MỤC LỤC
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 3: Hàm Green ở nhiệt độ khác không 2
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Hàm Green Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Hàm Green trễ và nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Phương trình Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
NỘI DUNG
Chương 3
HÀM GREEN Ở NHIỆT ĐỘ KHÁC KHÔNG
(Sách: A-Many-particle physics)
3.1 Giới thiệu
U
1
=
1
i

α

,α
ψ
∗
α
(

R, t)ψ
α
(

α
1
,α

(3.2)
U
n
=
1
(i)
n

α

,α
1
α
n−1
,α
ψ
∗
α
(

R, t)ψ
α
(

R, t)G
α,α

Một hàm Green có thể có của điện tử là
Tr

e
−βH
C
pσ
(t)C
†
pσ
(t

)

Tr (e
−βH
)
(3.4)
C
pσ
(t) = e
itH
C
pσ
e
−itH
(3.5)
Ở đây, ký hiệu "Tr" biểu thị vết và là tổng trên một bộ số hoàn
chỉnh các trạng thái
Tr ≡

thời gian như một nhiệt độ phức. Mục đích là để xử lý t và β là phần
thực và phần ảo, yêu cầu chỉ khai triển ma trận S.
Một động cơ thúc đẩy cho các phương pháp Matsubara được đưa ra
bằng cách kiểm tra các số lấp đầy các trạng thái cho boson (e
βω
q
−1)
−1
và fermion (e
βξ
p
+ 1)
−1
. Mỗi một trong số này có thể được khai triển
trong một chuỗi (ξ
p
= ε
p
− µ):
n
F
(ξ
p
) =
1
e
βξ
p
+ 1
=

n=−∞
1
2niπ/β − ω
q
(3.9)
Những chuỗi có thể được bắt nguồn từ một định lý nói rằng bất
kỳ hàm phân hình có thể được khai triển như một phép tổng ở trên
các cực và các thặng dư tại các cực của nó. Hệ số lấp đầy boson

e
βω
q
− 1

−1
có các cực tại ω
q
= 2niπ/β và hệ số fermion

e
βξ
p
+ 1

−1
có các cực tại ξ
p
= (2n + 1)iπ/β. Nó sẽ thuận lợi cho việc xác định
4
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình

n
− ω
q
(3.12)
là bản chất của hàm Green. Thực sự, nó là hàm Green không tương
tác trong phương pháp Matsubara.
Trong phương pháp Matsubara, thời gian sẽ trở thành một số phức,
mà thường gọi là τ, ở đây τ = it. Hàm Green là hàm của τ với miền
xác định
−β ≤ τ ≤ β (3.13)
Biến đổi Fourier lý thuyết trạng thái cho rằng nếu hàm f(τ) là xác
định trên phạm vi (−β ≤ τ ≤ β)
f(τ) =
1
2
a
0
+
∞

n=1

a
n
cos

nπτ
β

+ b

dτf(τ)sin(
nπτ
β
) (3.16)
Một cách khác để viết biến đổi Fourier là xác định
f(iω
n
) =
1
2
β(a
n
+ ib
n
) (3.17)
và do đó
f(τ) =
1
β

n = −∞
∞
e
−inπτ/β
f(iω
n
) (3.18)
f(iω
n
) =

(3.21)
và các biến số biến đổi trong hai giới hạn từ τ tới (τ + β) dẫn tới
f(iω
n
) =
1
2
(1 + e
inπ
)

β
0
dτf(τ)e
inπ/β
(3.22)
6
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Biểu thức f(iω
n
) = 0 khi n là số nguyên lẻ cho các boson
f(iω
n
) =

β
0
dτe
iω
n





boson (3.23)
Kết quả này phù hợp với tính toán trước đó (??) tần số boson chỉ
chứa số nguyên chẵn.
Tương tự, hàm Green fermion sẽ có những tính chất sau
fermion:f(τ) = −f(τ + β) khi −β < τ < 0 (3.24)
Các thao tác tương tự trên tích trong (3.19) cho
f(iω
n
) =
1
2
(1 − e
inπ
)

β
0
dτf(τ)e
inπ/β
(3.25)
Trong trường hợp này f(iω
n
) = 0 nếu n là chẵn, trong khi đối với n
là số nguyên lẻ thì:
f(iω
n












fermion (3.26)
Những phương trình này là đồng nhất với (3.23) chỉ có khác biệt duy
nhất là hiệu tần số ω
n
là số nguyên chẵn hoặc là lẻ. Từng cặp của
phương trình sẽ sử dụng thường xuyên để xác định các khai triển
Fourier của hàm Green.
7
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Có hai ưu điểm lớn của phương pháp Matsubara là nó dẫn chúng
ta trực tiếp tới kết quả. Trong bản chất, (3.10) và (3.11), một số công
thức Kubo được suy ra từ các định nghĩa của vật lý như độ dẫn điện,
độ cảm ứng từ Trong công thức (3.6) cho biết hàm tương quan chỉ
là hàm Green sơ ban đầu. Cuối cùng nó thể hiện cho hàm Green
Matsubara dẫn trực tiếp tới hàm ban đầu Hàm Matsubara sẽ là hàm
của tần số phức iω
n
, chẳng hạn như f(iω
n


)

(3.27)
G(p, τ − τ

) = −Tr[e
−β(H−µN−Ω)
T
τ
e
τ(H−µN)
×C
pσ
e
−(τ−τ

)(H−µN )
C
†
pσ
e
−τ

(H−µN )
] (3.28)
e
−βΩ
= Tr


của T để phân biệt các toán tử từ nhiệt độ. Thế nhiệt động lực học Ω
trong exp(−βΩ) là yếu tố chuẩn hóa cho một trung bình nhiệt động
lực học. Ký tự G đã được đã được sử dụng cho các hàm Matsubara.
Ký tự này sẽ luôn nhắc nhở người đọc rằng đây là hàm Green của thời
gian phức và tần số phức.
9
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Trong (3.27) hàm Green bên vế trái đã được viết như một hàm của
hiệu (τ − τ

), mặc dù vế phải không hẳn là một hàm của hiệu. Bây
giờ chứng minh cho trường hợp này. Ban đầu, viết hàm Green cho các
trường hợp riêng biệt cho τ > τ

và τ < τ

K ≡ H − µN (3.30)
G(p, τ − τ

) = −Θ(τ −τ

)Tr

e
−β(K−Ω)
e
τK
C
−(τ−τ



(3.31)
Sự thay đổi ký hiệu trong số hạng thứ hai xuất hiện bất cứ khi nào
hai toán tử fermion là đổi chổ cho nhau. Tiếp theo, sử dụng định lý
cho vết là không thay đổi bởi một biến thiên tuần hoàn của các toán
tử
Tr(ABC Y Z) = Tr(BC XY ZA) (3.32)
để các toán tử của e
(
τ

−K) bên trái. Khi này phương trình (3.31) có
thể viết lại như sau
G(p, τ − τ

) = −Θ(τ −τ

)Tr

e
−τ

K
e
−β(K−Ω)
e
τK
C
pσ
e

(3.33)
Tiếp theo giao hoán các toán tử số mủ:
e
−τ

K
e
−β(K−Ω)
= e
−β(K−Ω)
e
−τ

K
(3.34)
vì cả hai đều có toán tử đơn điệu K [ thế nhiệt động lực học Ω không
phải là một toán tử mà là một hàm vô hướng của β và µ, được xác
10
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
định trong (3.29)]:
G(p, τ − τ

) = −Θ(τ −τ

)Tr

e
−β(K−Ω)
e
(τ−τ

C
pσ

(3.35)
Vế phải của công thức trên là một hàm duy nhất của tổ hợp (τ −τ

).
Hàm Green có thể được viết như là một hàm của hiệu. Nó loại bỏ một
biến thời gian vì nó là không cần thiết. Một định nghĩa tương đương
của hàm Green là
G(p, τ) = −

T
τ
C
pσ
(τ)C
†
pσ
(0)

(3.36)
= −Tr

e
−β(K−Ω)
T
τ
(e
τK

τK
C
pσ
e
−(τ+β)K
C
†
pσ

(3.39)
Thừa số e
βΩ
không có tính chất tuần hoàn, không phải là một toán
tử.Chúng ta có thể nhóm lại bằng cách thêm e
(±βK)
vào vế đầu để
được:
τ < 0 : G(p, τ ) = Tr

e
−β(K−Ω)
e
(τ+β)K
C
pσ
e
−(τ+β)K
C
†
pσ

n
) (3.43)
Phương trình (3.42) được coi là định nghĩa của G(p, iω
n
) với (iω
n
) là
bội số lẻ của π/β cho fermion.
Hàm Green không tương tác hoặc hàm Green cho hạt tự do thu
được từ (3.37) bằng cách sử dụng Hamiltonian:
H = H
0
=

pσ
ε
p
C
†
pσ
C
pσ
(3.44)
K = K
0
=

pσ
ξ
p

†
pσ
(τ) = e
τK
0
C
†
pσ
e
−τK
0
= e
ξ
p
τ
C
†
pσ
(3.48)
có thể dễ dàng bắt nguồn từ định lý Baker-Hausdorff theorem:
e
A
Ce
−A
= C + [A, C] +
1
2!
[A, [A, C]] +
1
3!

−ξ
p
τ
{Θ(τ)[1 −n
F
(ξ
p
)] − Θ(−τ)n
F
(ξ
p
)} (3.51)
= −e
−ξ
p
τ
[Θ(τ) −n
F
(ξ
p
)] (3.52)
ở đây n
F
(ξ
p
) là kỳ vọng của toán tử số: n
F
(ξ
p
) =< C

G(p, τ) = −(1 −n
F
)

β
0
dτe
τ(iω
n
−ξ
p
)
G
(0)
(p, iω
n
) = −
(1 − n
F
)(e
β(iω
n
−ξ
p
)
− 1)
iω
n
− ξ
p

n
) =
1
iω
n
− ξ
p
(3.58)
Dễ thấy từ (3.53) với [1 −n
F
] = 1/(e
−βξ
p
+ 1). Phương trình (3.58) là
hàm Green không tương tác cho các electron.
Kết quả cho G
(0)
không có dạng như (3.4). Thông tin nhiệt độ vẫn
còn trong biểu thức này nhưng bây giờ chỉ có tần số (2n + 1)π/β.
13
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Phonon và hàm Green phonon được định nghĩa là hàm có tính
chất đơn điệu . Chúng rõ ràng là tương tự nhau, vì vậy chỉ có phép
lấy đạo hàm của hàm Green phonon là được trình bày ở phần cuối.
Cho phonon trong khoảng thời gian −β ≤ τ ≤ β, hàm Green là:
D(q, τ − τ

) = − < T
τ
A(q, τ)A(−q, τ

A(−q)e
τH
A(q)e
−τH

(3.63)
Sử dụng hoán vị tuần hoàn của các biến trong vết:
τ < 0 : D(q, τ) = −Tr

e
βΩ
e
τH
A(q)e
−(τ+β)H
A(−q)

(3.64)
τ < 0 : D(q, τ) = −Tr

e
−β(H−Ω)
e
(τ+β)H
A(q)e
−(τ+β)H
A(−q)

(3.65)
Trong đó chứng minh

n
= 2nπk
B
T (3.69)
Phương trình (3.69) đưa ra định nghĩa hàm Green phụ thuộc tần số.
Sự khác biệt giữa (3.20) và (3.24) chỉ là dấu thay đổi. Hàm fermion
có sự thay đổi dấu bởi vì các toán tử trong nó tuân theo hệ thức phản
giao hoán, trong khi các boson không thay đổi dấu bởi vì các toán tử
của nó tuân theo hệ thức giao hoán. Tất nhiên, thay đổi này là kết
quả của sự khác biệt cơ bản giữa boson và fermion. Sự thay đổi dấu
này đảm bảo cho sự thay đổi dấu giữa ±1 trong hai hình thức của
phân phối nhiệt: (e
βξ
p
+ 1)
−1
và (e
βω
q
−1)
−1
. Ta phải chú ý dấu trong
bài toán fermion với nhiều toán tử.
Cho các phonon không tương tác hoặc là hàm Green phonon tự do
thu được bởi: H = H
0
=

q
ω

a
†
q
e
−τH
0
= e
τω
q
a
†
q
(3.71)
Luôn nhớ rằng [a
q
(τ)]
†
= a
†
q
(τ). Hàm Green không tương tác là
D
(0)
(q, τ) = −Θ(τ)

(a
q
e
−τω
q

q
)

(3.72)
15
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Chữ in hoa được sử dụng để biểu thị cho giá trị giá trị trung bình
nhiệt của toán tử số boson
N
q
=

a
†
q
a
q

= n
B
(ω
q
) =
1
e
βω
q
− 1
(3.73)
N

(0)
(q, τ) = −Θ(τ)[(N
q
+ 1)e
−τω
q
+ N
q
e
τω
q
]
−Θ(−τ)[N
q
e
−τω
q
+ (N
q
+ 1)e
−τω
q
] (3.75)
Hàm Green của tần số là
D(q, iω
n
) =

β
0

− 1)
iω
n
+ ω
q

(3.76)
Các số hạng trong tử số có thể được đơn giản hóa bởi sự không có
mặt của các boson exp(iω
n
β) = 1 để hàm Green là
D
(0)
(q, iω
n
) = −

(N
q
+ 1)
(e
−βω
q
− 1)
iω
n
− ω
q
+ N
q


(3.78)
16
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
D
(0)
(q, iω
n
) =
2ω
q
(iω
n
)
2
− ω
2
q
= −
2ω
q
ω
2
n
+ ω
2
q
(3.79)
Hàm Green là một hàm đơn giản. Nó giống hệt với trường hợp nhiệt
độ không (3.75) và sự khác biệt duy nhất là sử dụng tần số phức thay

(

k, λ, 0) = ξ
µ
(

k, λ)

2π
ω

k

(a

kλ
+ a
†

kλ
) (3.81)
ở đây toán tử A
µ
là toán tử vectơ thông thường trong (2.163). Hàm
Green phonon tự do là
D
(0)
µν
(


Vế bên trái đã được sử dụng, còn vế còn lại, ip đã được sử dụng thay
vì ip
n
, chúng có nghĩa là một, kể từ khi i trong ip là đủ thông tin để
17
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
chú ý rằng tần số phức đang được sử dụng, luôn luôn rời rạc. Do đó
các chỉ số dưới n là không cần thiết. Trong các vế cuối cùng, một ký
hiệu bốn vectơ p = (p, ip) là thường dùng, và các hình thức ban đầu
của G là đủ để chúng ta biết việc sử dụng hàm Green Matsubara.
3.3 Hàm Green trễ và nâng cao
Hàm Green trễ và nâng cao đã được giới thiệu trong mục 2.9, chúng
đóng một vai trò quan trọng trong thuyết nhiệt độ khác không, những
tính chất của chúng sẽ được thảo luận trong phần này. Những tính
chất quan trọng này đến từ sự thật rằng tất cả những đại lượng đo
được, như là độ dẫn hoặc độ cảm, là hàm trễ tương ứng. Mục tiêu của
nhiều tính toán là để tính một hàm trễ. Có nhiều cách khác nhau để
có được nó. Cách thứ nhất là sử dụng thuyết thời gian thực ngay cả ở
nhiệt độ khác không. Phương pháp này đã được sử dụng rất sớm và là
cách đầu tiên nhưng là cách khó nhất. Cách thứ hai, cách này được sử
dụng thường xuyên, đầu tiên tính hàm Matsubara tương đương của
một tần số ảo. Nó chỉ ra rằng hàm trễ đạt được từ hàm Matsubara
bằng cách đơn giản là thay iω
n
bằng ω + iδ, với δ| vô cùng bé. Hàm
Matsubara là cách tính toán dễ nhất bởi vì biểu thức S-ma trận của
nó là đơn giản. Hàm trễ dễ dàng được tìm thấy từ hàm Matsubara.
Hàm trễ Green có thể được định nghĩa cho cả nhiệt độ không và
nhiệt độ khác không. Hàm trễ Green cho một electron trong trạng
18

(t)C
†
pσ
(t

) + C
†
pσ
(t

)C
pσ
(t)]}
(3.85)
K = H − µN, C
pσ
(t) = e
iKt
C
pσ
e
−itK
(3.86)
Dấu brackets   được giới thiệu trong nhiệt động lực học trung
bình, như biểu thức trong dòng thứ 2. Dấu brackets vuông có nghĩa
là không có bất kì hạt nào, chúng được sử dụng với một nhóm biểu
tượng. Hàm Green trễ phụ thuộc vào thời gian thực, không phải tau.
Mẹo cho vấn đề này là thừa số i đứng trước phụ thuộc với tất cả hàm
Green thời gian thực. Toán tử hàm Green chỉ cho t > t



). Đặc trưng này có thể được chỉ ra bằng những vận
dụng vào các phần tương tự trong các phần sau.
19
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Đối với phonons, hàm Green trễ là
D
ret
(q, t −t

) = −iΘ(t − t

)

A(q, t)A(−q, t

) − A(−q, t

)A(q, t)(3.88)
Nó là tương tự với (3.85) trong đó nó cho thời gian thực, nó cũng là
nhiệt động lực học trung bình, và chỉ phụ thuộc vào t > t

. Tuy nhiên
dấu ở giữa bây giờ là dấu trừ, nó tương ứng với hạt boson. Hàm trễ
đối với cả electron và phonon, vế phải có thể được chỉ ra là hàm của
t −t

, như đã được đưa ra của hàm Green ở vế trái trong định nghĩa.
Hàm trễ Green hữu ích cho nhiều loại toán tử. Những toán tử này
thường là tích của electron hoặc toán tử boson. Ví dụ chúng ta định

ma trận. Toán tử U có các tính chất như hạt boson, các toán tử C
là fermion hoặc toán tử boson. Trường hợp khi C là boson và một
fermion thì U là boson bởi vì nó đóng vai trò như một hạt kết hợp.
Dạng kết hợp tuyến tính sẽ được sử dụng khá thường xuyên, vì nó
mang tính chất của một toán tử quan trọng như toán tử dòng và toán
tử mật độ. Hàm Green trễ cho toán tử U được định nghĩa như sau
U
ret
(t − t

) = −iΘ(t − t

)

[U(t)U
†
(t

) − U
†
(t

)U(t)]

(3.91)
20
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Định nghĩa này tương tự với (3.88), với biểu hiện quan trọng là nó
có dấu trừ ở giữa dấu Bracket, đó là trường hợp cho tất cả các toán
tử boson, cho bất kì toán tử nào nó là tích của boson hoặc số chẵn

−∞
dte
iE(t−t

)
G
ret
(p, t −t

) (3.93)
D
ret
(q, ω) =

∞
−∞
dte
iω(t−t

)
D
ret
(q, t −t

) (3.94)
U
ret
(ω) =

∞


(3.96)
D
adv
(q, t −t

) =iΘ(t

− t)

A(q, t)A(−q, t

)
− A(−q, t

)A(q, t)

(3.97)
U
adv
(t − t

) =iΘ(t − t

)

[U(t)U
†
(t


(t) − U
†
(t)U(t

)]

(3.99)
U
adv
(t

− t)
†
= U
ret
(t − t

) (3.100)
Bây giờ lấy chuyển đổi cho cả hai vế
U
ret
(ω) =

∞
−∞
dte
iω(t−t

)
U

(ω)
∗
(3.101)
Kết quả này có thể tổng kết cho bất kì hàm Green trễ và hàm
Green nâng cao nào. Đó là cách để tìm hàm trễ vì một liên hợp phức
đơn giản có được một liên hợp phức nâng cao.
Một hạt tương ứng với những hàm Green này đã được giới thiệu.
Sự biểu diễn này là một dạng không được sử dụng phổ biến cho việc
tính toán các đại lượng vật lý và tính số. Tuy nhiên, nó rất hữu ích cho
việc chứng minh định lý và trong trường hợp cho mối liên hệ giữa hàm
22
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Green và một cái khác. Sự biểu diễn sử dụng tập hợp đủ của trạng thái
|m với trạng thái riêng chính xác của K = H − µN. Thông thường
giá trị riêng và trạng thái riêng là không biết. Tuy nhiên, trong lý
thuyết chúng tồn tại và được dùng làm điều kiện cho việc chứng minh
định lý. Giá trị riêng của K được kí hiệu E
m
K|m

= E
m
|m

(3.102)
Trạng thái đủ của trạng thái sẽ được sử dụng trong nhiệt động lực
học trung bình, Tr được kí hiệu cho trace, và tập hợp |n được dùng
cho tổng sau
U
ret

m| (3.103)
được cho bởi
U
ret
(t − t

) = − iΘ(t − t

)e
βΩ

m,n
e
−βE
n


n|U(t)|m

m|U
†
(t

)|n

−

n|U
†
(t

23
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
cái mà được cho bởi hàm trễ
U
ret
(t − t

) = − iΘ(t − t

)e
βΩ

m,n
e
−βE
n

e
i(t−t

)(E
n
−E
m
)



n|U(t)|m


βΩ

m,n



n|U(t)|m



2
e
i(t−t

)(E
n
−E
m
)
×

e
−βE
n
− e
−βE
n
m

Công thức này là kết quả của hàm Green trễ của thời gian. Chuyển

n
− e
−βE
m

= e
βΩ

m,n



n|U|m



2
e
−βE
n
− e
−βE
m
ω + E
n
− E
m
+ iδ
(3.107)
với iδ là phần cộng vào để tần số chắc chắn hội tụ tại thời gian lớn.


m|U
†
(0)|n

(3.110)
24
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
U(τ ) = −e
βΩ

n,m



n|U|m



2
e
−βE
n
e
τ(E
n
−E
m
)
(3.111)

βΩ

m,n



n|U|m



2
e
−βE
n
− e
−βE
m
iω
n
+ E
n
− E
m
(3.112)
với exp(βiω
n
) = 1 cho boson. Kết quả này sẽ được so sánh với hàm trễ
trong (3.107). Chúng chỉ khác về tần số trong năng lượng vì kết quả
của Matsubara có iω
n

(q, ω) (3.115)
Mối liên hệ này với hàm trễ là một lý do để hàm Matsubara là hữu
ích. Sau khi được tính toán, phân tích đơn giản được đưa đến hàm
trễ, đó là một hàm vật lý thú vị. Hàm nâng cao đạt được bởi phân
25