ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
#"
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
PHI TUYẾN CÓ CHỨA SỐ HẠNG
KIRCHHOFF
Người hướng dẫn: TS. TRẦN MINH THUYẾT
Học viên cao học: TRẦN ĐÌNH GIÁP
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 1.01.01 TP. HỒ CHÍ MINH 2008 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH


 Người hướng dẫn:
TS. TRẦN MINH THUYẾT
Khoa Toán – Thống kê
Đại học Kinh Tế TP.HCM
 Người nhận xét 1:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY
Khoa Toán –Tin học
Đại học Sư phạm TP.HCM
 Người nhận xét 2:
TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Khoa Toán – Tin học
Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM
 Học viên cao học:
TRẦN ĐÌNH GIÁP
Đại học Kinh Tế TP.HCM
Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tại trường Đại Học
Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh vào lúc… giờ… phút,
ngày……tháng… năm 2008.
Có thể tìm hiểu luận văn tại phòng sau Đại học, Thư viện ĐH khoa học tự
nhiên TP . Hồ Chí Minh.
LỜI CẢM ƠN

ời đầu tiên tôi xin kính gởi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn
Mục lục
Chương 0 : Phần mở đầu 1
Chương 1 : Một số công cụ chuẩn bị 5
Chương 2 : Nghiên cứu phương trình với
2
()
ttt
f
uuu
β
λ
−
= 14
2.1 : Giới thiệu 14
2.2 : Các giả thiết…………………………………………………………… 15
2.3 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm………………………………………16
2.4 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi
0λ
+

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 1
Học viên Trần Đình Giáp
CHƯƠNG 0
Phần mở đầu
Trong luận văn này, chúng tôi xét hai bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây

()
2
2
(, ) (,),(,) (0, ),
tt t
uuBuufuuFxtxt Tµ+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω×

(0.1)(0,) (1,) 0,ut ut==

(0, ) (1, ) 0,
xx
ut ut==

(0.2)0

ut u xtdx=
∫

(0.4)

và thỏa điều kiện

() :iB
+
→\\
liên tục,
(0.5)00 0 0
0
() 0, 0: () ,
z
ii D B s ds D zγγ∃> > ≥− ∀≥
∫
.
(0.6)

Trong trường hợp
(0, ),LΩ=
phương trình
(0.1)
được tổng quát hóa từ phương
trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi ( xem Kirchhoff [6],
Carrier [2] )

ở đây
u là độ võng,
ρ
là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi
dây ở trạng thái ban đầu,
E là môđun Young và
0
P là lực căng lúc ban đầu. Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 2
Học viên Trần Đình Giáp
Khi
0f =
, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình
(0.1)
đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [4].
Medeiros trong [13] đã nghiên cứu bài toán (0.1) – (0.4) với
2
() ,ffubu==

trong đó
b là hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của
3
.\
K. Nishihara trong [14] đã xét bài toán

(,), , 0 ,
tt t
uuBuuuFxtx tTλε+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω <<
(0.8)

2
2
2
1
0
i
i
i
u
u
x
ν
=
∂
==
∂
∑
trên
,∂Ω
(0.9)

0
(,0) ()ux u x=
,
1

λε
−
+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω <<
(0.11)

0
u
u
ν
∂
==
∂
trên
,∂Ω
(0.12)

0
(,0) (),ux u x=

1
(,0) (),
t
ux ux= (0.13)
Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 3

,
1
(,0) ()
t
ux ux= , (0.17)
trong đó
03
([0, 1 [0, ) ),fC∈×∞×\
2
0
(0,1),uH∈
1
1
(0,1),uH∈
1
(),BC
+
∈ \
0
0,Bb≥>
thỏa điều kiện
03
,, , ([0,1[0,) )
x
ffff
C
xuu u
∂∂∂∂
∈×∞×
∂∂∂ ∂
Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 4
Học viên Trần Đình Giáp
Chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các đánh
giá tiên nghiệm, hội tụ yếu, toán tử đơn điệu và kỹ thuật về tính compact. Sau đó
khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán
(0.1) (0.4)
−
với

12,β<≤
khi 0.λ
+
→
Trong Chương III, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu bài
toán
(0.1) (0.4)−
với

2
2
( , ) , 1, 1, 0, 0 .
ttt
f
uu Ku u u u K
β
α
λαβ λ
−
Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 5
Học viên Trần Đình Giáp
CHƯƠNG 1
Một số công cụ chuẩn bị
1. Các không gian hàm
Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu
(0,1),Ω=
(0, ), 0.
T
QTT=Ω× >
Ta bỏ qua
định nghĩa các không gian hàm thông dụng:
(),
m
C Ω (),
p
L Ω (),
m
H Ω
,
().
mp
W Ω Có
thể tham khảo trong [1], [12]. Ta định nghĩa
2
()HL=Ω là không gian Hilbert đối
với tích vô hướng


122
{: }HvLvL
′
=∈ ∈
(1.3)và

1
11
// / /
00
,,, ()()()().
H
uv uv u v uxvxdx u xv xdx=+ = +
∫∫
(1.4)
1
H là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.4). Ta ký hiệu
1
1
,
H
H
vuv=〈 〉 là chuẩn trong
1
.H Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. Phép nhúng
1

(,), [,]: () (), [,],v H ab u C ab vx ux ae x ab•∀∈ ∃∈ = ∈
01
1
00
[,] (,)
0: , ( , ).
Cab Hab
Cv Cv vHab•∃ > ≤ ∀∈
(1.6)
Bổ đề 1.2. Đồng nhất
H
với
/
H
( đối ngẫu của
H
). Khi đó ta có
1
H
1
/
HH≡
1
1/
()H , với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Chú thích 1.2. Từ bổ đề 1.2 ta dùng ký hiệu tích vô hướng
⋅〉

0
() ,
T
p
X
ut dt<∞
∫
với 1,p≤<+∞
hay

0: ( ) , . ., (0, )
X
MutMaetT∃> ≤ ∈ khi .p =∞ (1.7)
Ta trang bị
(0, ; ), 1 ,
p
LTX p≤≤∞
bởi chuẩn như sau

1
(0, ; )
0
() ,
p
T
p
p
LTX
X
uutdt

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 7
Học viên Trần Đình Giáp

{
}
inf 0 : ( ) , . ., (0, )
X
MutMaetT≡> ≤ ∈
khi . (1.8)p =∞

Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy
trong Lions [12].

Bổ đề 1.3. (Lions [12]):
(0, ; ), 1
p
LTX p≤≤+∞
là không gian Banach.
Bổ đề 1.4. (Lions [12]): Gọi
/
X
là đối ngẫu của
.X
Khi đó
/
/
(0, ; )
p
LTX
với

Bổ đề 1.6 .(Lions [12]): Ta có
(0, ; ( )) ( ), 1 ,
pp p
T
LTL LQ pΩ= ≤<∞

trong đó
(0, ).
T
QT=Ω×

Chứng minh của bổ đề 1.6 đơn giản nên ta bỏ qua.
3. Phân bố có giá trị vectơ
Trên D
()
0,T
ta định nghĩa sự hội tụ như sau

n
ϕϕ→ trong D
()
0,T nếu
1)
K∃ compact
⊂Ω
sao cho
,,
n
supp supp Kϕϕ⊂
với mọi ,n

(1.9)

Định nghĩa 1.1. Cho
X
là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục
từ D
()
(0, )T vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong .X Tập các
phân bố có giá trị trong
X ký hiệu là
D
/
(0, ; )TX = (L D(0, ); )TX = { :f D(0, )T /Xf→ tuyến tính, liên tục}.
Chú thích 1.3. Ta ký hiệu D
(0, )T
thay cho D
()
(0, )T
hoặc
()
(0, )
c
CT
∞
để chỉ
không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong
(0, ).T
Định nghĩa 1.2. Cho
f ∈ D
/

∫
D(0, )T . (1.11)
Ta có thể nghiệm lại rằng
v
T ∈ D
/
(0, ; )TX. Thật vậy,

)
j
Ánh xạ :
v
T D(0, )T X→ là tuyến tính.

)
j
j Ta nghiệm lại ánh xạ :
v
T D(0, )TX→ là liên tục.
Giả sử {}
j
ϕ ⊂ D
(0, ),T
sao cho
0
j
ϕ →
trong D
(0, ).T
Ta có

X
vt dt t dt khi jϕ
⎛⎞⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
≤→→+∞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝ ⎠
∫∫
(1.12)
Do đó
,0
vj
T ϕ → trong X khi .j →+∞ Vậy
v
T ∈ D
/
(0, ; ).TX
)ii Ánh xạ
v
vT6 là một đơn ánh, tuyến tính từ (0, ; )
p
LTX vào D
/

(0, ; ),fLTX∈
thì f bằng hầu
hết với một hàm liên tục từ
[0, ] .TX→
Chứng minh bổ đề 1.8 bằng nhiều bước:
Bước 1: Đặt
/
0
() () .
t
Ht f sds=
∫

Khi đó
:[0, ]HTX→ liên tục, vì
/1
(0, ; ).fLTX∈

Trước hết, ta chứng minh rằng
/
dH df
f
dt dt
==
theo nghĩa phân bố.
Thật vậy,
ϕ∀∈
D
(0, ),T
ta có

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
=− =−
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∫∫ ∫ ∫//
0
()() , .
T
fs sds fϕϕ==
∫
(1.13)
Vậy
/
dH df
f
dt dt
== trong D
/
(0, ; ).TX

ψ ∈ D(0, ),T
0
ϕ thoả
0
0
() 1
T
sdsϕ =
∫
và
0
() .
T
tdtλϕ=
∫

Ta có điều này do

0
0
[() ()] 0,
T
ttdtϕλϕ−=
∫

nên nguyên hàm của
0
() ()ttϕλϕ− triệt tiêu tại 0t = sẽ thuộc D(0, ).T
Chọn
()

0
0
()[ () ()] 0,
T
vs t t dtϕλϕ ϕ−=∀∈
∫
D(0, ),T
hay

0
00
() () () ()
TT
vs sds vs sdsϕλϕ=
∫∫0
00
() () () ,
TT
tdt vt tdtϕϕϕ=∀∈
∫∫
D
(0, ).T

(
)
1.15


∫
, ϕ∀∈ D(0, ),T
thì
() 0wt ≡
với hầu hết
(0, ).tT∈

Điều này có được là do ánh xạ
w
wT6 từ
1
(0, ; )LTX vào D
/
(0, ; )TX là đơn
ánh (tính chất
)ii ở trên).
Từ các bước
1, 2, 3 ở trên ta suy ra rằng ,fHC=+ theo nghĩa phân bố.
Tương tự ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.9 (Lions [12]). Nếu
(0, ; )
p
fLTX∈
và
/
(0, ; ),
p
fLTX∈
thì f bằng hầu
hết với một hàm liên tục từ

Với
01
0,1 ,1 ,Tp p< <∞ < <+∞ < <+∞
ta đặt

01
/
01
(0, ) { (0, ; ): (0, ; )}
pp
W T v L TX v L TX=∈ ∈
. (1.18)
Trang bị
(0, )WT bởi chuẩn

0
1
0
1
/
(0, ) (0, ; )
(0, ; )
p
p
WT L TX
LTX
vv v=+. (1.19)
Khi đó
(0, )WT là một không gian Banach.
Hiển nhiên ta có
Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 13
Học viên Trần Đình Giáp
Bổ đề 1.11. ( Xem Lions [12]).
Cho
Q là tập mở bị chận của
N
\
và
,(),1 ,
p
m
GGLQ p∈<<∞

sao cho:

()
,
p
m
LQ
GC≤
trong đó
C
là hằng số độc lập với m
và

, với hầu hết
[0, ],tT∈

trong đó
12
,CC là các hàm số không âm.
Khi đó

2
1
() ,
Ct
f
tCe≤ với hầu hết [0, ].tT∈

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 14
Học viên Trần Đình Giáp
CHƯƠNG 2
Nghiên cứu phương trình với
2
()
ttt
fu u u
β

(2.4)

trong đó
2
() | |fu u u
ttt
β
λ
−
=
,
,,,T µβλ
là các hằng số dương cho trước;
01
,, ,BFu u là các hàm cho trước. Các giả thiết đặt ra cho các hàm này sẽ được chỉ ra
sau. Trong phương trình
(2.1), số hạng phi tuyến
(
)
2
Bu∇ phụ thuộc vào

1
22
0
() ( , )ut uxt dx∇=∇
∫
(2.5)
xác định bởi hàm
B thỏa điều kiện (0.5), (0.6).


Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 15
Học viên Trần Đình Giáp
Chúng ta thiết lập các giả thiết sau:

1
()A
2
00
uH∈ ,
2
1
,uL∈
2
()A
2
(),
T
FLQ∈
3
()A :[0,)B
+
=+∞→RR thỏa các điều kiện sau:
(i)

/
() ()
t
ut u t= ,
//
() ()
tt
ut u t= để lần lượt chỉ
2
2
(,), (,), (,)
uu
uxt xt xt
t
t
∂∂
∂
∂
và
2
2
(,) (,), (,) (,).
xxx
uu
u u xt xt u u xt xt
x
x
∂∂
∇= = ∆= =
∂

−
+〈 〉
2
0
(), , , (0, )Ft v v H ae t T=〈 〉 ∀ ∈ ∈ , (2.6)

/
01
(0 ) , (0)uuu u==
. (2.7)

Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán
(2.1) (2.4)−
với các
giả thiết (0.5), (0.6). Chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ sau: Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 16
Học viên Trần Đình Giáp
9 Phương pháp xấp xỉ Galerkin,
9 Phương pháp compact yếu,
9 Toán tử đơn điệu.
2.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý 2.1.
Giả sử
13
() ()AA−

H
.
Đặt
1
() () ,
m
mmjj
j
ut c tw
=
=
∑

trong đó
()
mj
ct thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến

()
2
//
(), (), () (),
mj m j m m j
utw utw B ut utwµ〈 〉+〈∆∆〉+∇ 〈∇∇〉2
//
() (), (), , 1 ,
mmj j

=
=⎯⎯→
∑
mạnh trong
2
0
,H (2.10)

11
1
m
mmjj
j
uwuβ
=
=⎯⎯→
∑
mạnh trong
2
.L
(2.11)
Từ giả thiết của định lý, hệ (2.8) – (2.9) có nghiệm
()
m
ut trên khoảng
0
m
tT≤≤
với (0, )
m

+=〈〉

hay

()
2
()
22
/
0
//
() () ()
2() 2(),().
m
ut
mm
mm
L
dd
ut ut Bsds
dt dt
ut Ft ut
β
β
µ
λ
∇
+∆ +
+=〈〉
∫

β
µλ=+∆+
∫
(2.14)
Đánh giá vế phải của (2.13).
Từ (2.10) và (2.11) suy ra các dãy
22
10
,
mm
uu∆ bị chận.

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 18
Học viên Trần Đình Giáp
Ta đặt

2
22
1100
max sup , sup ,sup .
mmm
mm m
Cuuu
⎧⎫

3
()A
ta có:

0
0
00
() () , 0.
Z
Bs ds D Bs ds z
γ
−≤+ ∀≥
∫∫
(2.18)
Chứng minh bổ đề 2.1.
Ta có các trường hợp sau.
•Nếu
0
0 z γ≤≤ thì
00
() ()
ZZ
Bs ds Bs ds−≤
∫∫00
0
00
() () .Bs ds Bs ds D
22
0
()
012 0
00
() () ,
mm
uut
Bs ds Bs ds D D D D
∇∇
−≤++=
∫∫

(2.19) Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 19
Học viên Trần Đình Giáp
trong đó hằng số
0
D

độc lập với
.m


tT∀∈ , (2.21)
trong đó

2
10
0
(1 ) ( ) .
T
T
CCDFsdsµ=+ + +
∫

(2.22)
Áp dụng bổ đề Gronwall, ta thu được từ
(2.21) rằng

()
tT
mTT
S t Ce Ce≤≤, [0, ],
m
tT∀∈ (2.23)
trong đó
T
C chỉ phụ thuộc vào T và độc lập với .m
Vậy ta có thể lấy
m
TT= với mọi m và do đó ta suy từ (2.15), (2.16) rằng

{}

//
mm
uu
β−
bị chận trong
/
-1
() ().
TT
LQ LQ
β
β
β
= (2.27)
Từ (2.24) và do
B
liên tục ta suy ra rằng

2
mm
Bu u
⎛⎞
⎟
⎜
∇∇
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

(0, ; )LTH
∞
yếu *, (2.29)

//
m
uu→ trong );,0(
2
LTL
∞
yếu *, (2.30)

2
//
mm
uu
β
χ
−
→
trong
/
()
T
LQ
β
yếu. (2.31)
Từ
(2.30), với mọi
j

ta suy ra

m
uu∇→∇ trong );,0(
2
LTL
∞
yếu *,

,,
mj j
uw uw∇∇ →∇∇ trong (0, )LT
∞
yếu *,

,
mj
uw∇∇
bị chận trong (0, )LT
∞
. (2.33)
Tương tự lý luận trên ta có

m
uu∆→∆
trong
2
(0, ; )LTL
∞
yếu *,