19
Chương 1

KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN

),,,,(
txxxtt
uuutxfuu
=−
1.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và giá trò ban đầu sau
đây

,0, ,),,,,( Ttxuuutxfuu
txxxtt
<<Ω∈=−
(1.1.1)

),(),1(),1( (t),),0(),0(
1100
tgtuhtugtuhtu
xx
=+=−

,0 Tt <<
(1.1.2)

lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được
cho [13, 14, 21, 22]. Phần 2 sẽ đề cập đến bài toán khai triển tiệm cận theo một
tham số bé
ε
mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương nầy.
1.2. Các ký hiệu và giả thiết
Ta thành lập các giả thiết sau 20

)(
1
H

,0 ,0
10
≥> hh)(
2
H

),(
~
),(
~
1
1

hhhh
tgxhtghxh
tx
++
+++−
=
ϕ
(1.2.1)
Đặt

⎩
⎨
⎧
≤≤+=
−=
.0),,1(),1(
),,0(),0(
11
00
TttvhtvvB
tvhtvvB
x
x
(1.2.2)
Khi đó, với phép đổi biến

,0 , ,),(),(),(
Ttxtxtxutxw
≤≤Ω∈−=
ϕ

~
)0,(
10
Ω∈==
xxwxwxwxw
t
(1.2.6)
trong đó

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−=
−+++=
),0,()(
~
)(
~
,)0,()(
~
)(
~
),,(),,,,(),,,,(
~
1100
xxuxwxxuxw
txwwwtxfwwwtxf
t

10
== gg

Trên
1
H
ta sử dụng một chuẩn tương đương sau:

.)()0(
2
1
1
0
2
/2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
dxxvvv
H
(1.2.9)
Trong chương này, ta sử dụng dạng song tuyến tính trên

Hvvv
HC
∈∀≤
Ω

Bổ đề 1.1 là một kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó có thể tìm thấy trong
nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [3, 4].
Bổ đề 1.2.
Với giả thiết
),(
1
H
dạng song tuyến tính đối xứng xác đònh bởi
(1.2.10)
liên tục, cưỡng bức trên
,
11
HH ×
nghóa là:
(i)
,, ,),(
1
1
11
HvuvuCvua
HH
∈∀≤

(ii)
. ,),(

w
j
ứng với trò riêng
j
λ
sao cho
22

, 0
21
LL
≤≤≤≤<
j
λλλ
,lim +∞=
+∞→
j
j
λ

(1.2.11)

,,),( 〉〈= vwvwa
jjj
λ
với mọi
L

(1.2.13)

).( ,0)1()1()0()0(
1
/
0
/
Ω∈=+=−
∞
Cwwhwwhw
jjjjj
(1.2.14)
Bổ đề 1.3 được chứng minh bằng cách áp dụng bổ đề 0.3, chương 0, với
,
1
HV =
2
LH =
và
),( ⋅⋅a
cho bởi (1.2.10).
Với
0 ,0 >> TM
ta đặt

,),,,,(sup),,(
00
wvutxffTMKK ==
(1.2.15)


HTL
ttt
≤≤≤
∈∈∈=
∞∞∞
∞∞∞
(1.2.18)
1. 3. Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến
Trong phần này, với sự chọn lựa
M
và
T
thích hợp, ta xây dựng một dãy
}{
m
u
trong
),( TMW
bằng qui nạp. Dãy
}{
m
u
sẽ được chứng minh hội tụ về
nghiệm của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với
.0
10
== gg

Chọn số hạng ban đầu
).,(

,
1
Hv ∈

(1.3.2)

,
~
)0(,
~
)0(
10
uuuu
mm
==
&
(1.3.3)
trong đó

)).,(),,(),,(,,(),(
111
txutxutxutxftxF
mmmm −−−
∇=
&
(1.3.4)
Sự tồn tại của
m
u
cho bởi đònh lý dưới đây.

1
H
như trong bổ đề 1.3
( )
jjj
ww λ
=
.
Dùng phương pháp Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ
)(
)(
tu
k
m
của (1.3.2)-(1.3.4)
theo dạng

,)()(
1
)()(
∑
=
=
k
j
j
k
mj
k
m

)(
k
k
mk
k
m
uuuu ==
&
(1.3.7)
với

()
, trong
~

~
2
0
1
0
Huwu
k
j
j
k
jk
→=
∑
=
α

T
sao cho bài toán (1.3.6), (1.3.7) có duy nhất
nghiệm
)(
)(
tu
k
m
trên
].,0[
)(k
m
T

Chú thích 1.1. Nghiệm của hệ (1.3.6) – (1.3.9) được tính như sau. Trước hết hệ
phương trình vi phân tuyến tính (1.3.6) – (1.3.9) tương đương với hệ sau:

,1,),(
1
)()(
2
)()(
kjwtF
w
tctc
jm
j
k
mjj
k

2
kjdwF
t
w
t
ttc
t
jm
j
j
j
j
j
k
jj
k
j
k
mj
≤≤〉〈
−
+
+=
∫
ττ
λ
τλ
λ
λ
βλα

2
1
)(
2
1
)()()(
2
)(
〉〈=+ tutFtutua
dt
d
tu
dt
d
k
mm
k
m
k
m
k
m
&&

Sau đó tích phân theo
t
ta được

,)(),(2)0()(
0

&
25
Trong (1.3.6) thay
j
w
bởi
,
1
j
j
wΔ−
λ
khi đó

,),()),((),(
)()(
〉Δ〈=Δ+〉Δ〈
jmj
k
mj
k
m
wtFwtuawtu
&&

hay


t
k
mm
k
m
k
m
duFaqtq
τττ
&
(1.3.15)
với

.)())(),(()(
2
)()()()(
tututuatq
k
m
k
m
k
m
k
m
Δ+=
&&

Đạo hàm (1.3.6) theo
,t

dt
d
k
mm
k
m
k
m
k
m
&&&&&&

Tích phân hai vế theo
t,)(),(2)0()(
0
)()()(
∫
〉
∂
∂
〈+=
t
k
mm
k
m
k

0
)(
0
)(
0
)()(
)()()()(
∫
∫∫
〉
∂
∂
〈+
+〉〈+=
++=
t
k
mm
t
k
mm
t
k
mm
k
m
k
m
k
m

0
)(
∫
∫∫
≤
≤〉〈
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm
dpK
duFduF
ττ
ττττττ
&&
(1.3.18)
+
Tích phân

thứ hai

Do bồ đề 1.2 ta có

.)( )(2))(),((2
0


()
()
∫
∫
−−−
−−∇−
∇+Δ+∇+≤
∇+Δ+∇+=
∂
∂
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
2
1
/
1
/
1
//

+≤
++≤
−−
&
(1.3.21)
Suy ra từ (1.3.20), (1.3.21) rằng

()
.214),0(
2
0
22
1
2
2
2
1
KMKtFF
x
F
mm
H
m
++≤+
∂
∂
=
(1.3.22)
Từ (1.3.15), (1.3.19), (1.3.22) ta có


Tích phân

thứ ba

Ta có

.)()(2)(),(2
0
)(
0
)(
∫∫
∂
∂
≤〉
∂
∂
〈
t
k
mm
t
k
mm
duF
t
duF
t
ττττττ
&&&&

2
MK
uuuK
dxufufuffF
t
mmm
mumumutm
+≤
+∇++≤
+∇++=
∂
∂
−−−
−−∇−
∫
&&&&
&&&&
&
(1.3.25)
Do đó từ (1.3.24), (1.3.25) ta suy ra

.)(314)(),(2
0
)(2
1
0
)(
∫∫
+≤〉
∂

t
k
m
k
m
k
m
dsKTKs
dsKsts
ττ
ττ
(1.3.27)
trong đó

(
)
.312212),,(
2
10
2
1
0
1
0
MKKMK
C
C
KfTMKK +++++==
(1.3.28)
Tiếp theo ta đánh giá số hạng

m
uuauuuuaus +Δ+++=
&&
(1.3.29)
Trong (1.3.6), thay
j
w
bởi
),(
)(
tu
k
m
&&
sau đó lấy
,0=t
ta được

.)0(),
~
,
~
,
~
,0,()0(,
~
)0(
)(
100
)(

∇+Δ≤
&&
(1.3.30)
Ta suy từ (1.3.8), (1.3.9), (1.3.29), (1.3.30) rằng tồn tại một số
0>M
độc lập với
k
và
m
sao cho

,4)0(
2)(
Ms
k
m
≤
với mọi
k
và
.m
(1.3.31) 28
Ta lưu ý, với giả thiết
),(
3
H
suy ra từ (1.2.15), (1.2.16) rằng

⎛
+
(1.3.33)
và

.1),,(
1
1)21(2
1
0
<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
fTMTK
C
k
T
(1.3.34)
Cuối cùng ta suy ra từ (1.3.27), (1.3.31), (1.3.33) rằng

.0 ,)()exp()(
)(
0

TT
k
m
=
với mọi
m
và
k
và ta suy ra từ đây rằng

).,(
)(
TMWu
k
m
∈
(1.3.37)
Bước
3:
Qua giới hạn
Từ (1.3.37), tồn tại một dãy con
}{
)(
j
k
m
u
của
}{
)(

j
∞
→
&&
(1.3.39)yếu*,
);,0( trong
2
)(
LTLuu
m
k
m
j
∞
→
&&&&
(1.3.40)).,( TMWu
m
∈
(1.3.41)
Từ (1.3.38) - (1.3.41) qua giới hạn trong (1.3.6), (1.3.7) ta có thể kiểm tra dễ dàng
rằng
m
u

(1.1.1)-(1.1.3)
có duy nhất một nghiệm yếu
).,( TMWu
∈

Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính
}{
m
u
xác đònh bởi
(1.3.1)-(1.3.4)
hội tụ
mạnh về nghiệm yếu
u
trong không gian

)}.;,0( : );,0({)(
21
1
LTLuHTLuTW
∞∞
∈∈=
&

(1.4.1)

Hơn nữa ta cũng có đánh giá sai số

,
);,0();,0(

.
T
k

Chứng minh.
a/ Sự tồn tại nghiệm.
Trước hết ta lưu ý rằng
)(
1
TW
là không gian Banach đối với chuẩn (xem [18])

.
);,0();,0()(
21
1
LTLHTLTW
uuu
∞∞
+=
&
(1.4.3)
Ta sẽ chứng minh rằng
}{
m
u
là dãy Cauchy trong
).(
1
TW

m
vv
&
=
trong (1.4.4) ta có 30

.,))(),((
2
1
)(
2
1
1
2
〉−〈=+
+
mmmmmm
vFFtvtva
dt
d
tv
dt
d
&&

Sử dụng giả thiết
),(

τ
&&
&&
(1.4.5)
Sử dụng bổ đề 1.2 (
ii
) và (1.4.5) ta thu được

() ()
.)21(2
11
1
11
2
0
2
TW
m
TW
m
H
mm
vvTKvCv
−
+≤+
&
(1.4.6)
Từ (1.4.6) dẫn đến

,

T
TW
TW
mpm
k
k
uuuu
−
−≤−
+
với mọi
., pm

(1.4.8)
Suy ra
}{
m
u
là dãy Cauchy trong
),(
1
TW
do đó tồn tại
)(
1
TWu ∈
sao cho

)( trong
1

∞
→
&&
yếu*, (1.4.11)

);,0( trong
2
LTLuu
j
m
∞
→
&&&&
yếu*, (1.4.12)

).,( TMWu ∈
(1.4.13)
p dụng đònh lý Riesz-Fischer, từ (1.4.9), tồn tại dãy con của
}{
1
−
j
m
u
vẫn ký hiệu
là
}{
1
−
j