Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
Chuyên đề 2: Hàm số và các vấn đề liên quan
Bài 2. Cực trị của hàm số
A- Kiến thức nền tảng:
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D,
0
( ; ) ; ( ; )a b D x a b
⊂ ∈
.
+) Nếu với mọi x thuộc (a;b),
0
x x
≠
luôn có
0
( ) ( )f x f x
<
thì ta nói f(x) đạt cực đại tại
0
x

hay
0
x
là điểm cực đại của hàm số f(x),
( )
0
f x
được gọi là giá trị cực đại của hàm số. Điểm
0 0

- Giá trị cực đại, cực tiểu
0
( )f x
nói chung chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
(a;b) chưa chắc chắc đã là GTLN,NN của hàm số trên TXĐ. Do đó giá trị cực đại chưa
chắc đã lớn hơn giá trị cực tiểu.
2. Dấu hiệu nhận biết
a) Dấu hiệu 1
Cho hàm số
( )y f x
=
có đạo hàm trên (a;b) chứa
0
x
( f(x) có thể không có đạo hàm tại
0
x
)
+) Nếu
'( )f x
đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua
0
x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
+) Nếu
'( )f x
đổi dấu từ (-) sang (+) khi x đi qua
0

x
y x x x x
= − − + + −
e)
1
2 2
x
y
x
+
=
−
f)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
g)
2
1
1
y x
x
= − +

= − + − +
b) Dấu hiệu 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a;b);
0
( ; )x a b
∈
:
+) Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x

=


<


thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
hay
0
x
là điểm cực đại.
+) Nếu
0

≠


thì hàm số đạt cực trị tại
0
x
hay
0
x
là điểm cực trị.
Bài tập ví dụ:
Bài 1. Tìm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau:
a)
4 3 2
8 22 24 10y x x x x
= − + − +
b)
2
siny x=
Bài 2. Tìm m để hàm số:
3 2 2
2 2y x mx m x= − + −
đạt cực tiểu tại x = 1
Bài 3. Tìm m để hàm số:
( )
3 2
3 5y x m x mx m= − + + + +
đạt cực trị tại x = 2
Bài 4. Tìm a,b để hàm số:
2

1
x
y
x
=
+
5)
4 2
6 8 18y x x x
= − − +
6)
2
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
7)
( )
2
sin cos ; 0;y x x x
π
= + ∈
8)
2
3 2y x x

x m
− +
=
−
luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.
Bài 3: Cho hàm số:
3
2 2
( 1) 1
3
x
y mx m m x= − + − + +
.
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Bài 4. Tìm a,b để hàm số:
2
2
2 ax 5x
y
x b
− +
=
+
đạt cực đại tại
1
2
x =
và
D
6

x x=
cho trước.
• Phương pháp 1: Sử dụng y’’
+) Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x

=


<


thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
hay
0
x
là điểm cực đại.
+) Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x

0
x
hay
0
x
là điểm cực trị.
• Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện cần và đủ:
+) Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
0
x x=
=>
( )
0
' 0y x m= ⇒
+) Sau đó thay m vào hàm số , khảo sát xem hàm số có đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
0
x x=

hay không ? Sau đó kết luận.
Ví dụ 1. Biện luận theo m số cực trị của hàm số:
3 2
x ( 1) 2 3y m x mx m= + + + − +
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
Ví dụ 2. Cho hàm số:
3 2
( 2) ( 1) 3y x m x m x m= + − + + + −

a. Tìm m để hàm số luôn có cđ, ct
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại c = -1
c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

1 2
,
sao cho
x x
1 2
1
3
− >
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
y x mx mx
3 2
1
1
3
= − + −
, với
m
là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2
8− ≥
.

thỏa
x x
1 2
4= −
.
Ví dụ 6. Cho hàm số
y x ax ax
3 2
1
3 4
3
= − − +
(1) (a là tham số).
Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại
x
1
,
x
2
phân biệt và thoả mãn điều kiện:
x ax a
a
a x ax a
2
2
1 2
2 2
2 1
2 9
2

( 3)
3 2
= − + −
(1), m là tham số.
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị
x x
1 2
,
với
x x
1 2
0, 0> >
và
x x
2 2
1 2
5
2
+ =
.
Ví dụ 10. Cho hàm số
y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + +
(m là tham số) (1).
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực
tiểu nhỏ hơn 1.
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
Ví dụ 11. Cho hàm số
m

Bài 1. Cho hàm số
y x mx m x
3 2 2
2 9 12 1= + + +
(m là tham số).
Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn:
CÑ CT
x x
2
=
.
Bài 2. Cho hàm số
( ) ( )
2
3
1
2 1 2 1
3 2
x
y x m m x m= + − + − + +
(m là tham số). Tìm m để:
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Hàm số có cực đại, cực tiểu tại
1 2
;x x
sao cho

Bài 6. Cho hàm số
( )
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m x= − + − +

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
D
2
C CT
y y+ >
Bài 7. ( Trích đề thi đại học khối B- 2014)
Cho hàm số
3
3 1y x mx= − +
(1) (m là tham số).
Cho A(2;3).Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị tại B,C sao cho diện tích tam giác ABC cân tại A.
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
Dạng 4. Đường thẳng đi wa cực trị và các bài toán liên đới.
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
3 2
2 3 1y x x
= − + +
bằng 2
cách.
Bài 2. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2

3 2
7 3= + + +
có đồ thị là (C
m
).
Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường
thẳng d:
y x3 7= −
.
Bài 6. Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 2= − − +
có đồ thị là (C
m
).
Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d:
x y4 5 0+ − =
một góc
0
45=a
.
Bài 7. Cho hàm số
y x x
3 2
3 2= − +

+) A,B nằm cùng về phía của trục Oy khi
1 2
0x x >
+) A,B nằm về hai phía của trục Ox khi
1 2
0y y <
+) A,B nằm cùng về phía của trục Ox khi
1 2
0y y >
+) A,B nằm đối xứng wa đường thẳng d khi
AB d
I d

⊥

∈

với I là trung điểm của AB
+) A,B cách đều đường thẳng d khi
/ /AB d
I d


∈

(với I là trung điểm của AB)
Ví dụ 3: Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 2= − − +

3 2= − +
(1)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng d:
y x3 2= −
sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Dạng 6. Bài toán tổng hợp về tính đối xứng của các điểm cực trị.
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
Bài 1. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3
3 3( 1)= − + − − +
(1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O
bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. (ĐS:
3 2 2m = − ±
)
Bài 2. Cho hàm số
y x mx x m
3 2
6 9 2= + + +
(1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị bằng
4
5
. ( ĐS :
m 1= ±
.)

2 3( 1) 6= − + + +
.
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho
AB 2=
.( ĐS: m = 2 v m = 0 )
Bài 6. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3
3 3( 1) 4 1= − + − − + −
(1)
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ∆OAB vuông tại O. ( ĐS:
1; 2m m= − =
)
Bài 7. Cho hàm số
y x x m
3 2
3= + +
(1)
Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho
·
AOB
0
120=
. ( ĐS:
12 2 3
3
m
− +
=
)

).
Tìm m để
m
C( )
có hai điểm cực trị
M M
1 2
,
sao cho các điểm
M M
1 2
,
và B(0; –1) thẳng hàng. ( ĐS: m = 4 )
Bài 11. Cho hàm số
y x m x m
3 2 3
1 4
( 1) ( 1)
3 3
= − + + +
(1) (m là tham số thực).
Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn
có phương trình (C):
x y x
2 2
4 3 0+ − + =
. ( ĐS:
m
1 1
2 2

3
2
= −
)
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
• Cực trị của hàm trùng phương

Ví dụ 1 Cho hàm số
4 2
2 3 1y x mx m= − + −
.Tìm m để:
a) Hàm số có 1 cực trị
b) Hàm số có 3 cực trị
Ví dụ 2: Cho hàm số
y x mx
4 2
1 3
2 2
= − +
(1)
Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại
Ví dụ 3 : ( Trích B- 2002) Cho hàm số :
( )
( )
4 2 2
9 10 1y mx m x= + − +
( m là tham số )
Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị.
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn
Phạm Nguyên Bằng – Công ty phát triển giáo dục An Sơn

của hàm số có
các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác:
a) có S =
4 2
b) đều
c) có góc bằng
0
120
Ví dụ 4. Cho hàm số
y x mx m
4 2
2 1= − + −
có đồ thị (C
m
) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một
tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
Ví dụ 5: Cho hàm số
y x m x m
4 2
1
(3 1) 2( 1)
4
= − + + +
(Cm).
Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O.

Tìm tất cả các giá trị của
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài
cạnh đáy bằng
2
3
lần độ dài cạnh bên. ( ĐS :
5
3
m = −
)
Bài 3: Cho hàm số
y x mx m m
4 2 4
2 2= − + +
có đồ thị (C
m
) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có
ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích
S 4=
.ĐS:
m
5
16=
.
Bài 4: Cho hàm số
y x mx m m
4 2 2

HD:
•
Ta có:
x
y x mx y
x m
3
2
0
4 4 ; 0

=
′ ′
= − = ⇔

=

. Hàm số có 3 điểm cực trị
⇔

m 0>
.
Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là:
A B m m C m m
2 2
(0;2), ( ; 2), ( ; 2)− − + − +
.
Gọi
I x y( ; )
là tâm của đường tròn (P) ngoại tiếp

= −


+ + + − = + −


⇔

x
y
m
0
1
1

=

=


=

.
Bài 6: Cho hàm số
y x m x m
4 2 2
2(1 ) 1= − − + +
(Cm).
Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. ( ĐS : m = 0 )
Bài 7: Cho hàm số