Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Kiến thức Đại số
*Phương trình đường tròn :
( ) ( )
2
22
Rbyax =−+−
Hay :
0cby2ax2yx
22
=+−−+
Cótâm là:
( )
b;aI
và bán kính :
cbaR
22
−+=

≥
0
*Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2
22
Rbyax ≤−+−
( là miền gạch hình 2)
*Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2
22

trong mxđ
f(x)
α
≥
đúng
∀
x khi m
α
≥
trong mxđ
f(x)
≤
α
có nghiệm khi m
α
≤
trong mxđ
f(x)
≤
α
đúng
∀
x khi M
α
≤
trong mxđ
*Cho A(x
0
, y
0

2
1
ysinxsin





=+
=+
Giải :
Đặt u = sinx , v = siny
Bài toán trơ thành tìm m để hệ sau có nghiệm :
(*)
⇔
( )
( )
( )
( )









≤
≤

M(1 ; -
2
1
) và OM = ON
OM =
4
5
, OH =
2
2
1
−
=
8
1
, suy ra ycbt là
8
1

≤

2
m2 −
≤

4
5
⇔
-
2

) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng .
(x
2
– x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2

≤
1
Giải :
a) Hệ đã cho có thể viết lại :
(*)
⇔






=+−
=−+
)2(
4

2
1
⇔
0 <a <
3
4
b) ta có AB =
2
12
2
12
)yy()xx( −+−

≤
2R
(x
2
–x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2

≤
4R

⇔*








−<<−
<<
=++−+
)3(1x2
)2(2x1
)1(0)2ax)(1ax(
Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
5
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch
Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-
4) .
Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3.
Cho hệ phưong trình.






=+

(áp dụng đktx) do đó :
m
=
2

⇔




−=
=
2m
2m
6
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.




=−−
=+
0)ay)(a2x(
2y2x
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy
→
0XY

nên ta có :
Nếu



−<
>
2a2
2a2

⇔



−<
>
1a
1a
hệ vô nghiệm.
Nếu



−=
=
2a2
2a2

⇔




−≠
≠
<<−
2
1
a
2
1
a
1a1
hệ có 4 nghiệm.
Nếu



−=
=
1a2
1a2

⇔





−=
=




≥
=−+
=+
30y
20xxy
1axy
22

⇔
( )
( )
( )





≥
=+−
=+
30y
2
4
1
y)
2
1

1

⇔






−
=
+
=
)l(
2
21
a
)n(
2
21
a
hay 1
≤
a <
2
21+
9
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
định a để phương trình sau có 4 nghiệm .
axxxx +−=+− 5452

<−=−
⇔
0t,2t4a
0t,1t34a
Nhận xét
∀
t
4
9
−>
thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t
4
9
−>
Dễ thấy A(
4
27
;
4
9
−
) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì (
0t
4
9
<<−
)
(2) là phương trình đường thẳng y = t ,
t∀
≥

10
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất .
Giải :
Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O
2
(0;-1)
bán kính R
2
=
a
. (như hình vẽ)
Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O
1
(-1;0)
bán kính R
1
=
a
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R
1
+ R
2
= O
1
O
2

Hay : 2




≥−+−
≤≤
*
206
121
axax
x
11
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa.
Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo
nằm trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy
nhất khi :
a = 1 hoặc a = 5
Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.




=−+−
=−+−
222
m)1y()1x(
11y1x
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận.
Đổi trục oxy

1
( áp dụng đktx) , OB = 1 .
Vậy
2
1
<
m
< 1






−<<−
<<
⇔
2
2
m1
1m
2
2
đó là ycbt
Biện luận số nghiệm của phương trình .
( )
*xm2x312
2
−=−
Giải :

x
10y
22
Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy
phần dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương
trình đường thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1 .
Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1
Vị trí tiếp xúc trên
2
0
4124
2
=⇔



>
=+
m
m
m
Tại B ứng với m = 1
Vậy ta có : Nếu 1
≤
m <2 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m = 2 hoặc -1
≤
m <1 phương trình có 1 ngiệm.
Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm.
14




−
≥
−−≤
Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S
1
(2;
2
3
−
) , S
2
(-1;1) và
x
A
= -
7
8
< -1
a) từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0
1
≤≤
a
b) hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi .



=

⇔





≤+
−−≥+
1yx
yx1mxy2
1yx
yx1mxy2
2
( )
( )



≤+
+≤−+−
⇔



≤+
−+−++≥+
⇔
21yx
11m)1y()1x(
1yx

2





≤−+−−
≤+−−
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
( )
( )
( )
*
21886
142
24
2





≤+−−
++−≤
mxxx
xxm
phương trình m = -x
2
+ 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các

Hàm số đạt cực tiểu tại .



−=
=
6
2
ct
ct
y
x
17
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5)
các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thị ta thấy
hệ có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay -
6
5
≤≤
m

Cho hệ :
( )
*
4ax
0a2a4x)2a5(x
22
22


) O
1
(
3
2
;
3
2
−
) , F(-
2
-
2
)
M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình
vẽ, như vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền
gạch sọc .
Vậy theo ycbt thì
a) hệ có nghiệm khi -
2
2≤≤ a
b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = -
2
hoặc a = -
3
2
hoăc
a =
2
Cho hệ :

2
1
x2
2
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm .
Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x =-2
và.x =
2
1
, các điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch sọc như hình
vẽ .Dễ thấy A(
2
2
;
2
1
) , vậy để phương trình có nghiệm thì đường thẳng m =
α

phải cắt miền gạch sọc trong giới hạn cho phép cũa (1) hay.
a) hệ có nghiệm khi m
2
2
≤
b) hệ có nghiệm duy nhất khi .






+=
1Yy
1Xx
Hệ đã cho có thể viết lại .
( )
( )
( )



=+++
=+
*
2m)1Y()1X(
11YX
222
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình
vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán
kímh R =
m
. Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số
nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi : ON
≤
R
≤
OM .
Mà : ON =
2
1
( áp dụng đktx) , OB =

Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Tìm m để phương trình có nghiệm
mxcos1xsin1 =+++

Cho phương trình .
mx)x9(xx9 =−−+−
a) tìm gtln và gtnn
)xx9( +−
b) tìm m để phương trình có nghiệm .

Cho hệ
( )
*
0
024)25(
22
22



=+
<++++
ax
aaxax
tìm a để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau đúng
6x4:x ≤≤−∀
mx2x)x6)(x4(
2
+−≤−+

(x(a-x)) < log
a+x
x
22
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Cho hệ phưong trình.




=−+
=−−+
0yyx
02a5yax
22
(*)
a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b) gọi A(x
1
; y
1
) , B(x
2
; y
2
) là 2 nghiệm của hệ .Tìm a để độ dài dây cung AB
đạt giá trị lớn nhất .
phần2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Xét đa thức với biến là x,y gọi F(x;y) .Nếu ta có F(x;y) = F(y;x) với moi x ,y
∈




=
+=
xyP
yxS
điều kiện S
2

≥
4P
Hệ phương trình tương đương với .
23
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
( )
( )
( )










=
=


=
=



=
=
⇔



=
=+
⇔
2
1
1
2
2
3
y
x
y
x
xy
yx
Giải hệ phương trình .
( )
*

z1yx
z1xy2y2x2
z1yx
*
2
2
Để phương trình có nghiệm x,y khi
( )
( )
2
zz214
z1
2
2
+−
≥−

( )
1z0z1
2
=⇔≥−−⇔
Nếu z
1≠
hệ vô nghiệm
Nếu z =1 thì



=
=



=−+
=++
⇔
mxy2)yx(
mxyyx
*
2
đặt



=
+=
xyP
yxS
điều kiện S
2

≥
4P
( )
( )
( )






2
m311mP
m311S
1
m311mP
m311S
0m3S2S
mPS
mP2)S(
mPS
*
2
2
1
1
22
a) với m = 5
( )
( )
( )











=
⇔
2y
1x
1y
2x
2xy
3yx
l
10P
5S
n
2P
3S
*
2
2
1
1
b) để hệ phương trình có nghiệm.
th
1
:
1
2
1
P4S ≥
.
hay
)m311m(4)m311(

02m
⇔

8m0 ≤≤
th
2
:
2
2
2
P4S ≥
.
hay
)m311m(4)m311(
2
+++≥+−−
⇔
3
2mm31 −−≤+
dễ thấy bất phương trình vô nghiệm vì
02m
<−−
25