Trường Đại học Nông nghiệp I Hà Nội
Khoa Công nghệ thông tin
PGS.TS. NGUYỄN HẢI THANH
CÁC MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM
tối ưu hoá và ứng dụng trong nông nghiệp
(bài giảng điện tử trong khuôn khổ dự án CNTT)


2.2. Thuật toán đơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát 30
3. GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MICROSOFT EXCEL
32
3.1. Giải BTQHTT 32
3.2. Giải bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc tuyến tính 34
3.3. Một số ví dụ khác 36
4. GIẢ
I BTQHTT TRONG LINGO
36
5. GIẢI BTQHTT BẰNG PHẦN MỀM QHTT
38
CHƯƠNG III. BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN
40
1. PHƯƠNG PHÁP RST2ANU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
PHI TUYẾN TOÀN CỤC HỖN HỢP NGUYÊN

40
1.1. Đặt vấn đề 40
1.2. Thuật giải tìm kiếm ngẫu nhiên có kiểm soát RST2ANU 41
1. 3. Một số nhận xét về phiên bản nâng cấp của phần mềm 43
2. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG RST2ANU
44
2.1. Bài 1: Bài toán xác định tham số sàng phân loại 44

2.2. Bài 2: Bài toán xác định cơ c
ấu đầu tư chăn nuôi cá 46

2
3. TÍCH HỢP RST2ANU VỚI MATLAB
48


77
1.5. Mô hình tất định tương đương của bài toán 79
1.6. Khái niệm tối ưu hoá PL-Pareto 79
2. THUẬT GIẢI TƯƠNG TÁC LẶP PRELIME VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
80
2.1. Phát biểu thuật giải 80
2.2. Bài toán Chakraborty 81
2.3. Bài toán xác định cơ cấu đầu tư cho các hộ chăn nuôi cá 87
2.4. Bài toán quy hoạch sử dụng đất trên địa bàn huyện Trùng Khánh 88
CHƯƠNG VI. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU
92
1. ÁP DỤNG CÁC MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG NÔNG NGHIỆP
92
2. NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀ ĐỀ XUẤT CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU
92
3. XÂY DỰNG CÁC PHẦN MỀM TỐI ƯU
93
4. XÂY DỰNG HỆ HỖ TRỢ RA QUYẾT ĐỊNH CÀI ĐẶT TRÊN MẠNG
MÁY TÍNH

94
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
96 3
Chương I
ỨNG DỤNG MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG NÔNG NGHIỆP


j
(X) ≤ 0, j = 1, 2, …, k,
(ii) g
j
(X) = 0, j = k+1, k+2, …, m,
Trong các bài toán thực tế có thể bổ sung các ràng buộc dạng:
(iii) a
i
≤ x
i
≤ b
i
, i = 1, 2, …, n.
Hàm mục tiêu f(X) và các hàm ràng buộc g
j
(X) với j=1,2, …,m có thể là tuyến
tính hay phi tuyến.Véc tơ X có thể bao gồm các thành phần rời rạc hay liên tục hoặc là sự
kết hợp giữa các thành phần rời rạc và các thành phần liên tục. Các dạng khác của bài
toán tối ưu một mục tiêu đều có thể đưa về dạng chính tắc theo những quy tắc nhất định.
Nếu ký hiệu D là miền các phương án (miền ràng buộc) cho bởi các ràng buộc
(i), (ii) và/hoặc (iii) thì bài toán trên đây có thể viết gọn hơn như sau: f(X)
→
Max
(Min) với X
∈
D. Lúc này, X
*
∈ D được gọi là phương án tối ưu toàn cục nếu ∀ X∈D ta
luôn có: f(X
*

Min CX với ràng buộc
D
X
∈
, trong đó:
C là véc tơ
∈
R
n

D = { ∈
X
R
n
: AX ≤ B, X
≥
0 }
với A là ma trận cấp m
×
n và
∈
B
R
m

1.2. Các ví dụ minh hoạ bài toán tối ưu một mục tiêu
Bài toán quy hoạch sử dụng đất
(Mô hình tối ưu tuyến tính một mục tiêu giải bài toán quy hoạch sử dụng đất trên địa
bàn xã Đông Dư, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội)
Chúng ta xét mô hình tối ưu một mục tiêu với mục tiêu cần cực đại hoá là hiệu

5
+ 4860,91 x
6
+ 4295,31 x
7
+ 3706,11 x
8
+ 3788,25 x
9
+ 12747,31 x
10
+
12752,96 x
11
+ 12064,81 x
12
+ 79228,88 x
13
+ 35961,31 x
14
+ 10823,91 x
15
+ 7950,16 x
16

+ 7928,06 x
17
+5738, 46 x
18
+ 11129,50 x

64,89; x
5 ≤
10,50; x
6

≤

64,89; x
7
≤ 64,89; x
8
≤ 16,50; x
9

≤
45,30; x
10

≤
5,50; x
11
≤ 8,5; x
12

≤

6,80; x
13 ≤
13,70; x
14

+ x
9
+ x
11
+ x
13
+ x
18

≤
45,30; x
3
+ x
6
+

x
7
+ x
10
+ x
12
+ x
16
+ x
17
≤

64,89; x
4

7
+ 102,7x
8
+ 100,75x
9
+360 x
10
+140x
11
+ 385x
12
+ 1833,6x
13
+ 1446,3x
14
+210,25 x
15
+ 410,5x
16
+360,5 x
17
+ 176x
18
+ 67x
19
+20x
20
+ 16x
21
+ 9x

19
+ 16x
20
+ 12x
21
+ 7x
22
+ 0,2x
23
- x
24

≤

152190,00;
2871,89x
1
+2691,89 x
2
+ 2243,62x
3
+ 2243,66x
4
+ 3630,89x
5
+ 4780,06x
6
+
2229,11x
7

+ 624,5x
22
+ 12x
23
- x
24

≤
3881500;
3,5x
5
+ 8x
6
+ 3,5x
7
+4,1x
8
+ 3,5x
9
+ 4,16x
10
+ 3,5x
11
+ 4x
12
+ 12,1x
13
+
14,4x
14

Excel (xem chương II) có thể tìm được phương án tối ưu của bài toán trên như sau:
x
1
=67,18, x
2
=62,08, x
3
=25,32, x
4
=45,59, x
5
=10,50, x
6
=3,37, x
9
=2,40, x
10
=6,50,
x
11
=8,50, x
12
=6,50, x
13
=13,70, x
14
=14,50, x
15
=4,80, x
16

2
0,104
x
3
0,096
x
4
0,056
x
5
0,056
e
0,168 x6
e
0,066 x7

→Max
trong đó:
z : Giá trị sản xuất bình quân triệu/ ha/năm (GO),
x
1
: Chi phí giống bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),
x
2
: Chi phí thức ăn bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

6
x
3
: Chi phí lao động bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

TC < 60
- Với mức đầu tư 60 - 70 tr đ/ ha: 60
≤
TC < 70
- Với mức đầu tư trên 70 tr đ/ ha: TC ≥ 70
trong đó: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= TC .
Với hình thức nuôi ta có: x
6
+ x
7
= 1 (x
6
, x
7
chỉ nhận các giá trị 0 hoặc 1).
Trên đây là bài toán tối ưu phi tuyến, với 5 biến liên tục và 2 biến nguyên. Sử
dụng phần mềm RST2ANU (xemchương III) để giải bài toán tối ưu phi tuyến toàn cục
hỗn hợp nguyên đã thiết lập trên đây ta có kết quả trong bảng I.1.

Bảng I.1. Kết quả cơ cấu đầu tư tối ưu vùng đồng

x
2
từ 8,6 - 9,8 triệu (17,2 – 19,6%); x
3
từ 8,6 – 9,9 triệu ( 17,2 – 19,8%); x
4
từ
4,7 – 6,4 triệu (9,4 – 12,8%); x
5
từ 4,9 – 6,3 triệu (9,8 –12,6%) với hình thức nuôi
chuyên canh (x
6
=1).

7
Kết quả áp dụng phần mềm RST2ANU (xem chương III) tại mức đầu tư 50
triệu đồng/ha cho phương án tối ưu sau: z
max
=88,360733với x
1
=21,498072,
x
2
=9,528987, x
3
=8,758034, x
4
=5,138906, x
5
=5,076000, x

1
+ l sinϕ
2
+ l
’’
3
sinϕ
3
+ l
4
sinϕ
4
– y
C1
= 0;
r cosϕ
1
+ l cosϕ
2
+ l
’
3
cos(ϕ
3
- α)+ l
5
cosϕ
5
– x
D1

= 0,40m; x
C1
= 0,365m; y
C1
= 0,635m; x
D1
=
1,365m; y
D1
= 0,635m; α = π/8.
Để sử dụng phần mềm tính toán tối ưu phi tuyến RST2ANU giải hệ phương
trình phi tuyến cho ϕ = kπ/8 (k=0,…, 9), trước hết chúng ta cần thiết lập cực tiểu hoá
hàm mục tiêu sau:
z = (r cosϕ
1
+ l cosϕ
2
+ l
’’
3
cosϕ
3
+ l
4
cosϕ
4
– x
C1
)
2

5
– x
D1
)
2
+ (r sinϕ
1
+
l sin
ϕ
2
+ l
’
3
sin(ϕ
3
- α)+ l
5
sinϕ
5
– y
D1
)
2
Æ Min
Kết quả được cho trong bảng I.2 với z
min
= 0.

Bảng I.2. Kết quả tính toán giá trị các thông số của sàng phân loại

0,066036 0,553576 1,745374 1,622823
7π/18
0,051284 0,554296 1,730174 1,602970
8π/18
0,039053 0,555262 1,713242 1,581813
9π/18
0,033773 0,556277 1,695605 1,560720 8

2 MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN
2.1. Giới thiệu bài toán quy hoạch đa mục tiêu
Trong các bài toán kỹ thuật, công nghệ, quản lý kinh tế, nông nghiệp v.v nảy
sinh từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét đồng thời một lúc nhiều mục tiêu. Các
mục tiêu này thường là khác về thứ nguyên, tức là chúng được đo bởi các đơn vị khác
nhau. Những tình huống như vậy tạo ra các bài toán đa mục tiêu. Người kỹ sư / người ra
quyết định lúc này cần phải tối ưu hoá (cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá tuỳ theo tình
huống thực tế) không phải là chỉ một mục tiêu nào đó, mà là đồng thời tất cả các mục
tiêu đã đặt ra.
Tuy nhiên, các mục tiêu này thường đối chọi cạnh tranh với nhau. Việc làm tốt
hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi một số mục tiêu khác. Vì vậy việc giải
các bài toán tối ưu đa mục tiêu, tức là tìm ra một phương án khả thi tốt nhất theo một
nghĩa nào đó, thực chất chính là một bài toán ra quyết định. Có thể thấy lại ở đây một
lần nữa khẳng định " Tối ưu hoá chính là một công cụ định lượng chủ yếu nhất của quá
trình ra quyết định".
Hiện tại các tài liệu, sách chuyên khảo, tạp chí cập nhật về các lĩnh vực liên
ngành giữa Toán, Vận trù học, Khoa học Quản lý, Tin học, Công nghệ, Kinh tế, Nông
nghiệp đề cập rất nhiều tới bài toán tối ưu đa mục tiêu. Vấn đề nghiên cứu cơ sở lý
thuyết, thuật toán, lập mô hình, xây dựng hệ máy tính trợ giúp quyết định, và áp dụng

hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đều là hàm tuyến tính, chúng ta có mô hình quy
hoạch tuyến tính đa mục tiêu với dạng chính tắc như sau:
Min CX với ràng buộ
c
D
X
∈
, trong đó:
C là ma trận cấp p
×
m
D = { ∈
X
R
n
: AX ≤ B, X ≥ 0 }
với A là ma trận cấp m x n và
∈
B
R
m
9
2.2. Các khái niệm cơ bản của bài toán tối ưu đa mục tiêu
Khái niệm then chốt trong tối ưu hoá đa mục tiêu là khái niệm phương án tối
ưu Pareto.
Định nghĩa 1: Một phương án tối ưu Pareto X
*

các phương án tối ưu Pareto. Người ra quyết định sẽ đề ra cơ cấu ưu tiên của mình đối
với tập P. Lúc này các phương pháp toán chẳng hạn như giải tích phân loại, các phương
pháp lọc v.v… được áp dụng để tìm ra phương án tối ưu cho bài toán đa mục tiêu ban
đầu.
Cách 2: Việc tìm tập hợp P trong trường hợp các bài toán tối ưu phi tuyến là
khá khó, nếu không nói là không thể tìm được. Vì vậy, so với cách 1, cách 2 sẽ tiến
hành theo trình tự ngược lại. Trước hết người ra quyết định sẽ đề ra cơ cấu ưu tiên của
mình. Dựa vào cơ cấu ưu tiên đó, các mục tiêu sẽ được tổ hợp vào một mục tiêu duy
nhất, tiêu biểu cho hàm tổng tiện ích của bài toán. Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu tổ
hợp này sẽ được giải bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp, để tìm ra một
(hoặc một số) phương án tối ưu Pareto. Lúc này, người ra quyết định sẽ chọn ra trong
số các phương án tối ưu Pareto đó một phương án tốt nhất.
Chúng ta sẽ tiếp tục phân tích cách thứ 2. Rõ ràng, người ra quyết định không
thể đề ra cơ cấu ưu tiên của mình một cách chính xác ngay từ đầu. Trong quá trình giải
bài toán, trong mỗi bước lặp, sau khi xem xét lại cơ cấu ưu tiên đã đề ra, cũng như
phương án tối ưu trung gian, người ra quyết định có thể dựa vào các thông tin đó để
thay đổi lại cơ cấu ưu tiên của mình. Sau đó, quá trình giải lại được tiếp tục, cho tới khi
một phương án tối ưu cuối cùng được đưa ra.
Định nghĩa 3: Phương pháp giải bài toán tối ưu dựa trên sự trợ giúp của hệ máy
tính, nhằm giúp người ra quyết định từng bước thay đổi các quyết định trung gian một
cách thích hợp để đi tới một phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất, được gọi là phương
pháp tương tác người - máy tính.
Cho tới thời điểm hiện nay, hàng chục phương pháp giải tương tác bài toán tối
ưu đa mục tiêu đã được đề cập tới trong các tạp chí chuyên ngành, và đa số chúng đều

10
có những ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh vực. Một trong các lớp phương
pháp quan trọng và khá thuận tiện cho người sử dụng là phương pháp tương tác người -
máy tính giải bài toán tối ưu đa mục tiêu với các yếu tố cấu thành sau:
- Cơ cấu ưu tiên của người ra quyết định và hàm tổ hợp tương ứng.

với k = 1, 2, M ; còn x
ijk
(các biến quyết
định) là diện tích luân canh công thức i (i = 1, 2, , N) với độ thích hợp j (j = 1, 2) trên
đất loại k.
Đặt a
ịjk
là hệ số của x
ijk
trong ràng buộc về diện tích đất loại k, ta sẽ có a
ijk
= 0
nếu ta không áp dụng công thức luân canh i cho đất loại k; và a
ijk
= 1 nếu công thức
luân canh i được áp dụng cho đất loại k.
Vậy các điều kiện ràng buộc của bài toán là :

11
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∀∀∀≥
==
∑∑
==
kjiX
Mkbxa

N
i
M
k
→
∑∑
==
11
11

(Mục tiêu 2 : Cực đại hoá độ thích hợp tổng thể)
Một mục tiêu nữa cần xem xét, như trên đã nói, là hiệu quả môi trường của cơ
cấu cây trồng - sử dụng đất. Đây là một vấn đề thực tiễn, tuy nhiên các đánh giá về môi
trường rất khó định lượng. Để xác định hệ số môi trường cho các công thức luân canh,
chúng tôi dùng phương pháp tổng hợp ý kiến chuyên gia. Mỗi chuyên gia sẽ đưa ra
đánh giá của mình về hiệu quả môi trường cho các công thức luân canh ở các mức : Tốt,
khá, trung bình, xấu. Sau đó các mức đó sẽ được định lượng bởi các số 100, 75, 50 và
25. Tỉ lệ % các ý kiến cho từng mức đánh giá sẽ được coi là xác suất thực nghiệm của
các giá trị trên. Và do đó mỗi công thức luân canh thứ i sẽ ứng với một cặp số m
i
(kỳ
vọng) và σ
i
(độ lệch tiêu chuẩn) của phân phối thực nghiệm thu được. Thay cho các
phân phối xác suất thực nghiệm, ta sẽ xem xét hệ số mờ
i
m
~
= ( m
i

kjikjikji
N
i
M
k
Maxxac
Maxxa
kiki
N
i
M
k
→
∑∑
==
11
11

∑∑∑
===
→
2
111
~
j
kjikjii
N
i
M
k

∑∑∑
===
≥−
2
111
)(
j
kjikjiii
N
i
M
k
exam
ε

Ở đây ε
i
được tuỳ ý chọn thoả mãn điều kiện : 0 < ε
i
< 3σ
i
. Thông thường ta
chọn ε
i
= 90% × 3σ
i
hay ε
i
= 2,7 σ
i

(công/ha)
Giá trị
tăng thêm
(ngàn/ha)
I.Bí xanh
Cà chua
Su hào
36634
39000
16064
457,92
65,00
200,80
9431
5879
4109
730
554
517
27203
33121
11955
Tổng 91698 19419 1801 72279
II.Bí xanh
Cà chua
Bắp cải
36634
39000
15050
457,92

L.mùa sớm
Su hào
Su hào
11223
8796
16060
14898
66,00
43,98
146,00
186,23
3557
3601
4048
4837
310
277
376
356
7666
5195
12012
10061
Tổng 50987 16043 1319 34934
V. L.xuân
TQ
L.mùa TQ
Hành Tây
11223
11700

7666
8232
2402
Tổng 33062 14762 1070 18300
VII. L.xuân
TQ
L.mùa TQ
Khoai tây
11223
11700
25401
66,00
65,00
169,34
3557
3468
6213
310
310
425
7666
8232
19188
Tổng 48324 13238 1045 35086
VIII. Cà chua
Lúa mùa
Bắp cải
10500
11700
15050

11700
15050
66,00
65.00
215,00
9431
3468
4173
310
310
462
27203
8232
10877
Tổng 63384 17072 1082 46312
XI. Bí xanh
Lúa mùa
Khoai tây
36634
11700
25401
457,92
65,00
169,34
9431
3468
6213
310
310
425

3 5,42 11 32,29
4 12,02 12 48,49
5 99,89 13 14,03
6 27,96 14 10,05
7 35,30 15 8,41
8 8,08
Bảng I.6. Tổng hợp phiếu đánh giá hiệu quả môi trường của một số công
thức luân canh áp dụng cho vùng đồng bằng sông Hồng
Công thức Công thức Mức độ
luân canh Tốt (%) Khá (%) T.B (%) Xấu (%)
1 Bí xanh-Cà chua-Su hào 45,4 27,3 27,3
2 Bí xanh-Cà chua-Bắp cải 45,4 18,2 36,4
3 Bí xanh-Bí xanh-Bắp cải 36,4 36,4 27,2
4 LX-LM sớm-Su hào-Su hào 72,7 18,2 9,1
5 Lúa xuân-LM sớm-Hành tây 72,7 18,2 9,1
6 Lúa xuân-LM sớm-Dưa chuột 54,5 27,3 18,2
7 Lúa xuân-Lúa mùa-Khoai tây 81,8 18,2
8 Cà chua-Lúa mùa sớm-Bắp cải 27,3 45,4 27,3
9 Lúa xuân-Lúa mùa 45,4 36,4 18,2
10 Bí xanh-Lúa mùa sớm-Bắp cải 27,3 54,5 18,2
11 Bí xanh-LM sớm-Khoai tây 27,3 45,4 27,3

Thiết lập mô hình đa mục tiêu xác định cơ cấu cây trồng
Để có thể chọn những công thức trồng trọt phù hợp với điều kiện đất đai, đồng
thời đảm bảo đạt hiệu quả mong muốn, cần xét ba mục tiêu sau:
i) Hiệu quả kinh tế, ii) Độ thích hợp đất đai, iii) Hiệu quả môi trường.
Tiến hành thiết lập mô hình, trước hết chọn các bi
ến quyết định. Dựa vào kết
quả các dữ liệu đã thu được, đặt tên các biến như sau:
x

): diện tích trồng các loại cây công thức 5, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (6)
x
7
(x
716
): diện tích trồng các loại cây công thức 7, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (6)
x
8
(x
811
): diện tích trồng các loại cây công thức 8, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (1)
x
9
(x
914
): diện tích trồng các loại cây công thức 9, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (4)
x
10
(x
10,11
): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (1)
x
11
(x
10,15
): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (5)
x
12
(x
426

): diện tích trồng các loại cây công thức 1, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (3).
Với các số liệu thực tế thu được qua khảo sát, chúng tôi có mô hình tối ưu (mờ) sau đây :
Mục tiêu 1: z
1
= 72279(x
112
+ x
113
) + 71201x
213
+ 59972 (x
312
+ x
317
) + 34934
x
426
+ 33875 (x
516
+ x
525
) + 35086 (x
716
+ x
721
+ x
725
) + 23730 x
811
+ 15898 x

811
+ x
914
+
x
10, 11
+ x
10, 15
→ Max
Mục tiêu 3 : z
3
=
1
~
m
(x
112
+ x
113
) +
2
~
m
x
213
+
3
~
m (x
312

9
~
m x
914
+
10
~
m (x
10, 11
+ x
10, 15
+ x
10, 22
+ x
10, 27
)
+
11
~
m x
11, 23
→ Max
Với các ràng buộc sau đây :
x
721
+ x
811
+ x
10, 11
= 92,87 (ha); x

27
= 48,49; x
ịk
≥ 0 ∀i, ∀j , ∀k.
Ở mô hình trên
1
~
m được xác định như sau :
Trước hết ta tính m
1
= 27,3% × 25 + 27,3% × 50 + 45,4% × 75
σ
1
=
2
1
222
m75%4,4550%3,2725%3,27 −×+×+×
Sau đó có :
1
~
m = (m
1
- 3σ
1
, m
1
, m
1
+ 3σ

+ 81,8x
914
+ 77,275(x
10, 11
+ x
10,
15
+ x
10, 22
+ x
10, 27
) + 77,275x
11, 23
→ Max

16
Các bước giải bài toán tối ưu cơ cấu cây trồng
Tiến hành giải bài toán trên bằng phần mềm MULTIOPT (xem chương IV) theo
các bước sau: Trước hết, nhằm giúp người ra quyết định xác định hàm thoả dụng, bài
toán tối ưu cho từng mục tiêu riêng rẽ (như vậy có ba bài toán tối ưu một mục tiêu) sẽ
được giải quyết. Riêng mục tiêu về hiệu quả môi trường sẽ lấy m
i
thay thế cho
i
m
~
đối
với mọi công thức canh tác i.
Màn hình máy tính sẽ thông báo về ba lời giải tối ưu cho ba bài toán, ký hiệu là
X

= 41,52 ; x
317
= 48,49 ; x
516
= 85,02 ; x
811
= 92,87;

x
914
=
163,15; x
10, 15
= 16,49 (các biến khác có giá trị bằng 0).
X
3
: x
716
= 85,02 ; x
721
= 92,87 ; x
725
= 16,49 ; x
914
= 163,15 ; x
10, 22
= 27,62; x
10,
23
= 48,49 và x

ZZ
−
−
→ Max
Với z
1
B
(tốt nhất) = 18544625,75
z
1
w
(xấu nhất) = 15206528,66.
Sau khi có các hàm thoả dụng, hàm liên hợp (aggregation function) được thiết
lập cho các hàm thoả dụng đó để có mục tiêu sau :
w
1
μ
1
(z
1
) + w
2
μ
2
(z
2
) + w
3
μ
3

, người ra quyết định có thể tìm ra được các phương án thoả dụng thích hợp (có tính
chất tối ưu Pareto yếu). Xem xét các phương án đó cùng với độ thoả dụng đạt được cho
từng mục tiêu (có thể dựa vào phương pháp ra quyết định tập thể - group decision
making) người ra quyết định có thể đi tới một quyết định hợp lý về cơ cấu cây trồng - sử
dụng đất như trong b
ảng I.8.

17
Bảng I.8. Kết quả lựa chọn phương án tối ưu
Đơn
vị
đất
Khu
vực
Diện
tích
(ha)
Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 Phương án
chọn
1 1 92.,8
7
Bí xanh
(xuân) –
LM – bắp
cải
Cà chua
(đông) – LM –
bắp cải
Lúa xuân
(TQ) - LM

Bí xanh
(xuân) – cà
chua (hè thu)-
su hào
Bí xanh
(xuân) – LM
– khoai tây
Bí xanh (xuân)
– cà chua (hè
thu)- su hào
5; 6;
7
4 163,
15
Lúa xuân –
lúa mùa
Lúa xuân –
lúa mùa
Lúa xuân –
lúa mùa
Lúa xuân – lúa
mùa
8; 15 5 16,4
9
Bí xanh
(xuân) –
LM – bắp
cải
Bí xanh
(xuân) – LM –

khoai tây
12 7 48,4
9
Bí xanh
(xuân)- bí
xanh (mùa)-
bắp cải
Bí xanh
(xuân) - bí
xanh (mùa)-
bắp cải
Bí xanh
(xuân) – LM
– bắp cải
Bí xanh
(xuân)- bí xanh
mùa)- bắp cải
Trong bảng I.8, chúng ta có:
Phương án 1: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả kinh tế cao nhất.
Phương án 2: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả cao nhất về mức độ thích
nghi đất đai.
Phương án 3: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả môi trường cao nhất .
Phương án cho ở cột phương án chọn là phương án thoả dụng ứng bộ giá trị các
trọng số: w
1
= 0.4, w
2
= 0.2, w
3
= 0.4 khi sử dụng phần mềm MULTIOPT.

8
: Diện tích trồng táo (ha), x
9
:
Diện tích trồng nhãn (ha), x
10
: Diện tích trồng xoài (ha).

Các mục tiêu cần cực đại hoá là:
z
1
= 4,48 x
1
+ 4,2 x
2
+ 2,59 x
3
+ 0,98 x
4
+ 5,8 x
5
+ 15,61 x
6
+ 29,67 x
7
+ 39,21
x
8
+ 116,58 x
9

1
+ 0,0206 x
2
+ 0,0154 x
3
+ 0,0045 x
4
+ 0,0248 x
5
+ 0,0109 x
6
+
0,0241 x
7
+ 0,0349 x
8
+ 0,09 x
9
+ 0,0811 x
10

z
4
= 206 x
1
+ 204 x
2
+ 168 x
3
+ 216 x

7
+ 3 x
8
+ 3
x
9
+ 3 x
10
Với các ràng buộc sau (về cơ cấu diện tích đất canh tác): x
1
≤ 189,6407; x
2
≤
189,6407; x
3
≤ 17,4931; x
4
≤ 17,4931; x
5
≤17,4931; x
6
≤189,6407; x
7
≤ 17,4931; x
8

≤18; x
9
≤18; x
10

+ 0,98 x
4
+ 5,8 x
5
+ 15,61 x
6
+ 29,67 x
7
+ 39,21 x
8
+
116,58 x
9
+ 105,13 x
10
> 0
Điều kiện về sản lượng lương thực:
Các cây lương thực của xã gồm lúa xuân, lúa mùa và ngô:
5,14 x
1
+ 4,98 x
2
+ 3,77 x
3
≥ 1700,5
Điều kiện không âm của bài toán:
x
i
(i = 1, 2, …, 10) ≥ 0.
Bảng I.9 cho phép so sánh kết quả sử dụng đất canh tác xã Trâu quỳ năm 1999 với

189,64
189,64
2,53
0,82
0,91
27,73
12,4
9,27
4,85
3,88
189,64( x
1
)
189,64(x
2
)
0,00
0,00
0,00
26,40(x
6
)
17,49(x
7
)
0,00
0,00
18,00(x
10
)

160331(z
3
)
10,19(z
4
)
359,31(z
5
) ( Giá trị các trọng số: w
1
= 0,1; w
2
= 0,1; w
3
= 0,2; w
4
= 0,2; w
5
= 0,4 ).

Tối ưu hoá kết quả và hiệu quả kinh tế chăn nuôi cá(Mô hình quy hoạch phi tuyến đa
mục tiêu giải quyết vấn đề tối ưu hoá kết quả và hiệu quả kinh tế chăn nuôi cá của các hộ
nông dân nuôi cá tại huyện Văn Giang, tỉnh Hưng Yên)
Việc các hộ nuôi cá quyết định nên sản xuất như thế nào, mức đầu tư bao nhiêu
phụ thuộc chủ yếu vào những lợi thế và tiềm lực kinh tế của từng nông hộ. Những nông
hộ có nhiều lao động dư thừa chú trọng đến thu nhập hỗn hợp hơn thu nhập ròng, còn
những hộ có sẵn nguồn thức ăn tận dụng trong gia đình mà không mất tiền mua thì lạ

5

0,056
e
0,168x6
e
0,066x7
→ Max
z
2
= z
1
- TC → Max
z
3
= z
1
- TC + x
3→ Max
Trong bài toán đa mục tiêu trên, các ràng buộc là:
- Với điều kiện thực tế tại địa phương và kết quả tính toán cho thấy mức đầu tư
trên 75 triệu/ha sẽ không đem lại hiệu quả kinh tế cao. Do vậy tổng chi phí giới hạn ở
mức 75 triệu/ha hay: 0 < TC
≤ 75.
- Việc phân tích các kết quả tính toán cho thấy, với mức đầu tư tối ưu thì chi phí
giống x
1

≤ 15; x
5
≤ 15
- x
6
+ x
7
≤ 1 (x
6
, x
7
∈ {0, 1} )
Khi giải mô hình trên bằng phần mềm PRELIME ta thu được các kết quả cho
trong bảng I.10.
Bảng I.10. Kết quả tối ưu hoá từng mục tiêu đơn lẻ vùng đồng
Tỉ lệ đầu tư(triệu/ha) Biến giả
Giá trị Max
(triêụ/ha)
Phương
án
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5

: x
4
: x
5
= 30,0 : 15,7 : 12,6 : 8,5 : 8,1 sẽ cho ta
giá trị sản xuất lớn nhất (đạt 110,15 triệu); còn ở mức đầu tư 46,5 triệu, với cơ cấu x
1
:
x
2
: x
3
: x
4
: x
5
= 20,0 : 8,8 : 8,2 : 4,8 : 4,8 thì thu được thu nhập ròng lớn nhất (đạt
38,42 triệu); các hộ cần cực đại hoá thu nhập hỗn hợp thì nên đầu tư ở mức 65,19 triệu,
với cơ cấu đầu tư là x
1
: x
2
: x
3
: x
4
: x
5
= 23,7 : 10,3 : 20,0 : 5,6 : 5,6. Như vậy, mức
và cơ cấu đầu tư khác nhau làm cho KQ và HQKT thu được của các hộ cũng khác nhau.

μ
1
, μ
2
và

μ
3với các mức đạt được được thể hiện trên các đồ thị.
- Đối với hàm thoả dụng về giá trị sản xuất:
0 nếu z
1
≤ 71,8 = a
1

μ
1
= 0,5 nếu z
1
= 80,0 = b
1 1 nếu z
1
≥110,2 = c
1


3
≥ 54,5 = c
3

Chúng ta có thể hiểu ý nghĩa của các hàm thoả dụng trên như sau: Đối với hàm z
1

(GO) thì một phương án X = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
) với giá trị z
1
≤ 110,2 triệu/ha = c
1

cho ta độ thoả dụng μ
1
= 1; với giá trị z
1

(MI).
Một phương án X như vậy cho ta độ thoả dụng ứng với ba mục tiêu z
1
(GO), z
2

(NI), z
3
(MI) là μ
1
, μ
2
và μ
3
. Từ ba hàm thoả dụng này ta thiết lập được hàm thoả
dụng tổng hợp (
Aggregation Utility Function) cho đồng thời ba mục tiêu như sau: μ =
Max { Min [μ
1
, μ
2
, μ
3
] }
Trong quá trình giải bài toán qua các bước lặp nếu thu được phương án X với μ
> 0,5 thì điều đó có nghĩa là tất cả ba hàm thoả dụng μ
1
, μ
2
và μ

PRELIME được thể hiện trong bảng I.11. Có thể thấy rằng, tuỳ vào mục đích của người
ra quyết định mà có sự lựa chọn khác nhau về GO, NI hay MI. Đối với vùng đồng, các hộ đều
lựa chọn hình thức nuôi chuyên canh (x
6
= 1), còn mức và cơ cấu đầu tư tối ưu lại phụ thuộc
vào mục đích của hộ sẽ chọn GO, NI hay MI yếu tố nào là quan trọng. Chẳng hạn, người thứ
nhất quan tâm nhiều đến GO thì cần đầu tư ở mức 62,7 triệu/ha, tương ứng với cơ cấu đầu tư
x
1
: x
2
: x
3
: x
4
: x
5
= 25,0 : 11,2 : 14,3 : 6,3 : 6,0. Nhìn chung, giá trị lớn nhất đồng thời của ba
mục tiêu không có sự thay đổi lớn qua các sự lựa chọn; GO
Max
đạt từ 95,4 đến 99,6 triệu/ha,
NI
Max
đạt 35,6 đến 36,9 triệu/ha và MI
Max
đạt từ 52,1 đến 53,4 triệu/ha.
Tổng mức đầu tư cũng không có sự biến động lớn, chúng chỉ dao động từ 58,8
đến 62,6 triệu/ha, ứng với các tỉ lệ cơ cấu cũng không có sự biến đổi nhiều.
Bảng I.11. Kết quả bài toán đa mục tiêu vùng đồng
Tỉ lệ đầu tư (triệu/ha) Biến giả Giá trị max

14,
3
6,3 6,0 62,7 1 0 99,6 36,9 51,
2
2 0,74 22,
6
10,
0
15,
5
5,4 5,4 58,8 1 0 95,4 36,6 52,
1
3 0,49 23,
1
10,
3
17,
9
5,6 5,7 62,6 1 0 98,1 35,6 53,
4
4 0,46 22,
7
10,
0
16,
6
5,4 5,3 60,0 1 0 96,2 36,2 52,
7
5 0,50 22,
2

với các ràng buộc
4x
1
+ 2x
2
≤ 60
2x
1
+ 4x
2
≤ 48
x
1
, x
2
≥ 0
Đưa BTQHTT
dạng chuẩn tắc trên về dạng chính tắc bằng các biến bù không
âm x
3
và x
4
như sau:
Max z = 8x
1
+ 6x
2
+ 0x
3
+ 0x

Cách lập và biến đổi các bảng đơn hình
Để giải BTQHTT dạng chính tắc trên đây, cần lập một số bảng đơn hình như
trong bảng II.1. Trước hết, cần điền số liệu của bài toán đã cho vào bảng đơn hình bước 1:
– Cột 1 là cột hệ số hàm mục tiêu ứng với các biến cơ sở đã chọn. Phương án
xuất phát có thể chọn là x
1
= x
2
= 0 (đây chính là điểm gốc toạ độ O(0, 0) trên hình II.1),
do đó x
3
= 60, x
4
= 48. Như vậy tại bước này chúng ta chưa bước vào sản xuất, nên
trong phương án chưa có đơn vị sản phẩm loại I hay loại II nào được sản xuất ra (chỉ
“sản xuất” ra các lượng nguyên liệu dư thừa, ta cũng nói là các “sản phẩm” loại III và
IV), và giá trị hàm mục tiêu z tạm thời bằng 0. Các biến bù có giá trị lớn hơn 0 có nghĩa
là các nguyên liệu loại tương ứng chưa được sử dụng h
ết. Ta gọi các biến x
3
và x
4
là các
biến cơ sở vì chúng có giá trị lớn hơn 0 còn x
1
và x
2
là các biến ngoài cơ sở vì chúng có
giá trị bằng 0. Với bài toán có hai ràng buộc, tại mỗi bước chỉ có hai biến cơ sở.
– Cột 2 là cột các biến cơ sở. Trong cột 3 (cột phương án) cần ghi các giá trị của

x
2
x
3
x
4

Bảng đơn hình bước 1
0
0
x
3

x
4

60
48
4
2
2
4
1
0
0
1
Hàng z z
0
= 0 z
1

4

15
18
1
0
1/2
3
1/4
–1/2
0
1
Hàng z z
0
= 120 z
1
= 8 z
2
= 4 z
3
= 2 z
4
= 0
Hàng Δ
j
= c
j
– z
j


= 132 8 6 5/3 2/3
Hàng Δ
j
= c
j
– z
j

0 0 –5/3 –2/3

Phân tích bảng đơn hình bước 1
– Hệ số ứng với biến x
1
trên hàng thứ nhất là a
11
= 4 có nghĩa là tỷ lệ thay thế
riêng giữa một đơn vị sản phẩm loại I và một đơn vị sản phẩm loại III là 4 (giải thích:
xét phương trình (hay ràng buộc) thứ nhất 4x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 60, x
1
tăng một đơn vị thì x
3

phải giảm bốn đơn vị nếu giữ nguyên x
2

, j = 1, 2, 3, 4, tính theo công thức Δ
j
= c
j
–
z
j
= lợi nhuận / đơn vị sản phẩm – chi phí / đơn vị sản phẩm. Vậy Δ
j
là "lãi biên" / một
đơn vị sản phẩm khi đưa một thêm một đơn vị sản phẩm loại x
j
vào phương án sản xuất
mới. Nếu Δ
j
> 0 thì hàm mục tiêu còn tăng được khi ta đưa thêm các sản phẩm loại j vào
phương án sản xuất mới. Có thể chứng minh được Δ
j
chính là đạo hàm riêng
j
z/ x∂∂
của hàm mục tiêu z theo biến x
j
. Như vậy, x
1
tăng lên 1 thì z tăng lên 8 còn x
2
tăng lên
1 thì z tăng lên 6 .
Do Δ