ≠
(*)
- Gọi A(0;
3
1
2
m
) và B(m; 0) là hai điểm cực trị .
- Tính :
3
2
1
0
1
2
; 1
0 2
A B
AB d
A B
m

y y
m
y
y m
+

+
= =


=

 
⇒
 
+
+
 
=
= =




- Để A,B đối xứng nhau qua d thì :
2
2
3
1
2


Thỏa mãn điều kiện (*).
Trang 8
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
b. Nếu
m
C
cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C thì :
( )
3 2 3
3 1
0 1
2 2
x mx m− + =
, có ba nghiệm.
Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là :
1 2 3
, ,x x x
. Áp dụng vi ét cho phương trình (1).
( )
( )
( )
1 2 3
1 3 2
2 2
2 1 3 1 3
1 2 2 3 3 1
2 2
1 3 2
3

a
c
x x x x x
x x x x x x
x x x m x
a
d
x x x m
x x x m
m m ma
x x x
x x x x


+ + = − =


+ + =
= =






+ + =
+ + = =
  
⇒ ⇔ ⇔ = − = − ⇒
  

=



Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại duy nhất một điểm .Cho nên ,
không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng .
Ví dụ 11 .((HVKTQS-2001). Cho hàm số
( )
( )
2
2 1
1
m
x m x m
y C
x
+ − + +
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=2
b. Tìm m để trên
m
C
có hai điểm A,B sao cho :
5 3 0;5 3 0
A A B B
x y x y− + = − + =
. Tìm m để A,B
đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0.
GIẢI

= +
 
⇒ ⇔
 
+
= +



= +

2
4 68 0
( 1; ) 4 10 2 2 0
m m
m R
g m m m

∆ = − + >
⇒ ⇔ ∀ ∈

− = + − − + = − ≠

.
- Gọi I là trung điểm của AB :
1 2
10
2 8
10 5 26
5 3 5 3

m
m
m
−
−
⇔ + + = ⇒ =
.
Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số
( )
2
2 3
2
m
x mx m
y C
x
+ + −
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3.
Trang 9
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
b. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm
A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) một tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc
vào vị trí của M.
c. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m . Tìm m để hai điểm cực
đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 .
GIẢI
a. Khi m=3 . (C) :
2

+
Tiếp tuyến với (C) tại M là
( )
( )
0 0
2
0
0
1 1
: 1 1
2
2
y x x x
x
x
 
∆ = − − + + +
 
+
+
 
 
- Nếu
2x
∆ ∩ = −
tại điểm A , thì
( )
( )
0
0 0

 
- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B.
( )
( )
0 0 0 0
2
0
0
1 1
1 1 1; 2 2 1 2 3
2
2
B B B B B
x x x x x x y x x
x
x
 
⇒ − − + + + = + ⇔ = + ⇒ = + = +
 
+
+
 
 
( )
0 0
2 2;2 3B x x⇔ + +
- Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I(-2;-1).
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2;
0
2 3x +

2
2 2
2 2 2 3
1
4 3
' 0
3
2 2
x m x x mx m
x
x x
y
x
x x
+ + − + + −
= −

+ +
= = = ⇔

= −
+ +

Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị .
- Gọi hai điểm cực trị là :
( ) ( )
1; 2 ; 3; 6M m N m− − − −
- Tính :
( ) ( )
6 2


= = −


Trang 10
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
- Để M,N đối xứng nhau qua d thì :
( )
1
2. 1
. 1
2
1
2 2 4 8 0
MN d
k k
m
J d
m

 
− = −
= −

  ÷
⇒ ⇔ ⇒ =
 
 
∈



∈ ⇒

= −


- Từ (1) và (2) ta có :
0
0
2 '
2 '
x x x
y y y
= −


= −

, Thay x,y tìm được vào : y=f(x) ,ta suy ra y'=g(x';x0;y0)
Đó chính là phương trình của đường cong (C').
2. Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
; ( ); '; ' 'A x y C y f x B x y C∈ ⇒ = ∈
- Nếu (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d :
( )
( )
'
1 1
. 1
'

 

Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết . Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được
một phương trình có dạng y'=g(x') .Đó chính là phương trình của (C') cần tìm .
C. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
2
3 1
1
2 2
x x
y x C
x x
+ −
= = − −
+ +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1).
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Trang 11
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
b. Gọi một điểm bất kỳ
( ) ( ) ( )
1
; 1 ; '; ' '
2
A x x C B x y C
x

Vậy (C') có phương trình :
( )
1
5 'y x C
x
= + −
Ví dụ 2. Cho hàm số
( )
4
2
5
3
2 2
x
y x C= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2)
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
4
2
5
; 3 ; '; ' '
2 2
x
A x y C y x B x y C∈ ⇒ = − + ∈
- Nếu (C') đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I
- Do đó :

x
y x= − + +
, đối xứng với (C) qua I.
Ví dụ 3. Cho hàm số
( )
2
3 3 1
1
2 2
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0
GIẢI
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C')
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
' 1
. 1
' 2 ' 1
' 2 '
. 1

∈
+ − + − =+ +
+ = + +
 


 

− − =

 ÷

 

2 ' 2 ' 5 3 ' 4 ' 4
;
2 ' 2 ' 2 5 3 ' 4 ' 4
y x y x y y x
y x x y x x y
+ = + = − + +
 
⇔ ⇒
 
− = − + = + −
 
Từ phương trình hàm số :
10 10
5 5 5 4 ' 3 ' 4 4 ' 3 ' 4 5
5 10 4 ' 3 ' 4 10
y x x y y x

'
2
'
2
I
I
x x
x
y y
y
+

=



+

=


; Và
'
; 1
'
AB d
y y
k k
x x
−


−
⇔ ⇒ ⇔ ⇔
   
+ + + = + = − − +
+ +
∈
 


+ − =


' 3
10 10
' 3 3 '
' 3
' 3 3 '
y x
x y
x y
y x
= − +

⇔ ⇒ − + = + ⇔ =

= − +
− + −

- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) :

- Ta có : y'+y=2.2. Suy ra : y=4-y' .
- Do A thuộc (C) , cho nên :
4 4
4 ' ' 3 ; ' 1 '
' 2 ' 2
y x y x
x x
− = + + ⇒ = − −
− −
- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d :
4
1
2
y x
x
= − −
−
Ví dụ 6. Cho hàm số
( )
2 (4 )y x x C= −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox. Chứng minh rằng (C) cắt
(C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
Trang 13
Hc thêm ton – 0968 64 65 97 Chuyên đ đi xng trong hm s
b. Gọi A(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc (C) . B(x';y') là điểm bất kỳ thuộc (C') đồng thời
đối xứng với A qua Ox. Khi đó : x=x' và y=-y'
- Do A thuộc (C) :


= −

−

⇔ ⇔ = − + ⇒ + − + = ⇔ + =
 
= − − +
 

= − −

- Vậy (C) giao với (C') bằng E-Líp :
( )
2
2
2
1
4 8
x
y
−
+ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.( Đề 27). Cho hàm số
( )
4 3 2
4 2 12
a
y x ax x ax C= + − −

( ) ( ) ( )
4 3 2
3 2 1
m
y x m x m x C= + + + +
Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ?
Bài 5. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số
( )
2
1
x
y C
x
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1.
Bài 6. ( HVKTQS-99). Cho hàm số
( )
2
1y x x x C= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) :
2
2 2
2
x
y
x
+ −

Bài 9. ( ĐH-QGA-2001). Cho hàm số
( )
3 2
3
m
y x m x m C= − +
a. Khỏa sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=0
b. Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ,CT đồng thời hai điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua đường
thẳng d : x-2y-5=0 .
Bài 10.( ĐH-PCCC-2001). Cho hàm số
( )
3 2
3 3y x x C= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường thẳng d mà các điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua nó .
Bài 11. (ĐH-Thủy sản-2000). Cho hàm số
( )
2
4 5
2
m
x mx m
y C
x
− +
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C) với m=1
b. Tìm m để trên đồ thị
( )

m
y x m x m x C= − + + − + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b.Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua điểm I(0;4)
Bài 15. ( VDDH-Mở-2001). Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 2
m
y mx mx m x C= − + − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm những điểm cố định mà với mọi m
( )
m
C
luôn đi qua . Chứng tỏ các điểm cố dịnh đó
thẳng hàng .
Trang 15