8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
1
Điềukhiểnsố
(Digital Control Systems)
Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo
chương của giáo trình cùng tên
(Version 4, 11/2008)
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
2
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.1
Mộttínhiệugiánđoạnvề
thờigianđượcmôtả bởi:
()
1
1
1
1
z
Uz
z
z
−
==
−
−
Lờigiải:
Dễ dàng tìm ảnh z của tín hiệukể trên bằng cách tính tổng

()
1
00
1 khi 0 1 khi 0,1, 2,
11 1
0khi 0 0khi 0
k
k
k
kk
tk
ut u U z z z
tk
∞∞
−−
==
⎧⎧
≥=
⎪⎪
⎪⎪
== ⇒ = ⇒ = ⋅=
⎨⎨
⎪⎪
<<
⎪⎪
⎩⎩
∑∑
…
()
0

3
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.3
Ví dụ 1.2.4
Hãy tìm ảnh z của hàm e mũ (hàm exponent) !
() ( ) ( )
()
1
00
;0 ; 0,1,2,
k
at akT akT k aT
k
kk
ft e t fkT f e k Fz e z e z
∞∞
−−
==
=≥⇒ == = ⇒ = =
∑∑
…
Kếtquả tính tổng củachuỗilà:
()
1
1
11
aT
aT aT
ez

23
3
12 12
1
2
11 1
11
1
Tz Tz Tz
Tz Tz
Fz a
Tz
zz z
aT z z aT z z
zz z
zz aTz
aT z
zz
z
−−−
−−
−
−− −−
−
⎡
⎤
+++
⎢⎥
⎢⎥
++

4
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.5
Bổ xung lý thuyết:
Tìm hàm gốccủa ảnh z cho trướcbằng phương pháp tách phân thứchữutỷ thành
các phân thứctốigiản. Sau đólầnlượt tìm hàm gốccủa các phân thứctốigiản.
k
z
a
za
⇔
−
()
()
1
;1,2,
1
1
1
km
m
m
km
k
z
am
m
za
k

⎟
−
⎝⎠

•Điểmcực đơn:
•Điểmcựclặplại m lần:
Cho trước ảnh z có dạng phân thức:
()
2
0,9
0,5 0, 4
0,1 0, 2
zzz
Fz
zz
zz
==−
−+
−−
Áp dụng công thức để tìm hàm gốc:
()
0,5 0,4
k
k
k
f =−−
Ví dụ:
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
5

1
2
0,4
z
0,9 0,5
0,5 Res lim 0,5
0,5 0, 4
0,9 0,4
0,4 Res lim 0,4
0,5 0, 4
k
kk
z
k
k
k
z
zz z
zFzz
zz
zz z
zFzz
zz
−
−
→
−
−
→−
⎧

⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎪
−+
⎪
⎢⎥
⎣
⎦
⎪
⎩
⎪
Có hai điểmcực z
1
, z
2
, vậy khi:
Hàm gốccódạng sau:
()
0,5 0,4
k
k
k
f =−−
Ví dụ 1.2.6
Bổ xung lý thuyết:
Tìm hàm gốccủa ảnh z cho trướcbằng phương pháp tính
Residuum. Khi z = z
ν
là điểmcực

1
Res lim
1!
Res lim
m
m
kk
m
zz
kk
zz
d
Fzz Fz z z z
m
dz
Fzz Fz z z z
ν
ν
ν
ν
ν
ν
−
−−
−
→
−−
→
⎡
⎤

kkkkk
xuuuu
−− −
=+++
Có thể giảmnhucầu tính toán bằng cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó:
()
1 1234
1
4
kkkkk
xuuuu
−−−−−
=+++
Vậy:
()
14
1
4
kk kk
xx uu
−−
=+ −
Ví dụ 1.3.2 Mô tả khâu có bảnchấtgiánđoạnbằng hàm truyền đạt
( ) () () () () ()
4
14
14
1
1111
444

Gz
Uz
z
−
−
−
==
−
Phép tính trên đượcgọilàthuật toán tính giá trị trung bình trượt, đặctrưng cho một khâu có
bảnchấtgiánđoạn.
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
7
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.3 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Hãy tìm hàm truyền đạtcủakhâutỷ lệ có quán tính bậcnhất (khâu PT1):
()
1
1
1
Gs
s
T
=
+
Cách 1:
() ()
(

1
1
kT
T
kT
k
TT
zz
he Hz
z
ze
−
−
=− ⇒ = −
−
−
•Vậyhàmtruyền đạtcódạng:
()
()
()
1
11
1
11
11
TT
TT TT
ze
Gz z Hz
ze ze

cách tìm ảnh củatừng phân thức
tốigiản:
()
{}
()
()
()
()
1
1
1
1
1
1
1
TT
TT
TT
zz
Hs Hz
z
ze
e
Gz z Hz
ze
−
−
−
−
Ζ==−

Gs T T T
u s sT sT sT
== ≠≠
++ +
…
…
Hãy tìm hàm truyền đạttrênmiền ảnh z cho đốitượng sau:
•Tách H
S
(s) thành các phân thứctốigiản:
()
()
12 0
12
12
12
0
1; 1;
11 1
11 1
11 1
111
;1,2,,
S
mm
S
m
m
mm
i

⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
==− −+ =
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠
∏∏


…
…
•Chuyển H
S
(s) sang miền ảnh z:
() ()

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
=+ ⇒Ζ = +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟⎜
−
⎜
⎟
⎟
⎜
+

111
1
1
j
i
i
T
T
m
mm
T
T
i
ijji
i
SS
T
m
T
i
Aze zA ze
Gz z Hs
ze
−
−
−−−
==≠
=
−
−

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∑
∏∏
∏
•Quy đồng mẫusố:
•Ví dụ bằng số cụ thể: m = 3; K = 1; T
1
= 10s; T
2
= 7,5s; T
3
= 5s
Bảng: Hệ số của G
S
(z) với các chu kỳ trích mẫu T khác nhau
0,22608
0,26433

0,958
-0,1767
0,0750
0,00269
0,00926
0,00186
-2,25498
1,68932
-0,42035
0,01399
b
1
b
2
b
3
a
1
a
2
a
3
∑b
i
=1+∑a
i
12108642T [s]
Nhậnxét:Khi tăng dần T
•Giá trị các tham số a
i

Ví dụ 1.3.5 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc2(khâu PT2), được điềukhiểnbởitínhiệuvàocódạng
bậc thang. Đây là khâu liên tục mang tính điểnhình. Để dễ so sánh, ta chọn đốitượng là động
cơ mộtchiều (ĐCMC), được điềukhiểnbởi điện áp nuôi ở phầ
n ứng.
Gọi u
A
(t) là điệnápnuôivàn(t) là tốc độ quay, ĐCMC có mô hình trên miền ảnh Laplace sau:
()
(
)
(
)
2
1
A
mech mech el
Ns
K
Gs
Us
s
TsTT
==
++
()
1
2
0

T
1
= 1sec và T
2
= 0,2sec:
()
()()
2
12
1
8
61
11
1
55
==
++
++
K
Gs
sT sT
s
s
•Ta đãbiếtcôngthức:
() () ()
{
}
()
()
()

⎪⎪
⎩⎭
S
Gz K z K
ssT sT
•Thay H(s) vào ta có:
•Sau khi tách phân thứctrongngoặc {…} thành các phân thứctốigiảnvàápdụng công
thức(trang17, mục 1.3.2b của giáo trình) ta có:
()
()
51 5 62
51 62
51 15
1
1
44 44
;
8
1
TT TTT
S
TT T
eez eeez
Gz K K
eezez
−−− −−−−
−−−−−
⎛⎞⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
12
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng mô
hình trạng thái gián đoạn
Ví dụ này sử dụng ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 để
minh họaphương thứcmôtả bằng mô hình
trạng thái gián đoạn. Vì ĐCMC là đốitượng
SISO, mô hình có cấutrúcnhư hình bên.
•ĐCMC có thểđượcmôtả bởiphương trình vi phân bậc2 (xuấtphátđiểmcủakhâuPT2 ở
ví dụ 1.3.5) sau đây:
210
A
an an an u
•• •
++=
32
21 00
00
848
sec ; sec ; 8 sec
55
AA
LJ RJ
aVa VacV
kk
ψ
ψψ

22 2
1
1
qq
a
a
qqqu
aa a
xq
•
•
⎧
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=− − +
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪

cq
[]
0
1
2
22
01
0
0
01
;;10;0
1
5
56
8
d
a
a
a
aa
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎡⎤
⎢⎥

()
()()
()
()
()
;0,1,2,νν
−
=− + − =
∫
ΦΦ 

k
k
t
kk k
t
tt
tttt tdutk
h
qq b
•Có thể tìm ma trận chuyểntrạng thái
bằng biến đổi Laplace ngược:
(
)
(
)
{
}
1
1t

⎦⎣⎦
IA IA
•Từ:
ta thu được:
()
55
55
5
1
55 5
4
tt tt
tttt
ee ee
t
ee ee
−− −−
−− −−
⎡
⎤
−−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−+ −+
⎢
⎥
⎣

555
48 32
ϑϑ
ϑϑ
ϑν ϑϑ
−− −−
−− −−
⎡
⎤⎡ ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
−+ −+
⎢
⎥⎢ ⎥
=− ⇒ =− = =
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
−−
⎣
⎦⎣ ⎦
∫
Φ
t
tt
t
tt
ee ee
tt d

ee ee
qk qk
ee
uk
ee ee
qk qk
ee
−− −−
−−
−− −−
−−
⎡
⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎢⎥
+
−+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
−+ −+
+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦

⎧
⎪
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩
qqh
cq
Φ
Giả sử, ĐCMC có mô hình trạng thái gián đoạnchotrướcnhư kếtquả củavídụ 1.3.5. Hãy
tìm hàm truyền đạtgiánđoạncủa động cơ !
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
15
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
Bổ sung công thức: Ký hiệu adj(A) đượcgọilàma trậnbùcủama trận A. Ma trậnbùadj(A)
có kích cỡ giống A, với các phầntửđượctínhtheocôngthứcdet(A
ik
) nhân với (-1)
i+k
. Trong
đó, A
ik

=− =
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦


 





nn
nn
n n nn n n nn
n
ik
n
ik ik ik
nn nn
aa a AA A
aa a AA A
adj

⎡
⎤
⎢
⎥
−+ −+
⎢
⎥
⎢
⎥
−=
⎢
⎥
−+−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
I Φ
(
)
(
)
(
)
(
)
()
256 5

⎪
⎢⎥
⎪
−+ −+
⎪
⎢⎥
⎪
⎢⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
⎩
Φ
Φ
TT T T T
TT TT
TT TT
zzeeezeze
ze e e e
adj z
eezee
I
I
•Với:
ta tính được:
•Với:
ta tính đathứctử số củahàmtruyền đạt:
[]()
5

()
556
15 1 1 5
1
84 4 4 4
−− −−−
⎡⎤
−=
⎣⎦
⎡
⎤
⎛⎞
⎟
⎜
⎢
⎥
−+ +− +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
Φ
T
TT TTT
adj z

•ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được nuôi bởi điệnápdạng bậc thang với ảnh Laplace:
() () ()
(
)
(
)
(
)
58
1
15
sT
SH
Gs G sGs e
ss s
−
==−
++
•Tra bảng biến đổi z mở rộng ta có công thức:
(
)
(
)
11
1
aT bT
aT bT
zbze aze
ssasb abz ab ab
ze ze

8 0,81873 0,36788
S
ze ez e e
ee
Gz
zz
εε ε ε
εε
ε
−− − −
−−
⎡⎤
−+−− +
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+− +
⎢⎥
⎣⎦
=
−−
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
18
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 (tiếp)
()
()()
0,00857 0,00575

2
1
2
0,002573 0,010595 0,001156
,
1 0,81873 0,36788
zz
z
Xz
zz z
⎡
⎤
−+
⎢
⎥
⎣
⎦
=
−− −
•Khi áp dụng phép biến đổi z ngượctathuđược tín hiệusố, cho phép tính giá trị của
chuỗi[x
k+½
], trùng với các giá trị của x(t) ở chính giữahaithời điểmtríchmẫu.
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
19
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.9 Mô tả hệ gián đoạncótrễ khi tín hiệu vào có dạng bậc thang
•Hãy tìm hàm truyền đạt G

+
⎪⎪
⎩⎭
a) Khi d = T
d
/T là số nguyên lần:
()
()
(
)
()
()
(
)
13
1
12 12 2
11 1
1
1 0,6321
11
1
1 1 0,3679
−−
−
−− −− −
−− −
⎧⎫
−
⎪⎪

1
0,3297 0,3024
1;0,4
1 1 0,3679
d
ez e ez
z
Gz z zHz z
ez z
−− − −−
−
−− −
−− −
−+−
+
=− = =
−−
Chú ý: Việc tìm ảnh z (có hay không có mở rộng) đượctiếnhànhvớisự trợ giúp củabảng
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
20
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.1 Sử dụng phép biến đổitương đương
11
11
z
w
wz
z

=+ +
⎛⎞⎛⎞
++
⎟⎟
⎜⎜
=+ +
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝⎠
−−
=+ + + − + −
=− + + − ++ +
−+ > < ++>
•Cho trước đathức đặc tính bên:
•Thay vào N(z) thu được N
1
(w):
1
1
w
z
w
+
=
−
•Nhân N
1
(w) với(1-w)

22
12 21
1221
;
1
00
1
1
1
SR
Bz
bz b z
Gz Gz K
az a z
Az
Nz Az KBz z a bKz a bK
Kab
Kaa bb
Kaabb
−
−−
−−
−
−−
+
===
++
=+ =⇒++++=
⎧
⎪

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
21
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.2 Sử dụng quỹđạo điểmcực
Tiếptụcxét ĐCMC vớithamsố cho ở ví dụ 1.3.5.
Hàm truyền đạt G
S
(z) đã tìm được ở trang 9.
•Có thể G
S
(z) viếtlạinhư sau:
()
()( )
56
5
5
5
54
51
45
1
44
TT T
TT
TT
S
TT
ee e

00
0,6714
0,06856
0,8187 0,3679
z
Gz rK
zz
+
=
−−
•Môhìnhtrêncó1 điểm không
z
D
= -0,6714 và 2 điểmcực
z
1
= 0,8187; z
2
= 0,3679
Theo mục 2.1.3, cấutrúctrênsẽ có quỹđạo điểm
cựcdạng hình tròn với bán kính r = 1,244 như bên.
Tâm của đường tròn quỹđạo trùng vớivị trí điểm
không z
D
. Điểmgiớihạncủa ổn định là giao điểm
củaquỹđạovới đường tròn K
0
= r
0
K = 15,18.

= 10
(
)
(
)
(
)
2
0,84381 0,53119
0,422 0,594 0,422 0,594 0
Nz z z
zjzj
=− +
=− − − + =
(
)
(
)
(
)
2
0,50101 0,76119
0, 251 0,836 0,251 0,836 0
Nz z z
zjzj
=− +
=− − − + =
Nhậnxét:Theo biểu đồ ở mục 2.1.4, trường hợp đathức đặctínhlàbậc2 vàcặp điểm
cựcphứcliênhợpcóphầnthựcdương sẽ tạonênđáp ứng đầuraổn định và không chứa
thành phần điều hòa (không chứa thành phầnhìnhsin).

5, 04sec
42,58sec
0,308 arccos 72
ee
e
ee
T
e
me
e
ee
e
e
T
he
e
T
T
T
DD
δω
δ
ωω
δ
πω
δ
ωδω
δ
δω ϕ
−

⎪⎪
⎪⎪
≈=
⎪
⎩
⎪
==⇒= =
⎪
⎪
⎩

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
24
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.2 Thiếtkế trên miềnthờigianxấpxỉ liên tục
Ví dụ 2.2.1 Khâu ĐC theo luậtPI đãbiếttrước
()
(
)
(
)
(
)
(
)
12
18
11 110,2
S

48,19 38,55
1
R
z
Gz
z
−
−
−
=
−
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
25
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.3 Thiếtkế trên miềnthời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.1 Thiếtkế trên cơ sở các tiêu chuẩntíchphân(mục 2.3.1c)
Bổ xung lý thuyết:
•Vì việctínhbộ tham số tối ưu chính xác theo TC tích phân thường khó khăn, ta có thểđơngiản
hóa vấn đề bằng cách đưaramộtsố hạnchế trước. Từđótasẽ dễ dàng thu được bộ tham số cận
tối ưu (suboptimal).
•Cố gắng chọn khâu ĐC có phương trình sai phân bậccàngthấp càng tốt.
Minh họa:
Ta chọn khâu ĐC có đặc tính PI và chọn p
1
= -1. Vậyta
chỉ phảitìmr
0
và r
1

01 1 0 1
2
1 ; 0,1, 2,
kk
ur
urru rr
urru k rkrk
−
=
=++ = +
=++ = + + =


•Hệ có trễ: Sai lệch ĐC có dạng e
k
= 1
k
, các giá trịđầuralà vàtacó:
Vì biên độ đầu tiên u
0
do chính r
0
quyết định, ta có thể cho trướcbiênđộ đó để xác định r
0
.
Vậy:
10 1 0
uu r r
≤
⇒≤−