MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU
Giảng viên: PGS.TS Trịnh Nhật Tiến
Học viên : Bùi Thị Phương
Mã sinh viên:12025278
ĐẠI

HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
Hệ mã hoá trên đường cong Elliptic
Nội dung
1. Đường cong Elliptic
2. Mã hóa trên đường cong Elliptic
3. Độ an toàn của mã hóa trên đường cong Elliptic
1. Đường cong Elliptic
Trên trường số thực:
•
Đường cong Elliptic là đường cong có dạng:
y
2
=
x
3
+ ax + b
1. Đường cong Elliptic
Trên trường số thực:
•
Gọi E(a, b) là tập các điểm thuộc đường cong y
2
=
x
3

•
Ta tính được:
1. Đường cong Elliptic
Đường cong Elliptic trên trường Zp
y
2
mod p
=
(x
3
+ ax + b) mod p
•
Ví dụ trong trường Z
23
, chọn a =1,b=1,x=9,y=7 ta có:
7
2
mod 23=(9
3
+ 9 +1)mod 23
49

mod 23= 739 mod 23 =3
1. Đường cong Elliptic
Đường cong Elliptic trên trường Zp
Với 2 điểm P, Q bất kỳ, phép cộng R= P + Q được xác
định bằng công thức:
Trong đó:
2. Mã hóa trên Elliptic
•

và Bob tiến hành như sau:
2. Mã hóa trên Elliptic
Trao đổi khóa EC Diffie-Hellman:
1) Alice chọn một số n
A
< n và giữ bí mật số n
A
này.
Sau đó trong E
q
(a,b) Alice Tính P
A=
n
A
G và gửi cho Bob.
2) Tương tự Bob chọn một số bí mật n
B
, tính P
B
và gửi
P
B
cho Alice.
3) Alice tạo khóa phiên bí mật là K= n
A
P
B=
n
A
n

•
Giả sử Alice muốn gửi một thông điệp M cho Bob,
trước tiên Alice chuyển M từ dạng dãy bít sang dạng
điểm P
M
=(x, y). Bản mã C
M
(dùng khóa công khai của
Bob) được tính là một cặp điểm như sau:
C
M =
{kG, P
M
+ kE}với k là một số ngẫu nhiên do Alice
chọn
•
Để giải mã dùng khóa riêng, Bob sẽ nhân điểm thứ
nhất trong C
M
với d, sau đó lấy điểm thứ hai trừ cho
kết quả:
2. Mã hóa trên Elliptic
Mã hóa và giải mã – Phương pháp Elgamal:
Ví dụ:
•
Chọn p = 751, a = 1, b = 188 ta có đường cong Elliptic
trên Z
751
như sau:
y