LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 1 -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 2 -


Cần Thơ, ngày…… tháng……năm 2008 Trần Thị Thanh Thúy

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 4 -
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
1.1.6 Độ đo trên
r
15
1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC 17
1.2.1 Định nghĩa 17
1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được 18
1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được 20
1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE 23
1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm 23
1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm 24
1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ 26
1.3.4 Tính chất 26
1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân 27
Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30
2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30
2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) 30
2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) 31
2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost everywhere) 32
2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) 32
2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean) 34
2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) 35
2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN 36
2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental
almost everywhere) 36
2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy) 37
2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy) 37
2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental)
37
2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in
measure) 37

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Độ đo và tích phân Lebesgue là nền tảng của giải tích hiện đại. Việc nghiên
cứu nó là cần thiết, giúp cho em nắm vững hơn kiến thức về phần này. Ngoài ra, em
còn có điều kiện nghiên cứu sâu hơn các mảng giải tích có liên quan. Đây là lý do
chính để em chọn đề tài này.
2. Giới hạn của đề tài
Độ đo và tích phân Lebesgue là mảng giải tích hiện đại khá rộng. Trong
khuông khổ một luận văn tốt nghiệp, đề tài không thể khai thác mọi vấn đề. Do vậy,
luận văn tập trung khai thác về một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Bên cạnh
đó, còn xét về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này.
3. Mục tiêu đề tài
Trong phạm vi giới hạn của đề tài, mục tiêu hướng tới của luận văn là nghiên
cứu một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Cụ thể hơn, bên cạnh các dạng hội tụ
quen thuộc như hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, đề tài còn nghiên cứu một số
dạng hội tụ khác như hội tụ hầu như đều, hội tụ đều hầu khắp nơi, hội tụ trung
bình,…
Tuy nhiên, để hiểu sâu hơn về các dạng hội tụ, đề tài còn tập trung nghiên
cứu về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này. Ví dụ, như ta đã biết, trong không gian
độ đo hữu hạn và độ đo được xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu
khắp nơi thì hội tụ theo độ đo. Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác thì có
mối liên hệ với nhau như thế nào? Và các mối liên hệ này có thay đổi hay không khi
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 8 -
ta xét chúng trong không gian độ đo hữu hạn? Đề tài sẽ tập trung làm rõ các vấn đề
này.
Để thuận tiện trong quá trình nghiên cứu, luận văn còn đề cập đến một số
khái niệm mới như dãy cơ bản theo độ đo, dãy cơ bản trung bình,…Và không ngoại

Một lớp tập hợp là một đại số khi và chỉ khi
C
thỏa mãn các điều kiện sau:
a.
C
≠
Ø
;
b.
∈
A
C

⇒
∈
C
A
C
;
c.
∈
BA,
C
∈
∪
⇒
BA
C
.
1.1.2. σ- Đại số

A
F
;
c. ∈
n
A
F

1
n
n
A
∞
=
⇒∈
U
F
.
§ Nhận xét
Một σ- đại số hiển nhiên là một đại số.
§ Định lý 3
Cho
M
là một họ không rỗng các tập con của
X
.
a. Luôn tồn tại duy nhất một đại số
(
)
CM

§ Định nghĩa
Cho không gian tôpô ,(X τ) . σ- đại số sinh bởi họ tất cả các tập mở trong
X

được gọi là σ- đại số borel.
Ký hiệu:
(
)
X
B .
§ Nhận xét
Ÿ Các tập mở, tập đóng là các tập Borel.
Ÿ Nếu
,1,2,
n
An= là các tập Borel thì
1
n
n
A
∞
=
U
và
1
n
n
A
∞
=

nếu:
a.
(
)
0≥Aµ ,
∈
∀
A
C
.
b.
(
)
Ø0;
µ
=

c.
=








∞
=
U

}
Ni
i
A
∈
, ∈
i
A
C
, thỏa:
U
∞
=
=
1i
i
AX , và
(
)
+∞<
i
Aµ ,
.
i
∀

Điều kiện
(
)
0Ø =µ

Aµ
=
nếu
A
=∅
, và
(
)
Aµ
=+∞
nếu
A
≠∅
là độ đo.
Các độ đo ngày được gọi là độ đo tầm thường.

⊕
Hàm
(
)
: Xµ →P
R
được xác định bởi:

(
)
An
µ
=
khi

(
)
BABA
µµ⊂⇒≤;
b.
∈
BA,
C
,
(
)
+∞<⊂ BAB µ,
⇒
(
)
(
)
(
)
BAA µµµ −=B\ ;
c.
{
}
i
iN
A
∈
⊂
C
,

1
i
i
A
∞
=
∈
U
C
⇒

( )
∑
∞
=
∞
=
≤








1
1
i
i

1
thì
( ) ()
.
1
AA
i
i
µµ ≤
∑
∞
=

Hệ quả
a. Nếu độ đo
µ
là hữu hạn thì:
A
∀∈
C
,
{
}
i
iN
A
∈
∃⊂
C
:

C
,
(
)
ij
XXij
∩=∅≠
, và
(
)
+∞<
i
Xµ .
Ÿ Nếu
A
∈
C
thì ,
1
U
∞
=
=
i
i
AA ∈
i
A
C
,

a. Nếu
(
)
,0=
i
Aµ
1
i
i
A
∞
=
∈
U
C
thì
.0
1
=








∞
=
U

A
∈
C
(
)
,n∀ ,
21
⊂⊂ AA
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C
thì
( )
1
lim.
nn
n
n
AA
µµ
∞
→∞
=


thì:

( )
1
lim.
in
n
n
AA
µµ
∞
→∞
=

=


I

⊕
Định lý 7 (đảo của định lý 6)
Cho
µ
là hàm tập hợp không âm, cộng tính trên một đại số
C
sao cho
(
)
0
µ

in
n
n
AA
µµ
∞
→∞
=

=


U

b. Nếu
n
A
∈
C
(
)
,
n
∀
12
,
AA⊃⊃
1
n
n


Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 14 -
a.
(
)
*
0,;
AAX
µ ≥∀⊂
b.
(
)
*
0;
µ
∅=

c.
1
n
n
AA
∞
=
⊂
U
⇒
( ) ( )
**
1

)
**
*\,
EEAEAEX
µµµ
=∩+∀⊂

(
)
1

Khi đó:
a.
L
là một σ- đại số.
b.
*
µµ
=
|
L
là một độ đo trên
L
.
Độ đo này được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài
*
µ
.
Tập
A

,,
iii
i
i
mPPAP
∞
∞
=
=

⊃∈


∑ U
C

(
)
2

Khi đó:
a.
*
µ
là độ đo ngoài;
b.
*
µ
|
L

µ

bằng 0.
b.
µ
là độ đo đủ.
⊕
Định lý 11 (mở rộng độ đo)
Cho
m
là độ đo trên một đại số
L
Khi đó, tồn tại một độ đo
µ
trên σ- đại số
L
⊃
(
)
FC
⊃
C
, sao cho:
a.
(
)
(
)
;
AmA

,
NE
⊂∈
(
)
FC
,
(
)
(
)
*0
EEµµ
==
và
*
µ
là độ đo ngoài xác
định từ
m
bởi công thức
(
)
2
.
Nhận xét
L
sai khác
(
)

)
(
]
[
)
,,,,,,,,,,,,,,,,ababababaaaa
−∞+∞−∞+∞−∞+∞
.
⊕
Xây dựng đại số
Gọi
C
là lớp tất cả các tập con của
¡
có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu
hạn các gian đôi một rời nhau, tức là:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 16 -

( )
1
:,,
n
iii
i
PPijn
=

⊂=∩=∅≠∈

mP
=
=
∑
r
.
Khi đó,
m
là độ đo trên
C
và
m
là độ đo σ- hữu hạn.
⊕
Mở rộng độ đo
Với
,
A
⊂
R
độ đo ngoài được xác định bởi:

( ) ( )
*
1
1
inf,,
iii
i
i


∑ U
rrr

Gọi
L
là tập tất cả các tập con
A
của
¡
sao cho:

(
)
(
)
(
)
***
,EEAEAEµµµ
=∩+∀⊂
¡
\ .
Độ đo mở rộng
µ
trên σ- đại số
L
được gọi là độ đo Lebesgue.
Các tập
A

Ÿ Tập đo được Lebesgue chính là tập Borel thêm hay bớt một tập có
.
. độ đo không.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 17 -
1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
1.2.1 Định nghĩa
Cho tập
,
X

F
là một
σ
−
đại số những tập con của
X
, và
A
∈
F
.
Không gian
(
)
,
X
F
dược gọi là không gian đo được.

F
R .
Nếu trên
F
có độ đo
µ
thì
f
được gọi là đo được đối với độ đo
µ
hay
µ
−
đo
được.
Nếu
,
k
=
FL
và
k
X
=
¡
thì ta nói
f
đo được theo nghĩa Lebesgue hay
(
)

1
af
F
,
∈
∀
a
¡
.
⊕
Định lý 1
Cho
(
)
,
X
F
là không gian đo được và hàm :fX→
¡
. Khi đó, các điều kiện sau
là tương đương.

(
)
i
Hàm
f
đo được trên
A


iv
{
}
,
A
afa
∀∈>∈
¡
F

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 18 -

(
)
v
{
}
,
A
afa
∀∈≥∈
¡
F

Chứng minh
(
)
(

⇒≤=<+∈


I
F(
)
(
)
iiiiv
⇒ :
,
a
∀∈
¡
đặt:

{
}
A
Mfa
=≤

{
}
A
Nfa
=<


() ()
1
:fxanfxa
n
≥⇒∃∈>−
¥

{ }
1
1
.
A
n
A
fafa
n
∞
=

⇒≥=≤−∈


I
F(
)
(

1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 19 -

(
)
i
Giả sử
f
đo được trên
A
. Nếu
BA
⊂
,
B
∈
F
thì
f
cũng đo được trên
B
.
Thật vậy, vì
BA
⊂
, và
B
∈

đo được trên
A
thì
{
}
,.
A
afa
∀∈=∈
¡
F

Thật vậy,
,
a
∀∈
R
{
}
{
}
{
}
AAA
fafafa
==≥∩≤
Do đó:
{
}
A

A
ca
fa
Aca
∅≥

<=

<
{
}
.
A
fa
⇒<∈
F

Vậy,
f
đo được trên
A
.
(
)
iv
Nếu hàm
f

k

<=>∈


F⊕
Nếu
0
k
>
thì
{ }
.
A
a
kfaf
k

<=<∈


F

Do đó, với
0
k
≠

kf
đo được trên
A
.

(
)
v
Nếu
f
đo được trên
{
}
n
n
A
(hữu hạn hoặc đếm được) thì
f
đo được trên
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 20 -
j
n
n
A
U
.
Thật vậy,
,

vi
Nếu
f
xác định trên
A
,
(
)
0
Aµ
=
và
µ
đủ thì
f
đo được trên
A
.
Thật vậy,
,
a
∀∈
¡
ta có:

{
}
A
faA
<⊂

F
.

(
)
i
Nếu
f
đo được trên
A
thì với
0
α
>
, hàm
f
α
đo được trên
A
.
Thật vậy, với
0
α
>
, ta có:

{ }
{ } { }
Ø,a0;
,0.

∗
Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề trên nói chung không đúng. Nghĩa .
là, có thể xãy ra trường hợp
f
α
nhưng
f
không đo được.
Ví dụ: Xét hàm số:

()
1,;
1,.
xA
fx
xA
∈

=

−∉


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 21 -
Trong đó,
A
⊂
¡

)
ii
Nếu
f
và
g
đo được, hữu hạn trên
A
thì
fg
+
đo được trên
A
.
Gọi
{
}
n
n
r
là dãy các số hữu tỷ.

,
a
∀∈
¡
fga
+<
fag
⇔<−

⇒+
đo được trên
.
A∗
Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề trên nói chung không đúng. Nghĩa
là, nếu ta có
fg
+
đo được thì chưa suy ra được
f
và
g
đo được.
Ví dụ: Xét các hàm số

()



∉
∈
=
Ax
Ax
xf
,0
,1

và
(
)
Ag =+∞
−
,0
1
.
nên gf , là những hàm số không đo được trên
.
¡

Nhưng,
(
)
(
)
0,fgxx
+=∀∈
R
nên gf
+
đo được trên
.
¡

(
)
iii
Nếu

và
g
đo được, hữu hạn trên
A
thì
.
fg
đo được trên
A
.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 22 -
Thật vậy,
( ) ( )
22
1
.
4
fgfgfg

=+−−

nên
.
fg
đo được trên
.
A


∉


Với
,
AA
⊂
¡
là tập không đo được Lebesgue.
Rõ ràng,
,
fg
không đo được trên
¡
.
Nhưng,
(
)
(
)
.0,fgxx
=∀∈
¡
nên gf . là hàm đo được trên
.
¡

Nhận xét:
Hàm
f

)
v
Nếu
f
và
g
đo được, hữu hạn trên
A
thì
{
}
{
}
max,,min,
fgfg
đo được
trên
.
A

Thật vậy, ta có:

{ } ( )
1
max,
2
fgfgfg

=++−


vi
Nếu
f
và
g
đo được và hữu hạn trên
A
,
(
)
0,,
gxxA
≠∀∈
thì
f
g
đo
. được trên
.
A

Thật vậy, do
(
)
0,
gxxA
≠∀∈
nên:

,

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 23 -

⇒
2
1
.
A
a
g

<∈


F

Như vậy,
2
1
g
đo được trên
.A

Do
2
1
.
f
fg

}
sup
n
n
n
fx
∈
N
,
(
)
{
}
inf
n
n
n
fx
∈
N
,
(
)
{
}
lim
n
n
fx
∈

R
()
{ }
{
}
{ }
1
sup
nn
A
n
A
n
fxafa
≥
≤=≤∈
I
F,
a
∀∈
R
()
{ }
{
}
{ }
1

n
n
n
fx
∈
N
là những hàm đo được trên
.
A

Vì
1
liminfsup;
nm
n
mn
ff
≥
≥
=
1
limsupinf
nm
mn
n
ff
≥
≥
=
Nên suy ra

F ,
A
∈
F
.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 24 -
Hàm số
f
xác định trên
A
được gọi là hàm đơn giản nếu
f
đo được và nhận
một số hữu hạn những giá trị hữu hạn.
Như vậy, nếu
f
là hàm đơn giản không âm xác định trên tập
.
A
∈
F
Khi đó,
f

có dạng:

()
∑

ii
Aa
1
µ là tích phân của hàm đơn giản
f
đối với độ đo
µ
trên
.
A

Ký hiệu:
A
fd
µ
∫
.
Tích phân của hàm đơn giản không âm
f
được xác định bởi
(
)
*
là duy nhất với
mọi cách biểu diễn của hàm
f
.
1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm
Trước khi trình bày định nghĩa tích phân hàm đo được không âm, luận văn đề
cập lại định lý về cấu trúc của hàm đo được:

f
sao cho:

n
f
đơn giản,
0
n
f
≥
,
1
nn
ff
+
≥
, và
lim,.
n
n
ffa
→∞
=∀∈
¡

Chứng minh
• Ta chứng minh cho trường hợp 0
≥
f trên
.A

=∈≤<=



Đặt:

()
0
,
1
,
2
n
n
i
n
n
nxC
fx
i
xC

∈

=

−
∈



Do đó,
:
i
∃
()
nn
i
xf
i
2
2
1
<≤
−()
n
n
i
xf
2
1
−
=⇒

() ()
0
2
1

)
(
)
.lim xfxf
n
n
=+∞=
∞→

• Xét trường hợp f là hàm đo được bất kỳ trên
A
.
Khi đó,
fff
+−
=−

Vì
−+
ff , là các hàm không âm nên theo chứng minh trên tồn tại hai dãy
hàm đơn giản
{
}
{
}
−+
nn
ff , :
lim
n

⊕
Định nghĩa