ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
 HOÀNG THN MINH THẢO PHƯƠNG PHÁP SỐ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR
Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số : 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS TÔ ANH DŨNG

song thân của tôi, những người luôn luôn kiên nhẫn, không bao giờ nề hà gian lao,
khó nhọc để sinh thành, nuôi dưỡng, dạy bảo tôi một cách tốt nhất.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2010
Tác giả luận văn
Hoàng Thị Minh Thảo 2

Lời nói đầu

Phương trình vi phân ngẫu nhiên có nguồn gốc phát sinh từ mô hình toán của
các hệ thống vật lý có nhiễu bản chất và tính không ổn định. Tiếp đó, các mô hình
toán có liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên tương tự như thế trở nên phổ
dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng như sinh học, dịch tễ học, cơ học,
kinh tế học và tài chính, v.v… Tuy nhiên, hầu hết các phương trình vi phân ngẫu
nhiên phát sinh từ thực tế nghiên cứu của các ngành khoa học ứng dụng lại không
thể được giải một cách chính xác. Do đó, xây dựng phương pháp để xấp xỉ nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên một cách hiệu quả với sự trợ giúp của máy
điện toán trở thành vấn đề rất quan trọng. Đến nay, một phần trọng yếu của vấn đề
vừa nêu đã được giải quyết và kết quả chính là các sơ đồ số cho phép xấp xỉ nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi giới thiệu một số sơ đồ số được xây
dựng trên cơ sở khai triển Ito-Taylor (còn gọi là khai triển Taylor ngẫu nhiên) của
quá trình ngẫu nhiên Ito, các sơ đồ số này cho phép tìm xấp xỉ Taylor của quá trình
ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito. Luận văn gồm có 4
chương:
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất sẽ được
đề cập đến nhiều lần trong nội dung các chương tiếp theo của luận

4

Mục lục Trang
Lời cảm ơn

Lời nói đầu

Mục lục

Bảng kí hiệu

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

§1.1. Không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.1 σ-đại số

Định nghĩa 1.1.2 Độ đo xác suất

Định nghĩa 1.1.3 Không gian xác suất


Định nghĩa 1.4.2 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.3 Hàm đặc trưng của vector ngẫu nhiên

1
2
4
9

10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
13
13
13
13


Ví dụ 2.1.3

Ví dụ 2.1.4

§2.2. Tích phân Wiener

Định nghĩa 2.2.1 Hàm đơn giản trên
[0, ]
TĐịnh nghĩa 2.2.2 Tích phân Wiener của hàm đơn giản

Định nghĩa 2.2.3 Tích phân Wiener

Ví dụ 2.2.1

Ví dụ 2.2.2

§2.3. Tích phân Ito

2.3.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp
T
N

Ví dụ 2.3.1

2.3.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito
của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp

23

24
25
6

§2.4. Quá trình Ito

2.4.1 Quá trình Ito 1-chiều

Định nghĩa 2.4.1

Định lý 2.4.1 Công thức Ito 1-chiều

Ví dụ 2.4.1.1

Ví dụ 2.4.1.2

Ví dụ 2.4.1.3

2.4.2 Quá trình Ito nhiều chiều

Định nghĩa 2.4.2

Định lý 2.4.2 Công thức Ito nhiều chiều

Ví dụ 2.4.2

§2.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito)


3.2.2 Tích phân Ito lặp

26
26
26
26
26
28
28
29
29
30
30
32
32
32
32
33

33
34
34
36
36
36

37
40
40
40


Ví dụ 3.3.3.2

Ví dụ 3.3.3.3

Chương 4. PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

§4.1. Một số khái niệm

4.1.1 Phép rời rạc hóa thời gian

4.1.2 Hội tụ mạnh

4.1.3 Hội tụ yếu

4.1.4 Tổng quan về các sơ đồ số
được trình bày trong chương 4

§4.2. Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh

4.2.1 Sơ đồ Euler-Maruyama

Ví dụ 4.2.1.1

Ví dụ 4.2.1.2

4.2.2 Sơ đồ Milstein

42

Ví dụ 4.2.2.1

Ví dụ 4.2.2.2

4.2.3 Sơ dồ Taylor mạnh bậc 1.5

Ví dụ 4.2.3.1

Ví dụ 4.2.3.2

§4.3 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor yếu

4.3.1 Sơ đồ Euler yếu

Ví dụ 4.3.1

4.3.2 Sơ đồ Taylor yếu bậc 2.0

Ví dụ 4.3.2

4.3.3 Sơ đồ Taylor yếu bậc 3.0

Ví dụ 4.3.3

§4.4. Sai số tuyệt đối và sai số trung bình

4.4.1 Sai số tuyệt đối

4.4.2 Sai số trung bình
9

Bảng kí hiệu

∅

d
R

1
≡
R R

A B
⊆

\
A B

a A
∈

i
i
A
U

)
2
L
Ω

A
I

h.c.c
. .
l i m

tập hợp rỗng
không gian Euclide d-chiều
không gian Euclide 1-chiều, tập số thực
tập A chứa trong tập B
phần bù của tập B trong tập A
a là phần tử của tập A
phần hội các tập
i
A

phần giao các tập
i
A

tổng các số hạng
i
a


(
)
Ω
P
là tập hợp tất cả các tập con của Ω.
Định nghĩa 1.1.1 Lớp
(
)
⊂ Ω
A P
được gọi là một
σ
-đại số nếu:
i)
Ω∈
A
(1.1.1)
ii)
(
)
\
A A
c
A A A
∈ ⇒ = Ω ∈
(1.1.2)

iii)
( )
1

( )
1
1,2, , , ,
n i j n
n
A n A A i j A
∞
=
∈ = ∩ = ∅ ≠ ∈
U
A A

( )
1
1
P P
n n
n
n
A A
∞
∞
=
=
 
 
 
⇒ =
∑U
(1.1.6)

)
{
}
1
X B X B
ω ω
−
= ∈Ω ∈ ∈
A
,
B
∀ ∈
B
(B là
σ
-đại số Borel trên R) (1.2.1)
Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định trên
không gian xác suất (Ω,A,P) là hàm số
( ) ( )
{
}
(
)
P ,
X
F x X x x
ω ω
= ∈Ω < ∈
R
(1.2.2)

1
/ P
P
A
E X A Xd
A
=
∫
(1.2.5)
Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và F là một
σ
-đại số con của A.
a) Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên
0
X
≥
đối với F là biến ngẫu nhiên
suy rộng không âm
(
)
[
]
: 0,
E X
Ω → ∞
F
sao cho:
i)
(
)

(
)
E X E X E X
+ −
= −
F F F
(1.2.7) §1.3. SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN

Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Cho biến ngẫu nhiên X và dãy các biến ngẫu nhiên
(
)
n
X
cùng xác định trên
không gian xác suất cố định (Ω,A,P).
Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên
(
)
n
X
được gọi là
hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X khi
( ) ( )
{
}
(

X
được gọi là hội
tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi
{
}
(
)
n
limP : ( ) ( ) 0, 0
n
X X
ω ω ω ε ε
→∞
∈Ω − ≥ = ∀ >
(1.3.3)
Sự hội tụ theo phân phối
Định nghĩa 1.3.4 Dãy hàm phân phối
(
)
n
X
F
xác định trên R được gọi là hội tụ căn
bản đến hàm phân phối
X
F
khi
(
)
(

(trong
d
R
) khi
(
)
(
)
(
)
,( ) ( )
n
d d
d
X X b
f x dF x f x dF x f C→ ∀ ∈
∫ ∫
R R
R
(1.3.5)
(
(
)
d
b
C
R
là tập hợp các hàm số liên tục bị chặn trong
d
R

n
k
a
a X m b e dx
k
n
σ π
−
→∞
=
 
 
 
≤ − ≤ =
∑
∫
(1.3.6) §1.4. VECTOR NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 1.4.1
(
)
1
, ,
d
X X X
=
là một vector ngẫu nhiên d chiều khi mỗi thành

)
(
)
, , ,
:
d
i t X i t X i t x
X X
t Ee e dP e dF x
ϕ
Ω
= = =
∫ ∫
R
(1.4.2)
trong đó,
( ) ( )
1 1
1
, , , , , , ,
d
d d
d d k k
k
t t t x x x t x t x
=
= ∈ = ∈ =
∑
R R



CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN §2.1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 2.1.1 Xét tập hợp vô hạn
T
⊂
R
, một quá trình ngẫu nhiên là một họ
các biến ngẫu nhiên
{
}
t
t T
X
∈
xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P).
Chú ý : Có thể xem một quá trình ngẫu nhiên như một hàm hai biến
: x
X T
Ω →
R

mà với mỗi t cố định thuộc T ta có một biến ngẫu nhiên
(
)
,
X t

X X
là Gauss với mọi tập con hữu hạn
{
}
1
, ,
n
I t t T
= ⊂
.
Đặc biệt, nếu
(
)
t
m t EX const
= =
và
(
)
(
)
(
)
, cov ,
t s
R t s X X R t s
= = −
với mọi
,
t s T

các số
gia
0 1 0 1
, , ,
n n
t t t t t
X X X X X
−
− −
là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Định nghĩa 2.1.4 Quá trình ngẫu nhiên
{
}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
được gọi là quá trình Wiener
khi :
i)
(
)
0
0 . . ;
W h c c
=
(2.1.1)
ii)
{

{
}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
được gọi là quá trình Wiener với tham số phương sai
2
σ
khi
{
}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
là
quá trình Gauss thỏa mãn
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0 và , min , , , 0

nào;
iii)
t
W
không khả vi tại bất kỳ điểm nào.
Chú ý : Quá trình Wiener có đạo hàm suy rộng là nhiễu trắng - thường được ký
hiệu bởi
t
W
•
- là quá trình Gauss dừng có hàm tương quan
(
)
(
)
,
R t s t s
δ
= −
, trong
đó
δ
là hàm Dirac (tức là
δ
thỏa mãn
0 , t 0
( ) và ( ) 1
+ , 0
t t dt
t

A A
(họ không giảm) (2.1.2)
•
t u
u t>
=
I
A A
(họ liên tục phải) (2.1.3)
• Nếu
A
∈
A
và
P( ) 0
A
=
thì
0
A
∈
A
(2.1.4)
b) Quá trình ngẫu nhiên
{
}
t
t T
X
∈

}
t
t T
X
∈
tương thích với bộ lọc
{
}
t
t T
∈
A
và thỏa
mãn các điều kiện sau:
• ,
t
E X t T
< ∞ ∀ ∈
(2.1.5)
•
(
)
P-h.c.c, ; ,
t s
s
E X X s t s t T
= ∀ ≤ ∈
A
(2.1.6)
Khi đó,

: ( ) ,
t
t t T
ω τ ω
≤ ∈ ∀ ∈
A
(2.1.7)

Ví dụ 2.1.1
Chúng ta xét một ví dụ đơn giản về việc mô phỏng quỹ đạo của quá trình
Wiener
t
W
với
[
]
0,
t T
∈
.
Phân hoạch
[
]
0,
T
thành N đoạn con bằng nhau:
0 1 1
0
N N
t t t t T

và
(
)
(
)
(
)
1 , 1, ,
W j W j dW j j N
= − + =

trong đó mỗi
(
)
dW j
là một biến ngẫu nhiên độc lập có dạng
(
)
0;1
dt N .
Giả sử
1 và 500
T N
= =
ta có một quỹ đạo mô phỏng của quá trình Wiener
t
W

như Hình 2.1:
17

B
.
Ký hiệu
{
}
(
)
,
t
X t T
σ
∈
là σ-đại số con bé nhất của A chứa tất cả các σ-đại số
(
)
,
t
X t T
σ
∈
và gọi
{
}
(
)
,
t
X t T
σ
∈

}
,
t
X t T
∈
là quá trình số gia độc lập tương thích với bộ lọc
{
}
,
t
t T
∈
A

sao cho
(
)
, và 0 , ; ,
t t s
E X t T E X X s t s t T
< ∞ ∀ ∈ − = ∀ < ∈
. Khi đó ta có
s
X

độc lập với các số gia
( )
t s
X X s t
− <

t t
X t T
∈
A
là martingale.
Ví dụ 2.1.4 Cho quá trình Wiener
{
}
,
t
W t T
∈
tương thích với bộ lọc
{
}
,
t
t T
∈
A
, khi
đó
{
}
, ,
t t
W t T
∈
A
là martingale.

 
 
∫
R
(2.2.1)
[
]
(
)
2
0,
L T
là không gian các hàm số bình phương khả tích
[ ]
( )
[ ]
2
2
0
0, : 0, ( )
T
L T f T f t dt
 
 
= → < ∞
 
 
 
∫
R

trong đó
0 1
0
n
t t t T
= < < < =
là phân hoạch của
[
]
0,
T
;
,
k
c c

(
)
0, , 1
k n
= −
là các số thực ;
(
]
1
, , 0, , 1;
k k k
A t t k n
+
= = −

L T
.
Định nghĩa 2.2.2 Với
f S
∈
và có dạng (2.2.3) thì tích phân Wiener của f trên
[
]
0,
T
được định nghĩa bởi:

( ) ( )
( )
1
1
0
0
:
k k
T
n
t k t t
k
I f f t dW c W W
+
−
=
= = −
∑

∫

(ii)
(
)
2
:I S L
→ Ω
là ánh xạ tuyến tính, tức là
( )
0 0 0
, , , ,
T T T
t t t
af bg dW a fdW b gdW f g S a b
+ = + ∀ ∈ ∀ ∈
∫ ∫ ∫
R
(2.2.6)
(iii)
(
)
2
:I S L
→ Ω
bảo toàn tích vô hướng của hai không gian Hilbert
[
]
(
)

(2.2.7)
Bây giờ xét hàm tất định bất kỳ
[
]
(
)
2
0,
f L T
∈ .
Vì S là tập trù mật trong không gian Hilbert
[
]
(
)
2
0,
L T
nên tồn tại dãy
n
f S
∈
sao
cho
[ ]
( )
2
0,
0
n

− → → ∞
.
Vậy
(
)
{
}
n
I f
là dãy Cauchy trong
(
)
2
L
Ω
(là không gian đủ) nên tồn tại giới hạn
theo nghĩa bình phương trung bình
( )
0
. .
T
n t
n
l i m f t dW
→∞
∫
.
Định nghĩa 2.2.3 Tích phân Wiener của hàm tất định f đang xét là biến ngẫu nhiên
( ) ( ) ( )
0 0

quá trình Wiener
[
]
{
}
, 0,
t
W t T
∈ và hàm hằng
1
f
≡
, ta có
( )
0 0
T T
t t T
f t dW dW W
= =
∫ ∫

Ví dụ 2.2.2
Cho
0,
T
>
quá trình Wiener
[
]
{

0 1 1
0
n n n n
n n
t t t t T
−
= < < < < =
L

đặt
(
)
(
)
)
1
khi , , 0, , 1
n n n
n j j j
f t f t t t t j n
+


= ∈ = −

thì
(
)
{
}

n
n
n j
t t
n
j
n
n n
n T n n j n j
t
n
j
T
T t
f t dW l i m f t dW
l i m f t W W
l i m f T W f W W f t f t
f T W f t W dt
+
+
→∞
−
→∞
=
−
+
→∞
=
=
= −

⊂ ∈A A
và quá trình Wiener
{
}
[ ]
0,
t
t T
W
∈
tương thích với họ
{
}
t
A
sao cho số gia
(
)
u t
W W u t
− >
sau thời điểm t
độc lập với σ-đại số
t
A
.
Ký hiệu
T
N
là lớp các hàm ngẫu nhiên

T
E f t dt
ω
< ∞
∫

2.3.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp
T
N

Hàm
T
ϕ
∈
N
là hàm sơ cấp khi nó có dạng:
( )
{ }
( )
1
0
0
,
k
n
k A
k
t
ϕ ω λ λ ω
−

(
)
0, , 1
k n
= −
,
(
]
1
, , 0, , 1,
k k k
A t t k n
+
= = −
và
A
I
là hàm chỉ tiêu của tập A.
Định nghĩa 2.3.1 Với
T
ϕ
∈
N
là hàm sơ cấp có dạng (2.3.1), tích phân Ito của
ϕ

được định nghĩa bởi:

( ) ( ) ( )
( )

(2.3.3)
( ) ( )
2
2
0
,
T
EI E t dt
ϕ ϕ ω
 
=
 
 
∫
(2.3.4)
Chứng minh. Vì
(
)
k
λ ω
là
k
t
A
-đo được và
(
)
1k k
t t
W W

 
⇒ − =
⇒
A

Lý luận tương tự, ta có :
( )
( )
( )
( )
1 1
2
1
0 khi
khi
2.3.4
i i j j
i j t t t t
j j j
i j
E W W W W
E t t i j
λ λ
λ
+ +
−
≠


− − =

2
0
lim 0
T
n
n
E g dt
ϕ
→∞
 
− =
 
 
∫
(2.3.5)
b) Với
T
h
∈
N
bị chặn thì tồn tại dãy hàm
n T
g
∈
N
bị chặn và
(
)
,
n

∈
N
bị chặn sao cho
( )
2
0
lim 0
T
n
n
E h f dt
→∞
 
− =
 
 
∫
(2.3.7)
ta kết luận rằng với
T
f
∈
N
tồn tại dãy hàm sơ cấp
n T
ϕ
∈
N
bị chặn sao cho
( )

∈
N
được định nghĩa bởi:
( ) ( ) ( )
0 0
, : . . ,
T T
t n t
n
I f f t dW l i m t dW
ω ϕ ω
→∞
= =
∫ ∫
(2.3.8)
(ký hiệu l.i.m chỉ giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình)
Đẳng cự Ito :
( )
2
2
0 0
, ( , )
T T
t
E f t dW E f t dt
ω ω
   
=
   
   

W
=
và
0
T
>
, ta có
( )
2
0
1
2
T
t t T
W dW W T
= −
∫

Thật vậy, với phân hoạch gồm n đoạn bằng nhau
0 1 1
0
n n
t t t t T
−
= < < < < =
L

đặt
( ) ( )
)

1
1
1
2
2
0
0
1
2
0
1
0
2
1
2
1
0
1
2 2
j
j
j
j
j
j
j
j
t
T
n

=
−
+
=
 
 
 
− = −
 
 
 
 
 
= −
 
 
= −
= − =
∑
∫ ∫
∑
∫
∑
∫
∑

24

Khi làm mịn phân hoạch thì
2

nên
( )
1
1
0
0
j j
n
T T t t
j
W W W W W
+
−
=
= − = −
∑
và
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1
1 1
1 1
2
2
0 0
1 1
2
0 0
2

2
0
. . 0
j j
n
t t
n
j
l i m W W T T
+
−
→∞
=
− = − =
∑
.
Do đó
( )
1
1
2
0
0
2 . .
2
j j j
n
T t t t
n
j

([5])
i)
(
)
2
:
T
I L
→ Ω
N
là ánh xạ tuyến tính
ii)
( ) ( )
[
)
2
2
, , , 0,
T T
t
s s
E f t dW E f t dt s T
ω ω
   
= ∀ ∈
   
   
∫ ∫
(2.3.11)
iii)